Какой нагрузке соответствует указанная векторная диаграмма

Справочник по наладке вторичных цепей — Векторные диаграммы в цепях тока и напряжения

Векторные диаграммы в цепях тока и напряжения
Анализ правильности установки и подключения измерительных трансформаторов тока ТА и напряжения TV, выполнения вторичных цепей тока и напряжения, а также правильности включения устройств релейной защиты, как правило, производят по векторным диаграммам.
Векторная диаграмма определяет положение измеряемых векторов токов или напряжения относительно симметричной трехфазной системы фазных или линейных напряжений в соответствующей системе координат. Векторные диаграммы для оценки правильности включения направленных защит необходимо обязательно снимать относительно напряжения, подведенного к данным защитам. В остальных случаях, когда к защите подводят только цепи тока или только цепи напряжения, например при проверке дифференциальных и максимальных токовых защит, фильтровых защит обратной последовательности, векторные диаграммы можно снимать относительно любой системы напряжений, синхронной с проверяемыми присоединениями.
Векторные диаграммы при проверке устройств релейной защиты и измерений, как правило, снимают прибором ВАФ-85, возможно использование для этой цели ваттметра или фазометра, но применение данных приборов значительно усложняет производство работ и увеличивает вероятность возможных ошибок.
При снятии векторных диаграмм к выводам А, В, С прибора ВАФ-85 подводят предварительно проверенное симметричное напряжение 100 В от вторичных обмоток TV, соединенных в звезду с чередованием фаз а, Ь, с. По направлению вращения ротора фазоизмерителя проверяют чередование фаз подведенного напряжения, при правильном чередовании а, Ь, с — вращение происходит по часовой стрелке. Индикацию фазы производят по лимбу, который имеет разметку в градусах: зона вправо от нуля (0—180°) емкостная (С); зона влево от нуля (0—180°) индуктивная (L), при измерениях фиксируется не только измеренный угол, но и зона, в которой он находится. При снятии векторных диаграмм на «посторонней» синхронном напряжении 110, 220 В правила работы с прибором остаются неизменными.
При построении векторных диаграмм учитываются изложенные в § 1.2 рекомендации по предварительной проверке используемых для измерения приборов.
Построение векторных диаграмм в цепях напряжения. Принято при всех проверках полярный конец измеряемого вектора напряжения подключать всегда к выводу прибора с обозначением », неполярный — к выводу U. При графическом изображении вектора напряжения тока полярный конец отмечается стрелкой, при буквенном написании полярному концу соответствует первая буква.
У подготовленного к работе ВАФ-85 проверяют и корректируют установку нуля по напряжению измерением фазы базисного напряжения. Измеряют значение и фазу всех напряжений вторичных обмоток TV, соединенных по схемам звезды и разомкнутого треугольника. По полученным данным в системе координат напряжения,
подведенного к прибору, строят векторную диаграмму, по которой и оценивают действительное выполнение цепей напряжения. При отсутствии ВАФ-85 правильность выполнения цепей напряжения можно оценить по потенциальной диаграмме, снимаемой вольтметром, если предварительно фазоуказателем проверить их чередование фаз. Вольтметром измеряют сначала значения всех фазных и линейных напряжений звезды Uао, Ubo, Uco, Uаь, Uic, Uca\ относительно выводов А, В, С, N определяют заземленную фазу и затем измеряют напряжения каждой вершины разомкнутого треугольника ВИ (/(), F, U, Н относительно выводов А, В, С, N звезды. По полученным результатам в масштабе (при работе с ВАФ-85 по значению напряжения и фазе, при работе с вольтметром только по значениям напряжения методом засечек) строят векторную диаграмму (см. рис. 1.27,6). Подробная методика определения заземленной фазы приведена в § 1.6.
Построение векторных диаграмм в цепях тока. Для анализа выполнения токовых цепей по векторной диаграмме токов необходимо установить значение и направление активной и реактивной мощностей, протекающих по данному присоединению.
По характеру первичной нагрузки, направлению и значению активной и реактивной мощностей оценивают ожидаемое положение векторов вторичного тока на диаграмме с учетом схемы соединения и коэффициента трансформации ТА. Расчетные данные сопоставляют с результатами измерений.
Определение значения и направления мощности производят по соответствующим ваттметрам и уточняют у диспетчера энергосистемы. В тех случаях, когда имеются сомнения в правильности определения направления мощности проверяемого присоединения, выбирают другой режим проверки, исключающий возможность сомнений, например производят измерения в режиме одностороннего питания или на емкостном токе ЛЭП. В режиме одностороннего питания активная мощность на питающем конце имеет однозначное направление от шин в линию, на приемном конце направление активной мощности — к шинам. На протяженных ЛЭП проверка может эффективно производиться на емкостном токе линии при отключении ее с противоположной стороны, в этом случае ток в фазе опережает одноименное фазное напряжение на 90°. В зависимости от типов опор, габаритов гирлянд изоляторов, сечения проводов емкостный ток в фазе на 100 км длины составляют примерно для ЛЭП 220 кВ — 25 А, 330 кВ — 45 А, 500 кВ — 100 А, 750 кВ — 200 А.
Стабильность направления и значения активной и реактивной мощностей при снятии векторных диаграмм необходимо периодически контролировать. Ошибочно определять направление мощности по показаниям амперметров смежных присоединений, так как токи в зависимости от характера и величины нагрузки присоединений могут находиться под разными углами, в связи с чем арифметическое сложение и вычитание токов недопустимо.
В общем случае вектор первичного тока может занимать на векторной диаграмме любое положение в одном из четырех квадрантов. При определении квадранта, в котором располагается вектор тока, необходимо исходить из следующего:
за положительное направление активной, реактивной мощностей и тока принято считать направление от шин в линию;

фазный вектор положительной активной мощности (тока) принято считать совпадающим По фазе с вектором одноименного фазного напряжения;
фазный вектор положительной реактивной мощности (тока) принято считать отстающим на 90° от вектора одноименного фазного напряжения, поэтому положительная реактивная мощность соответствует индуктивной нагрузке.

Рис. 1.22. Положение вектора тока фазы А в системе координат при разных направлениях активной и реактивной мощностей
Таким образом, система координат имеет вертикальную и горизонтальную оси: вертикальная ось Р, положительное направление активной мощности и фазного напряжения Uао — вверх; горизонтальная ось Q, положительное напряжение реактивной мощности (тока) — вправо; I, IV — индуктивные квадранты; II, III — емкостные квадранты (рис. 1.22).
При подготовке прибора ВАФ-85 к снятию векторных диаграмм в токовых цепях визуально проверяют, подключены ли токоизмерительные клещи к прибору с соблюдением полярности, а одним из приведенных выше методов проверяют установку нуля по току. При измерении векторных диаграмм вторичных токов’ существует постоянное правило — токоизмерительные клещи полярной стороной всегда располагают в сторону полярных выводов трансформаторов тока. При охватывании клещами изолированного проводника с током необходимо следить, чтобы было полное прилегание плоскостей магнитопровода без зазоров и перекосов. Измерение фазы напряжения и тока производят с соблюдением обязательного условия — направление вращения лимба и направление вращения стрелки к нулю должны совпадать.

Трехфазные несимметричные цепи

Трехфазная цепь несимметрична, если комплексы сопротивлений ее фаз неодинаковы.

Несимметричной может быть действующая в цепи система э. д. с. (не равны модули э. д. с. или фазовые сдвиги между каждой парой э. д. с.). .
Для расчета несимметричной цепи применяются различные методы в зависимости от ее схемы и вида несимметрии.

Расчет несимметричной трехфазной цепи при соединении источника и приемника звездой

На схеме (см. рис. 20.4) видно, что при соединении звездой трехфазная система представляет собой электрическую цепь с двумя узлами — нейтральными точками N и N’. Наиболее удобным методом расчета в данном случае является метод узлового напряжения.

Определение токов

Рассмотрим сначала общий случай расчета цепи с нулевым проводом, сопротивление которого Z_N. При этом сделаем некоторые упрощения: сопротивления линейных проводов и фаз источников будем полагать равными нулю. Если указанные сопротивления нельзя считать равными нулю, их можно отнести к приемнику, прибавив к сопротивлениям последнего по правилам сложения комплексов.
При таком упрощении потенциалы линейных зажимов источника и приемника (например, точек А и А’) можно считать одинаковыми.
Напряжение между нулевыми точками N и N’, или узловое напряжение

Смещение нейтрали

На рис. 21.1 изображена топографическая диаграмма цепи рис. 20.4, а при несимметричной нагрузке.

При наличии сопротивления в нулевом проводе () нулевая точка приемника на топографической диаграмме не совпадает с нулевой точкой источника. Поэтому напряжение U_N называют напряжением смещения нейтрали. Вследствие смещения нейтрали напряжения на фазах приемника оказываются неодинаковыми, несмотря на симметрию фазных напряжений источника (см. решение задачи 21.3).

Рис. 21.1. Топографическая диаграмма при несимметричной нагрузке (соединение звездой)

Из формулы (21.1) видно, что симметрия фазных напряжений на нагрузке, когда U_N = 0, достигается в двух частных случаях.
1. При симметричной нагрузке, когда комплексы проводимостей фаз равны: . В этом случае в числителе проводимость можно вынести за скобку, внутри которой складывается три вектора э. д. с. источника, равных по величине и сдвинутых по фазе на 120°; эта сумма равна нулю (см. рис. 20.8, б) и U_N = 0. Поэтому ток в нулевом проводе равен нулю [см. формулу (21.4)] и необходимость в этом проводе отпадает, а электроснабжение симметричных приемников осуществляется по трехпроводной системе.
2. В четырехпроводной системе, когда сопротивление нулевого провода равно нулю (Y_N = ∞.)

Роль нулевого провода

Нулевой провод является уравнительным. Потенциалы нейтрали источника и приемника с помощью этого провода принудительно уравнены, а поэтому звезда векторов фазных напряжений приемника точно совпадает со звездой фазных напряжений источника.

Четырехпроводная система применяется в электрических сетях с напряжением 380/220 В при электроснабжении от общего источника силовой (электродвигатели) и осветительной (электролампы) нагрузки.
При несимметричной нагрузке обрыв нулевого провода () вызывает значительное изменение токов и фазных напряжений, что в большинстве случаев недопустимо. Поэтому в нулевой провод предохранители не устанавливаются.

Определение мощности

При несимметричной нагрузке нужно определить мощность каждой фазы. Например, для фазы А:

Аналогично определяются мощности других фаз.
Активная мощность всей трехфазной цепи равна сумме мощностей фаз:

Реактивная мощность цепи равна алгебраической сумме реактивных мощностей фаз:

В этой сумме реактивная мощность катушки считается положительной, а реактивная мощность конденсатора — отрицательной.

Задача 21.1.

При соединении звездой с нулевым проводом определить фазные напряжения и токи в приемнике энергии, сопротивления которого заданы комплексами:

Действующая величина симметричной трехфазной системы э. д. с. 220 В. Сопротивление нулевого провода
Построить векторную диаграмму.
Сопротивлениями линейных проводов и внутренними сопротивлениями источника э. д. с. пренебречь.
Решение. Схема, соответствующая условию задачи, показана на рис. 21.2, а.
Проводимости ветвей между узловыми точками NN’:

Рис. 21.2. К задаче 21.1

Комплексы э. д. с. источника:

Узловое напряжение



Фазные напряжения приемника:



Токи в фазах и нулевом проводе:




Векторная диаграмма напряжений и токов показана на рис. 21.2, б.

Задача 21.3.

Электрические лампы включены звездой в трехфазную сеть с линейным напряжением 380 В. В каждую фазу включены по 50 ламп с номинальной мощностью 60 Вт каждая, номинальным напряжением 220 В. Как изменяются фазные напряжения и токи при изменении нагрузки одной фазы от холостого хода до короткого замыкания при обрыве нулевого провода?
В каждом выбранном случае нагрузки построить векторную диаграмму, определить мощность всей трехфазной цепи.
Решение. Условию задачи соответствует схема рис. 21.3, а, на которой группа ламп в каждой фазе условно показана двумя лампами.
Оставляя постоянным число ламп в фазах В и С, будем менять его в фазе А. Подсчеты по условию задачи выполним для таких нагрузок в фазе А: 50, 25, 100 ламп, короткое замыкание, холостой ход.
1. При включении в каждую фазу по 50 одинаковых ламп нагрузка симметрична. Поэтому фазные напряжения на нагрузке равны фазным напряжениям в сети:

Напряжение на лампах равно номинальному. В этом случае лампы работают с номинальной мощностью.
Это даёт право определить фазные токи по заданной мощности ламп:

При соединении звездой I_Ф = I_Л, поэтому I_л = 13,6 А. Общая мощность трехфазной цепи
Р = ЗР_Ф = 3 • 60 • 50 = 9000 Вт.
2. В фазе А включено 25 ламп.
При несимметричной нагрузке напряжения на лампах отличаются от фазных напряжений в сети. Поэтому определить токи по заданной мощности ламп нельзя, так как действительная мощность ламп и фазные напряжения их неизвестны. При решении задачи будем считать, что сопротивление ламп в накаленном состоянии нити практически не меняется при некотором изменении их мощности.
Сопротивление лампы в номинальном режиме

Сопротивление фаз В и С при включении 50 ламп

Сопротивление фазы А

Комплексы фазных напряжений в сети:


Проводимости ветвей:

Смещение нейтрали

Напряжения фаз:



Токи в фазах:



Мощность всех ламп в фазах:



Мощность одной лампы:



Общая мощность в трехфазной системе

Векторная диаграмма напряжений для различной нагрузки фазы А показана на рис. 21.3, д.

Положение нулевой точки на диаграмме соответствует такой нагрузке фазы А: 1 — симметричная нагрузка (во всех фазах по 50 ламп); 2 — в фазе А 25 ламп; 3 — фаза А разомкнута (холостой ход); 4 — в фазе А 100 ламп; 5 — в фазе А короткое замыкание.

Выполните расчет трехфазной цепи для случаев нагрузки 3, 4, 5 подобно приведенному расчету для случая нагрузки 2, проверьте соответствие результатов расчета векторной диаграмме рис. 21.3, д.
Как видно, нулевая точка нагрузки при изменении проводимости фазы А перемещается на прямой АD, которая является перпендикуляром, опущенным из точки А к вектору линейного напряжения U_BC. При холостом ходе фазы А (обрыв линейного провода в этой фазе) нулевая точка перемещается в точку D и напряжения на двух других фазах U_B и U_C по величине оказываются равными половине линейного напряжения U_BC (рис. 21.3, б).

Рис. 21.3. К задаче 21.3

То же следует из схемы рис. 21.3, в. В рассматриваемом случае сопротивления фаз В и С оказываются включенными последовательно на линейное напряжение U_BC.

Сопротивления эти равны, поэтому линейное напряжение делится между двумя фазами поровну.

При коротком замыкании фазы А линейный провод этой фазы подводится непосредственно к нулевой точке нагрузки (рис. 21.3, г). Поэтому лампы, включенные в фазы В и С, оказываются под линейным напряжением.

Расчет несимметричной трехфазной цепи при соединении треугольником

Трехфазная цепь при соединении приемника треугольником и любой схеме соединения фаз источника имеет разветвленную многоконтурную схему (см., например, рис. 20.8, а; 21.5).

Расчет такой цепи выполняется одним из известных методов с учетом состава ее элементов и схемы соединения.

Соединение источника и приемника треугольником

Расчет сложной цепи (см. рис. 20.8, а) значительно упрощается, если не принимать во внимание сопротивление проводов. В этом случае напряжения на фазах приемника равны соответствующим напряжениям источника и, как правило, представляют собой симметричную систему.
Если трехфазная система напряжений, приложенных к приемнику, известна, то фазные токи
где — полные сопротивления фаз.
Линейные токи можно определить графически, как показано на рис. 21.4. Если задача решается в комплексной форме, линейные токи находят по формулам (20.7).

Мощность в несимметричной трехфазной цепи при соединении треугольником определяют по тем же формулам, что и при соединении звездой (21.6), (21.7).

Рис. 21.4. Векторная диаграмма токов при несимметричной нагрузке (соединение треугольником)

Рис. 21.5. К вопросу о преобразовании треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду в трехфазной цепи

Преобразование звезды и треугольника сопротивлений в трехфазных цепях

Расчет трехфазных цепей при смешанном соединении (звездой и треугольником), с учетом сопротивлений проводов линии представляет значительные трудности.

В этих случаях упрощения достигаются благодаря применению метода взаимного преобразования звезды и треугольника.
На рис. 21.5 приемник энергии соединен треугольником. С учетом сопротивлений проводов линии () расчет такой цепи удобно выполнить, заменив треугольник сопротивлений эквивалентной звездой. Общее сопротивление фазы определяется сложением сопротивлений проводов линии и эквивалентной звезды приемника.

Если в ходе расчета схемы со смешанным соединением приемников — звездой и треугольником (рис. 21.6) — необходимо определить общее сопротивление фазы, это делается преобразованием звезды в треугольник или треугольника в звезду.
При симметричной нагрузке можно преобразовать треугольник в звезду, а затем две звезды заменить одной. Последняя операция возможна только при симметричной нагрузке, когда фазные напряжения у этих «звезд» одинаковы (смещение нейтрали отсутствует). При несимметричной нагрузке звезду следует преобразовать в эквивалентный треугольник, а затем сложением соответствующих проводимостей определить общую проводимость каждой фазы.

Рис. 21.6. к расчету трехфазной цепи при соединении приемников звездой и треугольником

Если в последнем случае требуется учесть сопротивление проводов, то общий треугольник еще раз приходится преобразовать в звезду и к сопротивлениям звезды прибавить сопротивления проводов линии.

Задача 21.4.

Сопротивления фаз приемника подключены треугольником к трехфазному генератору, обмотки которого также соединены треугольником. Действующие значения симметричной системы э. д. с. генератора 220 В. Пренебрегая сопротивлениями линейных проводов и обмоток генератора, определить фазные и линейные токи, активную, реактивную и полную мощности каждой фазы и всей цепи. Построить векторную диаграмму.
Решение. Схема рис. 20.8, а соответствует условию задачи. Если сопротивления линейных проводов и обмоток генератора считать равными нулю, то фазные напряжения приемника равны соответствующим э. д. с.:

Фазные токи в приемнике:



Линейные токи:



Сумма линейных токов

Равенство нулю суммы линейных токов является общим свойством трехфазных трехпроводных цепей при соединении звездой и треугольником при симметричной и несимметричной нагрузках.

Рис. 21.7. К задаче 21.4

Рис. 21.8. К задаче 21.5

Мощности фаз:



Общая мощность системы:
активная

реактивная

Векторная диаграмма построена на рис. 21.7.

Задача 21.5.

Приемник электрической энергии, соединенный треугольником, включен в сеть с линейным напряжением 120 В. Сопротивления фаз: (инд.); (емк.).
Начертить схему по условию задачи. Определить фазные и линейные токи, активную, реактивную и полную мощности в каждой фазе и всей цени. Построить векторную диаграмму.
Решение. Схема цепи изображена на рис. 21.8, а.
Решим задачу без применения комплексных чисел. Токи в фазах:



Линейные токи определим графически с помощью векторной диаграммы. Для этого найдем активные и реактивные токи фаз.
В фазе АВ включено активное сопротивление, поэтому

В фазе ВС последовательно соединены R и Х_L, поэтому


В фазе CA включено емкостное сопротивление, следовательно,

Векторная диаграмма цепи показана на рис. 21.8, б. Для определения линейных токов постройте векторную диаграмму на листе миллиметровой бумаги в масштабах:
Линейные токи:
Мощности фаз:
активные

реактивные



полные



Мощность всей цепи:
активная

реактивная

Знак минус указывает на емкостный характер реактивной мощности цепи.

Симметричные составляющие несимметричной трехфазной системы

Несимметричную трехфазную систему токов (напряжений или других синусоидальных величин) можно представить в виде суммы трех симметричных систем.

Разложение несимметричной системы векторов на симметричные составляющие применяется для расчета и анализа несимметричных режимов в трехфазных цепях: при симметричной нагрузке, но несимметричной системе э. д. с., при однофазных и двухфазных коротких замыканиях, при обрыве линейных проводов в цепях с симметричной системой э. д. с.

Комплексы симметричных составляющих

Первая симметричная система имеет прямую последовательность фаз ( рис. 21.9, а), вторая — обратную ( рис. 21.9, б). Третья система, называемая системой нулевой последовательности, состоит из трех равных величин, совпадающих по фазе ( рис. 21.9, в).

Рис. 21.9. Симметричные составляющие несимметричной системы

Система величин:
прямой последовательности

обратной последовательности

нулевой последовательности

Умножение на означает поворот вектора на 120″ против движения часовой стрелки. Обозначим через а и будем называть это выражение поворотным множителем.
Поворот вектора против часовой стрелки на 240° можно выразить умножением его на а 2 .
Умножение вектора на а 3 не меняет его положения:

С помощью поворотного множителя а системы прямой и обратной последовательности можно записать так:

Сумма синусоидальных величин симметричной системы равна нулю, поэтому

Разложение несимметричной системы на симметричные составляющие

Выразим комплексы несимметричной системы через симметричные составляющие:

Если из этой системы уравнений можно однозначно определить симметричные составляющие через известные величины несимметричной системы, то этим будет доказана возможность разложения несимметричной системы на три симметричные — прямой, обратной и нулевой последовательности.
Используя выражения (21.10), запишем систему уравнений (21.12) в таком виде:

Решение системы уравнений (21.13) позволяет найти симметричные составляющие
Сложим уравнения:

Учитывая формулу (21.11), найдем

Умножим второе уравнение в системе (21.13) на , а третье — на и сложим все уравнения:

откуда

Умножим второе уравнение в системе (21.13) на , а третье на и сложим все уравнения:


= + ₊

+ + = (1 + + ) + • 3 + (1 + + )
откуда
= (21.16)

Свойства трехфазных цепей

Отметим некоторые свойства трехфазных цепей в отношении симметричных составляющих токов и напряжений.

Степень несимметрии линейных напряжений оценивается коэффициентом несимметрии, т.е. отношением составляющей обратной последовательности напряжений к составляющей прямой последовательности.
ε = 100 • U_оп/U_пп.
Отсюда следует, что ток в нулевом проводе можно найти, если утроить величину составляющей тока нулевой последовательности.
В трехпроводной системе сумма линейных токов равна нулю. Из формулы (21.14) следует, что линейные токи в этом случае не содержат составляющей нулевой последовательности. Это справедливо и для линейных напряжений трехфазной системы, сумма которых тоже равна нулю.

Рис. 21.10. Симметричные составляющие токов трехфазной цепи при разомкнутых двух фазах

Отсутствие тока в одной или двух фазах при несимметричном режиме означает, что сумма трех симметричных составляющих токов в этих фазах равна нулю.
Например, на схеме рис. 21.10, а фазы В и С разомкнуты. Поэтому
Согласно формулам (21.14) — (21.16), симметричные составляющие токов имеют следующие выражения:
прямой последовательности

обратной последовательности

нулевой последовательности

На рис. 21.10, б показаны симметричные составляющие прямой, обратной и нулевой последовательности и их геометрическое сложение; в результате сложения получаем:

Задача 21.8.

В результате неправильной маркировки концов обмоток трехфазного трансформатора (начало фазы А вторичной обмотки помечено как конец) система линейных напряжений несимметрична. Определить симметричные составляющие линейных напряжений при соединении звездой, если фазные напряжения во вторичной обмотке 220 В.
Решение. Запишем комплексы фазных напряжений во вторичной обмотке:



Вектор напряжения в соответствии с условием задачи повернут на 180°.
Комплексы линейных напряжений:



Составляющие:
нулевой последовательности


прямой последовательности




обратной последовательности

Рис. 21.11. К задаче 21.8

На рис. 21.11, а, б показаны векторы систем прямой и обратной последовательности и их сумма — система трех исходных векторов линейных напряжений.

Задача 21.9.

Трехфазный электродвигатель, включенный в сеть с линейным напряжением 380 В при соединении звездой, имеет мощность на валу Р₂ = 14 кВт; соsφ = 0,8; к. п. д. η = 0,85.
Определить симметричные составляющие токов в обмотке двигателя при обрыве линейного провода в фазе В.
Решение. При нормальной работе ток в фазе двигателя

При симметричной системе напряжений токи в фазах двигателя образуют симметричную систему (рис. 21.12, а). При обрыве линейного провода В векторная диаграмма фазных напряжений и токов показана на рис. 21.12, б.
Ток в фазах В равен нулю (I_B = 0).
Токи в фазах А и С равны по величине, но находятся в противофазе: I_А = I_C.
Для определения величины токов I_А и I_C найдем расчетное сопротивление фазы двигателя при нормальном режиме, которое будем считать неизменным:

При обрыве линейного провода фазы В обмотки двух других фаз двигателя с одинаковым сопротивлением включены последовательно на линейное напряжение U_CA. Поэтому ток в фазах А и С

Рис. 21.12. к задаче 21.9

Выразим токи в комплексной форме, полагая ток I_A совпадающим с положительным направлением действительной оси:

Токи:
нулевой последовательности

прямой последовательности



обратной последовательности

На рис. 21.12, в изображены симметричные составляющие токов в двигателе при обрыве фазы.

Несимметричный режим работы трехфазной цепи

Несимметрия в трехфазной цепи может быть вызвана различными причинами: 1) неодинаковым сопротивлением фаз (несимметричная нагрузка); 2) несимметричным коротким замыканием (например, между двумя фазами или фазой и нейтралью); 3) размыканием фазы; 4) неравенством э. д. с. и т. п.

Расчет токов и напряжений в трехфазной цепи при несимметричном режиме может производиться теми же

методами, которые применяются для расчета однофазных цепей.

Рассмотрим несколько простейших вариантов (без взаимной индукции между фазами).

1. Несимметричная трехфазная цепь, соединенная звездой, с нейтральным проводом (рис. 12-13).

Несимметричная трехфазная цепь, показанная на рис. 12-13, может рассматриваться как трехконтурная цепь с тремя э. д. с. Такая цепь может быть рассчитана методами контурных токов, узловых напряжений и другими. Поскольку в схеме имеются только два узла, наиболее целесообразно в данном случае определить узловое напряжение (напряжение смещения) между нейтральными точками N’ и N по формуле,

где — проводимости соответствующих ветвей.

После этого найдем токи:

В симметричной трехфазной цепи и поэтому при узловое напряжение равно нулю.

Стучаю размыкания какой-либо фазы или нейтрального провода соответствует равенство нулю проводимости данной фазы или нейтрального провода. j

При отсутствии нейтрального провода, полагая в (12-1), имеем:

2. Несимметричная трехфазная нагрузка, соединенная звездой (без нейтрального провода), с заданными линейными напряжениями на выводах (рис. 12-14).

Если заданы линейные напряженияна выводах нагрузки, соединенной звездой, то токи в фазах звезды определяются следующим образом.

Обозначив фазные напряжения на выводах нагрузки через(рис. 12-14), получим

где — проводимости фаз нагрузки.

Равенство нулю суммы токов трех фаз записывается в виде:

Фазные напряжения могут быть выражены через и заданные линейные напряжения:

Подстановка (12-3) в (12-2) дает:

Круговой заменой индексов (с порядком следования АВСА и т. д.) находятся:

По фазным напряжениям нагрузки находятся фазные токи.

В Случае симметричной нагрузки вектор фазного напряжения равен одной трети диагонали параллелограмма, построенного на соответствующих линейных напряжениях. Фазные напряжения в этом случае определяются векторами, соединяющими центр тяжести треугольника напряжений (точка пересечения медиан) с вершинами треугольника.

На рис. 12-15 построение сделано для фазы А по формуле (12-4)1

В качестве примера рассмотрим схему фазоуказателя, используемую для определения чередования фаз по времени, состоящую из конденсатора и двух одинаковых электрических ламп, соединенных звездой.

Положим, что конденсатор присоединен к фазе А, лампы — к фазам В и С; емкостное сопротивление конденсатора берется равным по модулю сопротивлению лампы, т. е. причем

Неравенство напряжений на лампах проявится в том, что накал ламп будет разным.

1 Для определения чередования фаз на практике обычно пользуются специальным прибором, в котором создается вращающееся магнитное поле, увлекающее за собой диск в ту или другую сторону.

Отношение напряжений согласно выведенным выше выражениям (12-4) равно при симметрии линейных напряжений:

Следовательно, лампа, присоединенная к фазе В (т. е. к фазе, опережающей ту, к которой присоединена вторая лампа), будет светить ярко, а лампа, присоединенная к отстающей фазе, — тускло.

Вместо конденсатора можно применить индуктивную катушку, подобрав ее индуктивное сопротивление приблизительно равным по модулю сопротивлению лампы. В этом случае ярче будет светить лампа, присоединенная к отстающей фазе. Эти соотношения также могут быть получены непосредственно из векторной диаграммы.

3. Несимметричная трехфазная нагрузка, соединенная треугольником, с заданными напряжениями на выводах Рис. 12-16. Несимметричная (рис. 12-16). Если на выводах несимметричной трехфазной нагрузки, соединенной треугольником, заданы линейные напряжения (рис. 12-16), то токи в сопротивлениях нагрузки равны:

Токи в линии определяются как разности соответствующих токов нагрузки, например: и т. д.

Если на выводах несимметричной трехфазной нагрузки, соединенной треугольником, заданы фазные напряжения источника, соединенного в звезду, то линейные напряжения на выводах нагрузки находятся как разности соответствующих фазных напряжений, в результате чего задача сводится к только что рассмотренному случаю(рис. 12-16).
Пример 12-2. Сопротивления фаз нагрузки, соединенной звездной

Сопротивление нейтрального провода

Напряжения на цепи представляют собой симметричную звезду:

Требуется определить фазные напряжения нагрузки.

Проводимости фаз нагрузки и нейтрального провода

На основании формулы (12-1)

Искомые фазные напряжения нагрузки:

Мощность несимметричной трехфазной цепи

Пользуясь комплексной формой записи мощности, можно написать общее выражение для мощности трехфазной цепи:

Действительная часть этого выражения представляет собой активную мощность

Суммарная активная мощность, потребляемая несимметричной трехфазной цепью, может быть в соответствии с этим измерена при помощи трех ваттметров, включенных на подведенные к данной цепи фазные напряжения относительно нейтрали и одноименные с ними токи. Активная мощность равна сумме показаний трех ваттметров. Такой метод измерения применяется при наличии нейтрального провода (рис. 12-17) или искусственно созданной нейтральной точки.

В случае отсутствия нейтрального провода измерение может быть произведено с помощью двух ваттметров

(рис. 12-18). В этом случае выражение (12-5) преобразуется следующим образом: исключая ток с помощью условия
получаем:

или

В соответствии с (12-6) при измерении активной мощности двумя ваттметрами к одному из них подводятся напряжение и ток а ко второму — напряжение и ток (рис. 12-18, а). Показания ваттметров складываются алгебраически.

Круговой заменой А, В. и С в выражении (12-6) можно получить выражения для других равноценных вариантов включения двух ваттметров.

Следует иметь в виду’, что если стрелка одного ваттметра отклоняется по шкале в обратную сторону, то, изменив направление напряжения или тока, подводимого к данному ваттметру, записывают полученное показание со знаком минус. При симметричном режиме работы трехфазной цепи такое положение имеет место при

что видно непосредственно из векторной диаграммы (рис. 12-18, б).

При симметричном режиме показания двух ваттметров в схеме рис. 12-18, б будут следующие:

Сумма и разность показаний ваттметров соответственно равны:

Следовательно, при симметричном режиме работы трехфазной цепи тангенс угла сдвига фаз может быть вычислен по формуле

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Векторная диаграмма токов и напряжений

Цифровое представление динамических процессов затрудняет восприятие, усложняет расчет выходных параметров после изменения условий на входе или в результате выполненной обработки. Векторная диаграмма токов и напряжений помогает успешно решать обозначенные задачи. Ознакомление с теорией и практическими примерами поможет освоить данную технологию.

Диаграмма, поясняющая процесс короткого замыкания в трехфазной цепи счетчика электроэнергии

Разновидности векторных диаграмм

Для корректного отображения переменных величин, которые определяют функциональность радиотехнических устройств, хорошо подходит векторная графика. Подразумевается соответствующее изменение основных параметров сигнала по стандартной синусоидальной (косинусоидальной) кривой. Для наглядного представления процесса гармоническое колебание представляют, как проекцию вектора на координатную ось.

С применением типовых формул несложно рассчитать длину, которая получится равной амплитуде в определенный момент времени. Угол наклона будет показывать фазу. Суммарные влияния и соответствующие изменения векторов подчиняются обычным правилам геометрии.

Различают качественные и точные диаграммы. Первые применяют для учета взаимных связей. Они помогают сделать предварительную оценку либо используются для полноценной замены вычислений. Другие создают с учетом полученных результатов, которые определяют размеры и направленность отдельных векторов.

Круговая диаграмма

Допустим, что надо изучить изменение параметров тока в цепи при разных значениях сопротивления резистора в диапазоне от нуля до бесконечности. В этой схеме напряжение на выходе (U) будет равно сумме значений (UR и UL) на каждом из элементов. Индуктивный характер второй величины подразумевает перпендикулярное взаимное расположение, что хорошо видно на части рисунка б). Образованные треугольники отлично вписываются в сегмент окружности 180 градусов. Эта кривая соответствует всем возможным точкам, через которые проходит конец вектора UR при соответствующем изменении электрического сопротивления. Вторая диаграмма в) демонстрирует отставание тока по фазе на угол 90°.

Линейная диаграмма

Здесь изображен двухполюсный элемент с активной и реактивной составляющими проводимости (G и jB, соответственно). Аналогичными параметрами обладает классический колебательный контур, созданный с применением параллельной схемы. Отмеченные выше параметры можно изобразить векторами, которые расположены постоянно под углом 90°. Изменение реактивной компоненты сопровождается перемещением вектора тока (I1…I3). Образованная линия располагается перпендикулярно U и на расстоянии Ia от нулевой точки оси координат.

Что такое векторная диаграмма токов и напряжений? Как построить график

Использование векторных диаграмм при анализе, расчете цепей переменного тока делает возможным рассмотреть более доступно и наглядно происходящие процессы, а также в некоторых случаях значительно упростить выполняемые расчеты.

Векторной диаграммой принято называть геометрическое представление изменяющихся по синусоидальному (либо косинусоидальному) закону направленных отрезков — векторов, отображающих параметры и величины действующих синусоидальных токов, напряжений либо их амплитудных величин.

Широкое применение векторные диаграммы нашли в электротехнике, теории колебаний, акустике, оптике и т.д.

Различают 2-х вида векторных диаграмм:

• точные;
• качественные.

Интересное видео о векторных диаграммах смотрите ниже:

Точные изображаются по результатам численных расчетов при условии соответствия масштабов действующих значений. При их построении можно геометрически определить фазы и амплитудные значения искомых величин.

Они являются одним из основных средств анализа электрических цепей, позволяя наглядно иллюстрировать и качественно контролировать ход решения задачи и легко установить квадрант, в котором располагается искомый вектор.

Для удобства при построении диаграмм анализируют неподвижные векторы для определенного момента времени, который выбирается таким образом, чтобы диаграмма имела удобный для понимания вид. Ось OХ соответствует величинам действительных чисел, ось OY — оси мнимых чисел (мнимая единица). Синусоида отображает движение конца проекции на ось OY. Каждому напряжению и току соответствует собственный вектор на плоскости в полярных координатах. Его длина отображает амплитудное значение величины тока, при этом угол равен фазе.

Векторы, изображаемые на такой диаграмме, характеризуются равновеликой угловой частотой ω. В виду чего при вращении их взаимное расположение не изменяется.

Ещё одно полезное видео о векторных диаграммах:

Поэтому при изображении векторных диаграмм один вектор можно направить произвольным образом (например, по оси ОХ).

А остальные — изображать по отношению к исходному под различными углами, соответственно равными углам сдвига фаз.

Таким образом, векторная диаграмма дает отчетливое представление об опережении либо отставании различных электрических величин. Допустим у нас есть ток, величина которого изменяется по некоторому закону:

i = Im sin (ω t + φ).

С начала координат 0 под углом φ проведем вектор Im, величина которого соответствует Im. Его направление выбирается так, чтобы с положительным направлением оси OX вектор составлял угол — соответствующий фазе φ.

В основном векторные диаграммы изображают для действующих значений, а не амплитудных. Векторы действующих значений количественно отличаются от амплитудных значений — масштабом, поскольку:

Векторные диаграммы и комплексное представление

Метод контурных токов

Такой инструментарий помогает строить наглядные графические схемы колебательных процессов. Аналогичный результат обеспечивает применение комплексных числовых выражений. В этом варианте, кроме оси с действительными, применяют дополнительный координатный отрезок с мнимыми значениями. Для представления вектора пользуются формулой A*ei(wt+f0), где:

• А – длина;
• W – угловая скорость;
• f0 – начальный угол.

Значение действительной части равно A*cos*(w*t+f0). Это выражение описывает типичное гармоническое колебание с базовыми характеристиками.

Примеры применения

В следующих разделах приведены описания задач, которые решают с помощью представленной методики. Следует подчеркнуть, что применение комплексных чисел пригодно для сложных расчетов с высокой точностью. Однако на практике достаточно часто сравнительно простой векторной графики с наглядным отображением исходной информации на одном рисунке.

Механика, гармонический осциллятор

Таким термином обозначают устройство, которое можно вывести из равновесного состояния. После этого система возвращается в сторону исходного положения, причем сила (F) соответствующего воздействия зависит от дальности первичного перемещения (d) прямо пропорционально. Величину ее можно уточнить с помощью постоянного корректирующего коэффициента (k). Отмеченные определения связаны формулой F=-d*k

Формулы для расчета основных параметров гармонического осциллятора

К сведению. Аналогичные процессы происходят в системах иной природы. Пример – создание аналога на основе электротехнического колебательного контура (последовательного или параллельного). Формулы остаются теми же с заменой соответствующих параметров.

Свободные гармонические колебания без затухания

Продолжая изучение темы на примерах механических процессов, можно отметить возможность построения двухмерной схемы. Скорость в этом случае на оси Х отображается так же, как и в одномерном варианте. Однако здесь можно учесть дополнительно фактор ускорения, которое направляют под углом 90° к предыдущему вектору.

Гармонический осциллятор с затуханием и внешней вынуждающей силой

В этом случае также можно воспользоваться для изучения взаимного влияния дополнительных факторов векторной графикой. Как и в предыдущем примере, скорость и другие величины представляют в двухмерном виде. Чтобы правильно моделировать процесс, проверяют суммарное воздействие внешних сил. Его направляют к центру системы (точке равновесия). С применением геометрических формул вычисляют амплитуду механических колебаний после начального воздействия с учетом коэффициента затухания и других значимых факторов.

Расчет электрических цепей

Векторную графику применяют для сравнительно несложных цепей, которые созданы из набора элементов линейной категории: конденсаторы, резисторы, катушки индуктивности. Для более сложных схем пользуются методикой расчета «Комплексных амплитуд», в которой реактивные компоненты определяют с помощью импедансов.

Векторная диаграмма для схемы соединений без нейтрального провода – звезда

Векторная диаграмма в данном случае выполняет функцию вспомогательного чертежа, который упрощает решение геометрических задач. Для катушек и конденсаторов, чтобы не пользоваться комплексным исчислением, вводят специальный термин – реактивное сопротивление. При синусоидальном токе изменение напряжения на индуктивном элементе описывается формулой U=-L*w*I0sin(w*t+f0).

Несложно увидеть подобие с классическим законом Ома. Однако в данном примере изменяется фаза. По этому параметру на конденсаторе напряжение отстает от тока на 90°. В индуктивности – обратное распределение. Эти особенности учитывают при размещении векторов на рисунке. В формуле учитывается частота, которая оказывает влияние на величину этого элемента.

Схемы и векторные диаграммы для идеального элемента и диэлектрика с потерями

Преобразование Фурье

Векторные технологии применяют для анализа спектров радиосигналов в определенном диапазоне. Несмотря на простоту методики, она вполне подходит для получения достаточно точных результатов.

Сложение двух синусоидальных колебаний

В ходе изучения таких источников сигналов рекомендуется работать со сравнительно небольшой разницей частот. Это поможет создать график в удобном для пользователя масштабе.

Фурье-образ прямоугольного сигнала

В этом примере оперируют суммой синусоидальных сигналов. Последовательное сложение векторов образует многоугольник, вращающийся вокруг единой точки. Для правильных расчетов следует учитывать отличия непрерывного и дискретного распределения спектра.

Дифракция

Для этого случая пользуются тем же отображением отдельных синусоид в виде векторов, как и в предыдущем примере. Суммарное значение также вписывается в окружность.

Построение векторной диаграммы напряжений и токов

Последовательное и параллельное соединение аккумуляторов

Для изучения технологии выберем однофазный источник синусоидального напряжения (U). Ток изменяется по формуле I=Im*cos w*t. Подключенная цепь содержит последовательно подключенные компоненты со следующими значениями:

• резистор: Ur=Im*R*cos w*t;
• конденсатор: Uc=Im*Rc*cos (w*t-π/2), Rc=1/w*C;
• катушка: UL= Im*RL*cos(w*t+π/2), RL=w*L.

При прохождении по цепи переменного тока на реактивных элементах будет соответствующий сдвиг фаз. Чтобы построить вектора правильно, рассчитывают амплитуды и учитывают изменение направлений. Ниже приведена последовательность создания графики вручную.

Диаграмма напряжений и токов на отдельных элементах

Далее с применением элементарных правил геометрии проверяют взаимное влияние векторов.

Решение векторного уравнения

На первом рисунке приведен результат сложения двух векторов при условии, когда Uc меньше UL. Добавив значение на сопротивление, получим результирующее напряжение Um. На третьей иллюстрации отмечен общий фазовый сдвиг.

Векторное отображение процессов в параллельном колебательном контуре, резонанс напряжений

В топографической диаграмме начало координат совмещают с так называемой точкой «нулевого потенциала». Такое решение упрощает изучение отдельных участков сложных схем.

Специализированный редактор онлайн

В интернете можно найти программу для построения векторных диаграмм в режиме online.

Сложение и вычитание векторов

Главным достоинством векторных — это возможность простого сложения и вычитания двух величин. Например: требуется сложить, два тока, заданных уравнениями

Советуем изучить Глухозаземленная нейтраль

Сложим два заданных тока i1 и i2 по известному правилу сложения векторов (рис. 12.12, а). Для этого изобразим токи в виде векторов из общего начала 0. Результирующий вектор найдем как диагональ параллелограмма, построенного на слагаемых векторах:

Сложение векторов, особенно трех и более, удобнее вести в таком порядке: один вектор остается на месте, другие переносятся параллель но самим себе так, чтобы начало последующего вектора совпало с концом предыдущего.

Вектор Im, проведенный из начала первого вектора в конец последнего, представляет собой сумму всех векторов (рис. 12.12, б).

Вычитание одного вектора из другого выполняют сложением прямого вектора (уменьшаемого) и обратного (вычитаемого) (рис. 12.13):

При сложении синусоидальных величин в отдельных случаях можно применить аналитическое решение: применительно к рис. 12.12, а — по теореме косинусов; к рис. 12.14, а — сложение модулей векторов; б — вычитание модулей векторов, в — по теореме Пифагора.

Векторная диаграмма токов и напряжений

Как построить векторную диаграмму токов и напряжений

Расчеты в цепях с синусоидальными напряжениями и токами упрощаются, если вместо синусоид оперировать с их изображениями — вращающимися векторами (рис. 1).

Проекция конца вектора на ось координат совершает синусоидальные колебания : каждое мгновенное значение тока, соответствующее моменту времени и фазовому углу , можно рассматривать как проекцию на ось ординат вектора, повернувшегося на фазовый угол относительно оси абсцисс.

Если что-то непонятно — вы всегда можете написать мне в WhatsApp и я вам помогу!

Таким образом, синусоидальная функция условно представляется вектором, длина которого определяется максимальным или действующим ее значением, а направление — ее начальной фазой; положительная начальная фаза откладывается от горизонтальной оси в сторону вращения векторов (против часовой стрелки). Векторы токов и напряжений, вращаясь с одной и той же

угловой скоростью ,. неподвижны относительно друг друга. Условное изображение синусоидально изменяющихся во времени токов и напряжении при помощи векторов позволило записать в векторной форме первый и второй законы Кирхгофа.

Алгебраическому суммированию синусоид, т.е. суммированию их мгновенных значений, соответствуют геометрические действия над изображающими их векторами. Применение в этой форме законов Кирхгофа даст возможность путем построения векторных диаграмм достаточно просто и наглядно рассчитывать электрические цепи. Приступая к графическому расчету пеней переменного тока, следует помнить, что физические процессы на участках цепи с сопротивлением, индуктивностью, емкостью весьма различны.

Соответственно вектор тока и вектор напряжения имеют одно направление.

В индуктивном элементе ток отстает от напряжения на и соответственно располагаются векторы (рис.3). Закон Ома для участка цепи только с индуктивными сопротивлением записывается .

В емкостном элементе в активном сопротивлении ток и напряжение совпадают по фазе (рис.2), ток опережает напряжение на ( расположение вектора напряжения и тока показано на рис.4); закон Ома для участка цепи только с емкостным сопротивлением записывается или .

Рассмотрим расчет разветвленных электрических цепей с помощью векторных диаграмм.

Графоаналитический метод расчета

Графоаналитический метод расчета — это совокупность графического метода и метода пропорционального пересчета. Метод основан на том, что в линейной цепи токи пропорциональны напряжениям, векторная диаграмма напряжений и токов, рассчитанная и построенная для одного значения питающего цепь напряжения, сохранит свой вид при изменении величины этого напряжения, на диаграмме при этом изменятся лишь масштабы напряжений и токов.

Пример №1.

Для цепи (рис.5) известны параметры

Требуется определить действующее значение токов ветвей, напряжений на участках цепи, начальные фазы токов и напряжений.

Построение векторной диаграммы начинается с наиболее удаленного источника элемента цепи, как говорят, с «конца» схемы. Принимаем масштабы для тока и для напряжения . Задаем значение тока в ветви , определяем и строим на диаграмме напряжения на участках ветви .

Падение напряжения на емкостном сопротивлении равно по величине и отстает по фазе от тока на 90° (вектор на диаграмме).

Падение напряжения на по величине равно и совпадает по фазе с током . Вектор напряжения ориентируем на диаграмме относительно тока . Сумма векторов и определяет напряжение на участке . Из диаграммы но масштабу определяем величину напряжения . Далее используем закон Ома для участка цепи с сопротивлением , находим ток , так как то .

Для узла уравнение по первому закону Кирхгофа запишется .

Определив величину тока , построим вектор , приняв за начало построения коней вектора тока . Вектор тока строится под углом к вектору напряжения — в сторону отставания, так как ток — ток через индуктивный элемент, он оттает от напряжения на . Сумма векторов токов и дает вектор — ток в общей ветви цепи, он равен (взят в масштабе с диаграммы).

Запишем и графически решим уравнение по второму закону Кирхгофа для контура .

Перейдем к построению этого уравнения. Примем конец вектора за начало построения вектора напряжения — падение напряжения на индуктивном сопротивлении. Вектор этого напряжения опережает по фазе ток на , строим его.

Принимаем конец вектора за начало построения вектора напряжения на активном сопротивлении. Величина напряжения , вектор напряжения совпадает по фазе с током , строим его параллельно вектору тока . Принимаем конец вектора за начало построения вектора — напряжения на емкостном сопротивлении , вектор отстает на от вектора тока .

Если теперь соединим начало координат (точку с концом вектора (точка «а» диаграммы напряжений), получим вектор приложенного к цепи напряжения , равный 15В (с масштаба напряжений). Если напряжение, приложенное к цепи имеет другую величину, например, 90 В. то в силу линейности законов Кирхгофа все токи и падения напряжения увеличатся в раз, где , но взаимное расположение вектором на диаграмме не изменится.

Входное напряжение имеет начальную фазу , учтем что и построим ось отсчета углов начальных фаз. К вектору напряжения проведем луч из начала построения (точка под углом , луч будет осью отсчета углов начальных фаз всех токов и напряжений.

Пользуясь векторной диаграммой, можно записать мгновенные значения всех рассчитанных величин. Например, ток во второй ветви:

Напряжение участка и т.д.

Построенная в такой последовательности векторная диаграмма напряжений носит название топографической.

Топографическая диаграмма

Топографические диаграммы представляют собой диаграммы комплексных потенциалов, причем каждой точке схемы соответствует определенная точка на топографической диаграмме.

Топографическая диаграмма позволяет измерить величину и начальную фазу напряжения любого участка цепи, не участвующею в расчете. Например,

В действующее значение напряжения между точками и схемы и начальная фаза . тогда

Рассмотрим пример построения топографической диаграммы на комплексной плоскости.

Пример №2.

Дана цепь (рис.7), её параметры:

Комплексным методом рассчитаем токи цепи:

Строим на векторной плоскости диаграмму токов в масштабе (рис.8). Для построения топографической диаграммы напряжений принимаем потенциал узла равным нулю, .

Тогда точка будет находиться в начале координат комплексной плоскости. Вычислим комплексы напряжении на каждом из элементов цепи, обходя из точки цепь против направления тока . При таком направлении обхода напряжение на сопротивлении

Строим вектор на комплексной плоскости (рис.8).

Из точки под углом к действительной полуоси +1 откладываем модуль в масштабе . Вершина построенного вектора соответствует точке . Стрелку вектора следует направить к точке т.е противоположно направлению стрелки напряжения на схеме цепи, топографической диаграмме вектор должен опережать но фазе вектор тока на 90°. Находим напряжение на сопротивлении :

По полученному выражению из точки строим вектор Вершиной вектора является точка .

Контроль построения: вектор должен совпадать по фазе с вектором тока .Теперь находим напряжение на индуктивности :

Из точки строим вектор . Вершиной построенного вектора является точка .

Контроль построения: вектор должен опережать по фазе вектор тока на . Переходя по контуру в выбранном направлении, находим последовательно положение точек на комплексной плоскости. Вектор, соединяющий начало координат и точку . представляет собой ЭДС источника .

Пользуясь топографической диаграммой, легко определить напряжения между любыми точками цепи. Например, комплекс напряжения определяется вектором, соединяющим точки и и направленным к точке (показан на рис.8 пунктиром). Измеряя на диаграмме модуль и начальную фазу вектора находим .

ПримсрЗ. Рассмотрим расчет цепи на рис.7 графоаналитическим методом

Зададимся условным значением тока , пусть . В масштабе строим значение тока , полагая, что точка находится в начале координат. Выбранному условному значению тока однозначно соответствуют условные значения всех остальных токов и напряжений в цепи. Эти напряжения и токи снабжаем меткой «штрих». Находим напряжение

В масштабе строим вектор напряжения , совпадающий по фазе с вектором тока ( рис.9).

Вычислив напряжение , строим вектор напряжения , опережающий по фазе вектор тока на 90′. Соединив точки и , получаем вектор . Измеряя линейкой его длину с учетом масштаба напряжений, находим . По закону Ома находим ток

Из конца вектора тока строим вектор тока , опережающий по фазе вектор напряжения на . Векторно суммируя токи и находим ток . Измеряя линейкой длину вектора тока находим . Зная токи вычисляем напряжения .

Из точки строим вектор напряжения , отстающего но фазе от тока на и вектор напряжения совпадающего по фазе с током . Чтобы определить токи и для участка цепи, построим дополнительную векторную диаграмму . Пусть

С учетом фазовых соотношений между током и напряжениями строим диаграмму (рис. 10). Измеряя длину вектора , с учетом масштаба напряжений находим его величину . Тогда величина тока определяется следующим образом .

Построив вектор и суммируя векторы токов и , из диаграммы на рис. 10 находим .

Чтобы привести диаграмму на рис.10 в соответствие с найденными ранее значениями тока , находим коэффициент пересчета

Умножая длины всех векторов на рис.10 на коэффициент и сохраняя неизменными фазовые углы, получим векторную диаграмму участка , соответствующую току .

Измеряем угол на диаграмме рис.10:

Под углом по отношению к вектору на рис.9 из точки строим вектор . Найдем теперь напряжение :

Поскольку напряжение , опережает по фазе ток на 90°. то вектор строится так, как показано на Рис.9. Соединяя точки и получаем вектор . Измеряя его длину находим

Векторная диаграмма на рис.9 является также и топографической диаграммой. ЭДС превышает ЭДС в раз:

Поскольку рассчитываемая цепь линейна, то напряжения и токи, вызываемые ЭДС , превышают условные напряжения и токи также в = 3.4 раза.

Чтобы измерить начальные фазы токов и напряжений, следует на рис.9 выбрать такую систему координат, в которой ЭДС имеет соответствующую заданию начальную фазу. Так как , то поместив начало координат в точку , действительную полуось совмещаем с направлением ЭДС , а полуось строим ортогонально оси 4 1, как показано на рис.9.

Рассмотрим пример построения векторной диаграммы по известным токам и напряжениям (действующие значения напряжений и токов получены экспериментально). В этом случае при помощи векторной диаграммы можно решить обратную задачу расчета цепи: но токам и напряжениям цепи определить эквивалентные параметры двухполюсников, составляющих цепь.

Пример №3.

Дана цепь (рис.11), известны показания измерительных приборов. Найдем параметры двухполюсника, эквивалентного данной схеме.

Для данной схемы можно составить три уравнения по законам Кирхгофа:

Решим эти уравнения графически. Построение диаграммы следует начать с построения вектора , для этой ветви известно взаимное расположение вектора тока и напряжения, участок с активным сопротивлением. В масштабе токов в произвольном направлении строится вектор . Так как — падение напряжения па активном элементе, оно совпадает но направлению с вектором тока , в масштабе напряжений , строим этот вектор. Ток в ветви с индуктивной катушкой отстает от напряжений , на некоторый угол , который неизвестен.

Используя показания амперметров и , решаем графически первый закон Кирхгофа (1) методом засечек: из конца вектора тока делаем засечку радиусом, равным величине тока в сторону отставания от напряжения , а из начала построения т.О вектора делаем засечку радиусом, равным току . Получаем векторную диаграмму токов заданной схемы. Из построения теперь можно определить — угол сдвига по фазе между током и напряжением на катушке.

Далее достраивается диаграмма напряжений: напряжения и известны. падение напряжения на емкости отстает от вектора тока ветви на 90°, строим его из конца вектора , — падение напряжения на активном элементе совпадает с током ветви, строим из конца в направлении, параллельном току .

Замыкающий вектор на диаграмме напряжений соединяет начало построения и конец вектора , определяет в масштабе напряжение на входе схемы, он равен .

Теперь с помощью треугольников напряжений (сопротивлений), токов (проводимостсй), построенных для какого-либо участка цепи или для всей цепи можно найти сопротивления, проводимости и параметры двухполюсника.

Определим эквивалентные параметры всей цени заданной схемы (см. рис.11) . Сначала строится треугольник напряжений : из конца вектора опускается перпендикуляр па направление вектора тока и определяется активная и реактивная составляющие напряжения — . С учетом масштаба .

• По закону Ома можно подсчитать эквивалентное активное сопротивление схемы эквивалентное реактивное сопротивление и модуль полного сопротивления схемы .

Векторная диаграмма сложной электрической цепи

Векторная диаграмма для сложной электрической цепи может быть построена только после расчета этой цепи; строится она на комплексной плоскости по известным комплексам токов всех ветвей и комплексам напряжений на каждом элементе цепи. Пример 5. Заданы источники энергии, сопротивления схемы