Сферическое зеркало
Если взять в качестве отражающей поверхности часть внешней или внутренней поверхности зеркальной сферы, то получится сферическое зеркало.
Его основные характеристики:
- главный фокус F ,
- фокусное расстояние f ,
- оптический центр,
- главная оптическая ось,
- оптическая сила.
Фокусом F зеркала называется точка на оптической оси, через которую проходит после отражения от зеркала луч (или его продолжение), падавший на зеркало параллельно оптической оси.
Найдем положение фокуса вогнутого зеркала .
На зеркало падает луч КМ параллельно оптической оси ОС. В точке падения восставим перпендикуляр к зеркалу — им будет радиус ОМ. Воспользовавшись законом отражения, строим луч MF , который проходит через точку F , являющуюся фокусом.
Очевидно, что углы СОМ и КМО равны, как накрест лежащие
при параллельных прямых. Но углы КМО и FMO равны по законуотражения.
Следовательно, треугольник OFM является равнобедренным и отрезок OF=R/(2Cos a )
Отсюда следует, что фокусное расстояние
Учитывая, что sin a = h/R , получим окончательно:
В сферическом зеркале — сферическая аберрация: фокусное расстояние оказывается различным для лучей, находящихся на разных расстояниях от оптической оси. Если h << R — параксиальный пучок, условие фокусировки выполняется и фокусное расстояние вогнутого зеркала оказывается равным
Оптическая сила зеркала — это величина, обратная фокусному расстоянию:
У выпуклого зеркала фокус мнимый.
Нетрудно убедиться, что и здесь для параксиального пучка справедливо условие (2).
Д окажите это самостоятельно.
Фокусное расстояние выпуклого зеркала принято считать отрицательным числом f = — R /2.
Очевидно, что и оптическая сила выпуклого зеркала — отрицательное число .
Формула сферического зеркала.
d — расстояние от предмета до вершины зеркала;
d ’ — расстояние от вершины зеркала до изображения предмета;
f — фокусное расстояние.
Следует учитывать: расстояние до предмета и действительного изображения — величина положительные; расстояние до мнимого изображения — величина отрицательная.
A. Сферические зеркала
Сферическое зеркало представляет собой сферический сегмент, зеркально отражающий свет.
Сферические зеркала бывают вогнутые (рис. 16.13, а) — у них отражающее покрытие нанесено на внутреннюю поверхность, и выпуклые (рис. 16.13, б) — у них отражающее покрытие нанесено на внешнюю поверхность.
Геометрический центр О сферической поверхности зеркала радиусом R называется центром зеркала, а точка Р, являющаяся вершиной сферического сегмента — полюсом зеркала. Любая прямая (например, ОМ и ОР), проходящая через центр О зеркала, называется оптической осью. Оптическая ось ОР, проходящая через полюс зеркала, называется главной оптической осью, все остальные оси — побочными оптическими осями. Ясно, что любая оптическая ось в точке пересечения с поверхностью зеркала является нормалью к последней (любой радиус перпендикулярен к касательной к поверхности сферы). Точка F на главной оптической оси, через которую проходят после отражения от зеркала лучи (или их продолжения), падающие на зеркало параллельно главной оптической оси, называется фокусом зеркала. У вогнутого зеркала фокус действительный, у выпуклого зеркала фокус мнимый. Расстояние от фокуса сферического зеркала до его полюса PF называется фокусным расстоянием. Его принято обозначать также буквой F. Плоскость KL, проходящая через фокус перпендикулярно к главной оптической оси, называется фокальной плоскостью. В фокальной плоскости пересекаются после отражения от зеркала лучи (или их продолжения), падающие на зеркало параллельно какой-либо побочной оптической оси.
Определим положение фокуса сферического зеркала. Пусть на зеркало (рис. 16.14) падает луч NM, параллельный главной оптической оси. Отраженный от зеркала луч MF пройдет через фокус F. Луч NM составляет с радиусом ОМ угол \(
\alpha\). Угол отражения \(
\ang MOF=\alpha\) как накрест лежащие при параллельных прямых MN и РО и секущей МО. Следовательно, \(
\Delta MOF\) — равнобедренный (FO = MF). Угол MFE = 2\(
\alpha\) (угол внешний по отношению к \(
Будем рассматривать только так называемые параксиальные пучки, т.е. узкие пучки, составляющие с оптической осью зеркала очень малые углы (в широком пучке три луча, образующие значительные углы друг с другом, не пересекаются в одной точке). Тогда \( PE \ll R, EF \approx PF\) и \(tg \alpha \approx \sin \alpha = \alpha \).
\Delta MOC\) \( \sin \alpha = \frac
\Delta MEF\) \( tg 2 \alpha = \frac
Отсюда \(2 \frac
Аналогично можно доказать, что фокус выпуклого сферического зеркала лежит на главной оптической оси за зеркалом и удален от полюса зеркала на расстояние, равное половине радиуса зеркала. Фокусное расстояние выпуклого зеркала принято считать отрицательным (так как увыпуклого зеркала фокус мнимый), т.е. у выпуклого зеркала \(F=-\frac
Формула сферического зеркала. Пусть точечный источник света S (рис. 16.15) расположен на главной оптической оси зеркала на расстоянии SP = d. Угол падения луча SM на поверхность зеркала \(
\ang SMO = \alpha\). Отраженный луч пересекает главную оптическую ось в точке S’. Угол отражения \( \ang OMS’ = \alpha\) (по закону отражения). Обозначим угол наклона падающего луча к главной оптической оси \(\ang MSO = \varphi\), угол наклона отраженного луча \(\ang MS’P = \gamma\), угол наклона радиуса \(\ang MOP = \beta,\) расстояние от точки М до главной оптической оси через ME = h.
\beta\) — внешний по отношению к \(\Delta OMS\). Поэтому \(\beta = \alpha + \varphi\).
\gamma\) — внешний по отношению к \(\Delta S’OM\). Поэтому \(
\gamma = \alpha + \beta\).
Из этих равенств получаем
Из \(\Delta S’EM\) находим \( tg \gamma= \frac
Из \(\Delta SEM\) имеем \(tg \varphi= \frac
Так как мы рассматриваем только параксиальные лучи, то тангенсы углов можно заменить значениями самих углов в радианах.
Следовательно, \(\gamma = \frac
Это выражение называют формулой сферического зеркала. Формулу (16 2) можно применять и для выпуклых сферических зеркал, если использовать правило знаков: считать знаки величин d, f, R и F положительными, если эти расстояния измерены от полюса зеркала в ту сторону, откуда на зеркало падает свет от предмета, и отрицательными, если они отсчитаны от полюса за зеркало. Для выпуклых зеркал d>0, a R<0, F<0. Если изображение мнимое, то f<0.
Так как в формулу (16.1) не входят значения h и угла \(\varphi\), то это означает, что любой луч, выходящий из S, пройдет через точку S’. Следовательно, точка S’ является изображением точки S.
Литература
Аксенович Л. А. Физика в средней школе: Теория. Задания. Тесты: Учеб. пособие для учреждений, обеспечивающих получение общ. сред, образования / Л. А. Аксенович, Н.Н.Ракина, К. С. Фарино; Под ред. К. С. Фарино. — Мн.: Адукацыя i выхаванне, 2004. — С. 461-464.
Что называют оптической силой сферического зеркала чему она равна
Сферическим зеркалом называют зеркально отражающую поверхность, имеющую форму сферического сегмента. Центр сферы, из которой вырезан сегмент, называют оптическим центром зеркала. Вершину сферического сегмента называют полюсом зеркала. Прямая, проходящая через оптической центр и полюс зеркала, называется главной оптической осью сферического зеркала. Точка пересечения пучка лучей, параллельных главной оптической оси и отразившихся от поверхности сферического зеркала, называется главным фокусом зеркала. У вогнутого сферического зеркала главный фокус действительный. Он расположен посередине между центром и полюсом зеркала. Главный фокус выпуклого зеркала является мнимым. Фокусным расстояниям сферических зеркал приписывают определенные знаки: для вогнутого зеркала , для выпуклого . В обоих случаях фокусное расстояние сферического зеркала равно по модулю половине радиуса кривизны зеркала . Величина, обратная фокусному расстоянию, называется оптической силой зеркала. Оптическая сила сферических зеркал измеряется в диоптриях (м –1 ).
Компьютерная модель иллюстрирует ход лучей при отражении от вогнутого и выпуклого сферических зеркал и образование изображений (прямых и перевернутых, действительных и мнимых). Можно изменять оптическую силу зеркала и расстояние от предмета до зеркала. На экране дисплея с помощью стандартных лучей строится изображение предмета, и высвечиваются значения расстояния от зеркала до изображения и линейного увеличения . Для прямых изображений , для перевернутых .
Положение предмета относительно зеркала, а также расположение на экране всей системы – предмета, его изображения и зеркала – можно изменять с помощью мыши.
Физика. 11 класс
Сферические зеркала находят широкое применение в различных приборах и устройствах. Для их использования необходимо уметь рассчитывать их характеристики (положения изображений, их увеличения). Как же это можно сделать?
Получим формулу вогнутого сферического зеркала. Пусть точечный источник света S расположен на главной оптической оси за центром зеркала (рис. 128-1).
Расстояние SP от источника до зеркала обозначим SP = d . Луч SA после отражения пересечет ось в точке S1. Расстояние от зеркала до точки S1 обозначим S1P = f.
В ΔSAS1 линия AO является биссектрисой SAS1 и делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам треугольника:
Для луча SA, близкого к оптической оси
Кроме того, SO = d — R и OS1 = R — f.
Подставляя эти значения в пропорцию, получим
Это равенство приводится к виду (сделайте это сами):
Полученная формула называется формулой сферического зеркала.
Обратите внимание, что данная формула получилась при использовании приближенных равенств (1), т.е. она верна при падании на линзу параксиальных лучей.
Проанализируем полученную формулу. Если источник удалить от зеркала бесконечно далеко, то лучи, падающие на зеркало, будут идти параллельно оптической оси. Слагаемое станет равным нулю. Расстояние f будет равно некоторому значению F, и формула зеркала примет вид:
Таким образом, лучи, параллельные главной оптической оси зеркала, отразившись от него, пересекаются в точке F, лежащей на главной оси и расположенной от полюса зеркала на расстоянии, равном половине его радиуса (см. рис. 114).
Это точка называется главным фокусом зеркала. Величина D, обратная фокусному расстоянию сферического зеркала, называется его оптической силой:
Единицей измерения оптической силы в СИ является диоптрия: 1 дптр = 1м -1 .
Исходя из принципа обратимости лучей, можно сделать вывод, что лучи света от источника, помещенного в главный фокус зеркала, отразившись от него, пойдут параллельно главной оптической оси (см. рис. 147).
Расстояния d и R для любого луча, выходящего из точки S и падающего на зеркало, остаются неизменными. Поэтому луч после отражения будет пересекать ось в точке S1 . Таким образом, лучи, выходящие из какой-либо точки S на главной оси, расположенной за центром линзы, пересекаются после отражения от зеркала в одной и той же точке S1, также расположенной на этой оси. Эта точка S1 называется действительным изображением точки S .
Для действительных предмета, изображения и фокуса расстояния d, f и F считаются положительными, а для мнимых d, f и F — отрицательными.
Фокус выпуклого зеркала всегда мнимый, вогнутого — действительный.
Отметим, что при падении на зеркало расходящегося пучка, предмет будет действительным. При падении на зеркало сходящегося пучка, предмет будет мнимым.
Вогнутые зеркала используются для получения параллельных пучков света в различных отражателях или рефлекторах для освещения удаленных предметов (фары, прожекторы). Для этого следует поместить источник света в главном фокусе (рис. 128-2) вогнутого зеркала.
Полученное свойство фокусировки параллельного пучка лучей является приближенным и справедливым лишь для узкого пучка, т. е. лучей не слишком отстоящих от оптической оси. Для широких пучков имеет место сферическая аберрация, т.е. далекие от оптической оси лучи пересекают ее не в фокусе (см. рис. 128-2). Изображение при этом искажается — становится нерезким. Подобные искажения называются аберрациями оптических систем.
Сферическая аберрация — явление, при котором лучи, далеко отстоящие от главной оптической оси, соберутся не в форме зеркала, а в точке, расположенной на меньшем расстоянии от него. В результате точечный объект будет изображаться пятном. Для получения точечного осевого изображения зеркало должно быть параболическим (см. рис. 128-2, 128-3).
Такие зеркала используются во всех крупнейших телескопах. Но даже в них параллельные пучки, идущие под небольшими углами к оптической оси, после отражения не пересекаются в одной точке и дают сильно искаженные внеосевые изображения. Поэтому пригодное для работы поле зрения оказывается очень небольшим порядка нескольких десятков угловых минут.
Фокусное расстояние оказывается различным для лучей, находящихся на разных расстояниях от оптической оси (см. рис. 128-2). Однако для параксиального пучка (h << R) условие фокусировки выполняется и фокусное расстояние вогнутого зеркала оказывается равным F = R/2. В частности, при это выражение справедливо с относительной погрешностью не меньшей, чем 0,5 %.
Прожектор (от лат. projectus — брошенный вперед) — осветительный прибор с мощным источником света и вогнутым зеркалом, дающий пучок яркого света.