ПИД регулятор
ПИД регулятор – один из самых распространенных автоматических регуляторов. Он настолько универсален, что применяется практически везде, где нужно автоматическое управление. Например температурой: специальные печи, холодильники, инкубаторы, паяльники, сопло и стол 3D принтера, ИК паяльные станции и прочее. Поддержание частоты оборотов мотора, например для станков. Всевозможные балансирующие штуки, гироскутеры, сигвеи, левитирующие магнитные платформы, и конечно же квадрокоптеры и самолёты с автопилотом. Это всё ПИД регулятор. Почему именно ПИД? Существуют и другие регуляторы, превосходящие ПИД по адаптивности к управляемой системе и стабильности, например линейно квадратичный. Но, чтобы грамотно синтезировать такой регулятор, нужно быть гораздо больше чем “семи пядей” во лбу, а настройка ПИД регулятора дело хоть и неприятное, но фактически очень простое и под силу любому, а сам ПИД регулятор универсален для почти любого процесса.
Система управления
Прежде чем переходить непосредственно к пиду, очень важно понять и запомнить несколько базовых понятий, из которых состоит автоматическая система. В первую очередь это регулятор, который всем заправляет и находится в центре системы. Регулятор в данном понимании – математический алгоритм или часть программы, которая крутится на микроконтроллере. Регулятор, как алгоритм, работает с обычными числами. Объект управления – это девайс, которым мы управляем, например печка или мотор. Для этого у нас есть управляющее устройство, например диммируемый тен или драйвер мотора. Управляющее устройство получает от регулятора управляющий сигнал, то есть конкретное число. Это может быть заполнение шим сигнала, от 0 до 255, а может быть угол поворота сервомашинки от 0 до 180, потому что регулятору без разницы чем управлять. В объекте управления у нас стоит датчик, с которого регулятор получает управляемую величину, то есть текущий сигнал с датчика. Это – обратная связь, которая и даёт возможность системе ирчно поддержать заданное значение. В случае с печкой это температура, а с мотором – частота оборотов. Ну и наконец регулятор получает установку (уставку), то есть число, к которому он должен привести текущее значение с датчика. Установка может задаваться каким угодно образом: крутилкой, ползунком, энкодером, кнопками, да хоть смской или голосовым вводом. Регулятору это неважно, для него это просто цифра. Задача регулятора состоит в том, чтобы сравнивать текущее значение с установкой и выдавать управляющий сигнал на управляющее устройство. То есть в программе это будет выглядеть условно так: регулятор получил установку, регулятор получил значение с датчика, регулятор выполнил вычисления и выдал нам управляющий сигнал, опять же число. Если это шим – мы его подаём через функцию генерации шим. Есть ещё один момент – регулятор должен делать расчёты и применять управляющий сигнал через равные промежутки времени, то есть с равным периодом или частотой. Эта частота называется частотой дискретизации системы, а период обозначается как dt, прямо как период интегрирования.
Под капотом у ПИД регулятора
ПИД регулятор состоит из трёх составляющих: пропорциональной P, интегрирующей I и дифференциирующей D, формируется просто как сумма трёх значений, умноженных каждая на свой коэффициент. Эта сумма после вычислений становится управляющим сигналом, который подаётся на управляющее устройство, обозначим его как out.
kP, kI и kD это и есть те самые коэффициенты, которые нужно настроить для работы ПИДа. Значения тут могут быть самые разные, от 0.001 то десятков и тысяч, это зависит от конкретной системы. Тут есть ещё один момент: любой коэффициент может быть равен нулю, и в таком случае обнуляется вся его компонента. То есть регулятор можно превратить в П, ПИ, ПД, и прочие сочетания. Разные системы требуют разного подхода, именно поэтому ПИД регулятор такой универсальный. В дальнейшем будем пользоваться следующими названиями переменных:
- out – выход с регулятора (управляющий сигнал)
- setpoint – установка (заданное значение)
- input – вход (значение с датчика)
- err – ошибка регулирования
- dt – период вычисления и регулирования
P составляющая
Пропорциональная составляющая предоставляет собой разность текущего значения с датчика и установки.
Данная разность называется ошибкой регулирования, то есть насколько далеко находится система от заданного значения. Получается чем больше ошибка, тем больше будет управляющий сигнал и тем быстрее система будет приводить управляемую величину к заданному значению. Коэффициент kP тут влияет роль усиления ошибки и настраивается вручную. Но в то же время, если система пришла к заданной величине, ошибка станет равной нулю, и управляющий сигнал тоже! Другими словами, п регулятор никогда не сможет привести к заданному значению, всегда будет некая ошибка. П составляющая является основной в ПИД регуляторе и так сказать тянет самую большую лямку, регулятор может неплохо работать только лишь на ней одной. P составляющая исправляет ошибку в текущий момент времени.
I составляющая
Интегральная составляющая просто суммирует в саму себя ту же самую ошибку, разность текущего и заданного значения, умноженную на период дискретизации системы, то есть на время, прошедшее с предыдущего расчёта dt – фактически берёт интеграл от ошибки по времени.
В самом регуляторе это ещё умножается на коэффициент kI, которым настраивается резкость данной составляющей. В интегральной составляющей буквально копится ошибка, что позволяет регулятору с течением времени полностью её устранить, то есть привести систему ровно к заданному значению с максимальной точностью. I составляющая исправляет прошлые, накопившиеся ошибки.
D составляющая
Дифференциальная составляющая представляет собой разность текущей и предыдущей ошибки, поделенную на время между измерениями, то есть на ту же dt, которая общий период регулятора. Иными словами – это производная от ошибки по времени.
Фактически D составляющая реагирует на изменение сигнала с датчика, и чем сильнее происходит это изменение, тем большее значение прибавляется к общей сумме. Иными словами, D позволяет компенсировать резкие изменения в системе и при правильной настройке предотвратить сильное перерегулирование и уменьшить раскачку. Коэффициент д позволяет настроить вес, или резкость данной компенсации, как и остальные коэффициенты регулируют свои составляющие. D составляющая в первую очередь нужна для быстрых систем, то есть для систем с резкими изменениями, такие как квадрокоптер или шпиндель станка под переменной нагрузкой. D составляющая исправляет возможные будущие ошибки, анализируя скорость.
Настройка регулятора
Для настройки регулятора нужно варьировать коэффициенты:
- При увеличении kP увеличивается скорость выхода на установленное значение, увеличивается управляющий сигнал. Чисто математически система не может прийти ровно к заданному значению, так как при приближении к установке П составляющая пропорционально уменьшается. При дальнейшем увеличении kP реальная система теряет устойчивость и начинаются колебания.
- При увеличении kI растёт скорость компенсации накопившейся ошибки, что позволяет вывести систему точно к заданному значению с течением времени. Если система медленная, а kI слишком большой – интегральная сумма сильно вырастет и произойдёт перерегулирование, которое может иметь характер незатухающих колебаний с большим периодом. Поэтому интегральную сумму в алгоритме регулятора часто ограничивают, чтобы она не могла увеличиваться и уменьшаться до бесконечности.
- При увеличении kD растёт стабильность системы, она не даёт системе меняться слишком быстро. В то же время kD может стать причиной неадекватного поведения системы и постоянных скачков управляющего сигнала, если значение с датчика шумит. На каждое резкое изменение сигнала с датчика Д составляющая будет реагировать изменением управляющего сигнала, поэтому сигнал с датчика нужно фильтровать (читай урок по фильтрам).
Вот так выглядит процесс стабилизации при изменении коэффициентов: Настройка регулятора – дело не очень простое. Начальные коэффициенты для подбора можно получить по следующему алгоритму: сначала выставляем все коэффициенты в 0. Плавно увеличиваем kP до появления незатухающих колебаний. Значение kP, при котором они появились, запишем и обозначим как kP1. Далее замеряем период колебаний системы в секундах, обозначим как T. Итоговые коэффициенты получим так:
- kP = 0.6 * kP1
- kI = kP / T * 2 * dt
- kD = kP * T / 8 / dt
Например, незатухающие колебания появились при kP 20, период колебаний составил 3 секунды. Период dt в системе будет 50 мс (0.05 с). Считаем:
- kP: 0.6*20=12
- kI: 12/3*2*0.05=0.4
- kD: 12*2/8/0.05=60
На полученных коэффициентах должны более-менее работать большинство систем, но не все. Также можно воспользоваться автоматическим тюнером коэффициентов, например два разных алгоритма встроены в библиотеку GyverPID.
Реализация на C++
Соединяя все рассмотренные выше уравнения, получим:
Это готовая функция, которая принимает значение с датчика, установку, три коэффициента и время, а также ограничение выхода с регулятора. Как пользоваться этой функцией: функция должна вызываться с некоторым периодом, причем длительность этого периода нужно будет передать в функцию в секундах. Если попроще, можно использовать задержку. Но делать так не рекомендуется, лучше сделать таймер на миллис и работать с ним. Функция возвращает управляющий сигнал, то есть можно подать его например как ШИМ. Период dt имеет такой смысл: чем инерционнее у нас система, тем реже можно вычислять пид. Например для обогрева комнаты период можно поставить 1 секунду или больше, а для контроля за оборотами двигателя надо будет поставить пару десятков миллисекунд, то есть около сотни раз в секунду.
Что такое ПИД регулятор для чайников?
Дифференциальный пропорционально-интегральный регулятор — устройство, которое устанавливают в автоматизированных системах для поддержания заданного параметра, способного к изменениям.
На первый взгляд все запутанно, но можно объяснить ПИД регулирование и для чайников, т.е. людей, не совсем знакомых с электронными системами и приборами.
Что такое ПИД регулятор?
ПИД регулятор — прибор, встроенный в управляющий контур, с обязательной обратной связью. Он предназначен для поддержания установленных уровней задаваемых величин, например, температуры воздуха.
Устройство подает управляющий или выходной сигнал на устройство регулирования, на основании полученных данных от датчиков или сенсоров. Контроллеры обладают высокими показателями точности переходных процессов и качеством выполнения поставленной задачи.
Три коэффициента ПИД регулятора и принцип работы
Работа ПИД-регулятора заключается в подаче выходного сигнала о силе мощности, необходимой для поддержания регулируемого параметра на заданном уровне. Для вычисления показателя используют сложную математическую формулу, в составе которой есть 3 коэффициента — пропорциональный, интегральный, дифференциальный.
Возьмем в качестве объекта регулирования ёмкость с водой, в которой необходимо поддерживать температуру на заданном уровне с помощью регулирования степени открытия клапана с паром.
Пропорциональная составляющая появляется в момент рассогласования с вводными данными. Простыми словами это звучит так — берется разница между фактической температурой и желаемой, умножается на настраиваемый коэффициент и получается выходной сигнал, который должен подаваться на клапан. Т.е. как только градусы упали, запускается процесс нагрева, поднялись выше желаемой отметки — происходит выключение или даже охлаждение.
Дальше вступает интегральная составляющая, которая предназначена для того, чтобы компенсировать воздействие окружающей среды или других возмущающих воздействий на поддержание нашей температуры на заданном уровне. Поскольку всегда присутствуют дополнительные факторы, влияющие на управляемые приборы, в момент поступления данных для вычисления пропорциональной составляющей, цифра уже меняется. И чем больше внешнее воздействие, тем сильнее происходят колебания показателя. Происходят скачки подаваемой мощности.
Интегральная составляющая пытается на основе прошлых значений температуры, вернуть её значение, если оно поменялось. Подробнее процесс описан в видео ниже.
А дальше выходной сигнал регулятора, согласно коэффициенту, подается для повышения или понижения температуры. Со временем подбирается та величина, которая компенсирует внешние факторы, и скачки исчезают.
Интеграл используется для исключения ошибок путем расчета статической погрешности. Главное в этом процессе — подобрать правильный коэффициент, иначе ошибка (рассогласование) будет влиять и на интегральную составляющую.
-регулятора
ПИД-регулятор – устройство автоматического регулирования с обратной связью. Управляющий сигнал формируется по пропорционально-интегрально-дифференциальному закону, то есть воздействие представляет собой сумму трех составляющих разности входного сигнала и сигнала обратной связи:
- Пропорциональной.
- Интегральной.
- Дифференциальной (производной).
Структурная схема устройства и формулы каждой составляющей указаны на рисунке.
ПИД-регуляторы относятся к устройствам непрерывного действия, они получили самое широкое распространение в системах автоматического управления. Такие устройства обладают значительным быстродействием, реагируют на тенденции изменения ошибки, а также устойчивы к воздействию шумов.
Настройка ПИД-регулятора сводится к подбору величин 3 коэффициентов, так чтобы устройство поддерживало заданный параметр на определенном уровне.
Рассмотрим настройку ПИД-регулятора температуры. Допустим ее величина на данный момент 10 °С, а требуемое значение должно составлять 25°С.
На графике указаны 2 различных переходных процесса, возникающих при увеличении температуры. Расходящаяся кривая, указанная черным цветом, иллюстрирует работу ненастроенного регулятора. Контролируемая величина не принимает заданного значения, функция «идет вразнос».
Красным цветом указана «идеальная кривая», характеристика достаточно крута, что указывает на небольшое время отклика, величина быстро достигает значения 25°С и удерживается на этом уровне.
Настройка пропорционального коэффициента
Для подбора оптимальной пропорциональной составляющей выставляют нулевые значения интегрального и дифференциального коэффициента. Затем задают величину температуры, отличную от текущей.
Далее через равные промежутки времени вносят полученные переходные величины в таблицу и строят график.
При высоком перерегулировании как на кривой, показанной синим цветом, уменьшают пропорциональную составляющую, при медленном достижении нужного значения температуры, коэффициент увеличивают. Задача – приблизить график к «идеальной кривой», изображенной в красном цвете.
Настройка дифференциального коэффициента
После отладки пропорциональной составляющей настраивают дифференциальный коэффициент. Необходимо достичь отсутствия перерегулирования, которое отображается в виде скачков температуры выше заданного значения. Для этого дифференциальную составляющую плавно повышают.
При наличии скачков в диапазоне ниже верхнего заданного значения контролируемого параметра, дифференциальную составляющую уменьшают. При этом также стоит задача приближения фактического графика к «идеальной кривой».
Настройка интегрального коэффициента
После отладки пропорциональной и дифференциальной составляющей удается получить кривую, очень близкую к идеальной. Однако, температура при этом не достигает заданной величины и поддерживается на более низком значении.
Такое расхождение называют статической ошибкой. Чтобы ее исключить, настраивают интегральную составляющую. Коэффициент плавно увеличивают до исчезновения статической ошибки. При выявлении скачков значений величины контролируемого параметра, интегральную составляющую также плавно снижают.
На практике редко удается достичь настроек близких к идеальным. Любая система подвержена возмущениям извне, что делает невозможным достижение «идеальной кривой». Обычно ограничиваются настройкой, удовлетворяющей условия технологического процесса.
Настройка ПИД-регулятора в преобразователях частоты
Частотные преобразователи – устройства для изменения момента и скорости вращения электродвигателей переменного тока различной конструкции. Современные ПЧ комплектуются функциями ПИ и ПИД-регуляторами. Устройства широко применяют в автоматизированных электроприводах промышленного оборудования различного назначения.
Рассмотрим настройку ПИД-регулятора на примере частотного преобразователя «Данфосс» серии VLT® AutomationDrive FC 360.
ПИД-регуляторы – для чайников-практиков
Обещал я недавно моему знакомому — хорошему электрику и чайнику в электронике — сделать небольшое устройство в автомобиль, которое, регулируя заслонку, будет поддерживать обороты в дОлжном состоянии (все подробности по авто-части к нему. Знаю, что назвали мы эту чучу умным словом «регулятор холостого хода»). Причем эти обороты должны зависеть от текущей температуры двигателя. «Так тебе нужно работать с ПИД-регулятором» — сказал я ему. А в ответ увидел туман в глазах, дым в ушах и дрожащий голос – «А это ничего общего со СПИДом не имеет. ». В общем, придется ему объяснить подробности, при этом избегая математики. В Интернете море статей на эту тему (достаточно начать отсюда). Моя статья – еще одна ложка в море информации. Интересующимся – под кат!
Что мы делаем?
Итак, мы делаем регулятор холостого хода.
В данном случае однозначно просится к реализации система управления с обратной связью. В своей статье про «Датчики и АЦП» я рассказывал про систему управления с обратной связью, подробности ищите там. Также там была неплохая картинка на эту тему:
Что это будет в данном случае?
Мы хотим управлять оборотами двигателя в состоянии холостого хода. Для этого у нас есть шаговый двигатель, который открывает/закрывает заслонку для регулировки подачи воздуха. Также у нас есть таблица, которая указывает желаемую частоту двигателя в зависимости от текущей температуры. Управление объектом тут у нас выполняется шаговым двигателем. Состояние объекта определяется 1) оборотами двигателя и 2) текущей температурой.
Для данной картинки получаем следующее:
- Объект — двигатель автомобиля;
- Измерение производится для 1) оборотов двигателя (в нашем случае – промежуток времени между соседними импульсами тахометра, которых два на один оборот) и 2) температуры двигателя (сопротивление терморезистора);
- Воздействие направлено на обороты двигателя, для чего регулируется заслонка воздуха. Регулируется она шаговым двигателем. Значит, мы задаем степень смещения для шагового двигателя;
- Расчет — вычисление требуемого смещения в зависимости от 1) оборотов двигателя, 2) температуры двигателя, 3) текущего состояния шагового двигателя;
- Общение в данном случае отсутствует (впрочем, я выведу наружу COM-порт для настройки/диагностики устройства).
Что это за функция? Она выдает нам текущее значение шага, которое зависит от всего вышеперечисленного. Как она это делает?
Вся собака зарылась в том, что мы хотели на данный шаг получить одни обороты, а они в реальности совсем другие! Значит, нам нужно знать значение текущей ошибки (невязки), и она может быть вычислена как разность предполагаемых оборотов в будущем и текущих:
Ошибка (t) = Обороты (t+1) — Обороты (t).
В случае, когда обороты четко соответствуют требуемому значению (к чему мы и стремимся), ошибка будет равна нулю. Эта ошибка нам показывает насколько сильным должно быть воздействие.
Формула для следующего шага теперь может быть записана следующим образом:
Теперь можно вынести значение предыдущего шага за скобки:
Шаг (t+1) = Шаг (t) + Функция .
Все понятно? Мы на каждом шаге работы регулятора должны задавать текущее положение шагового двигателя. Он зависит, понятное дело, от предыдущего шага и от ошибки. Шаговый двигатель управляется смещениями, поэтому нам не так уж и важен текущий шаг (проигнорируем тему выхода за пределы допустимого количества шагов – моему другу электрику это знать не обязательно). В итоге можно перейти к такой записи:
ИзменениеШага (t+1) = Функция .
- дискретностьtили размер шага. С какой частотой мы делаем воздействие? Я не знаю – я еще только разрабатываю сие чудо техники. Думаю, что шага в 50 мсек хватит за глаза. В моей программе это будет настраиваемый из EEPROM параметр. Впрочем, эту тему игнорировать нельзя и мы к ней еще вернемся;
- управление шаговым двигателем. Там своя масса нюансов. Читайте Интернет, googl-ите – тема широко освещена;
- связь функции с шагом и оборотами. Ошибку-то мы вычислили, ее размерность совпадает с размерностью оборотов двигателя (в моем случае это время, мсек). Как она преобразуется в размерность шага? Эту тему мы тоже оставим за бортом, т. к. это не имеет отношения к теме, собственно, ПИД-регуляторов. Для особо любопытных – я буду брать % от максимально возможной ошибки (задается максимально/минимально допустимыми оборотами) и пропорционально его превращать в % от максимально возможного одиночного изменения шага (задается полным диапазоном шагов двигателя).
Формула ПИД-регулятора
Как я и обещал, формул тут не будет… ну, почти не будет. И этот раздел – как раз и будет формулой. Обещаю – больше формул не будет! Так что потерпите!
Итак, формула ПИД-регулятора:
(навеяно Википедией)
Тут у нас следующие буковки (разъясним чуть ниже):
- u (t) — наша Функция;
- P — пропорциональная составляющая;
- I — интегральная составляющая;
- D — дифференциальная составляющая;
- e (t) – текущая ошибка;
- Kp — пропорциональный коэффициент;
- Ki — интегральный коэффициент;
- Kd — дифференциальный коэффициент;
u(t) = P (t) + I (t) + D (t);
P (t) = Kp * e (t);
I (t) = I (t — 1) + Ki * e (t);
D (t) = Kd * <e (t) — e (t — 1)>;
Вот это уже выглядит куда реальнее и понятнее! Мы вычисляем сумму трех составляющих. Каждая из них определяется своими коэффициентами. Если данный коэффициент нулевой, то составляющая в вычислении не участвует. С этой формулой мы и будем работать далее, ее я и реализую.
Впрочем, есть еще и другая, рекуррентная реализация:
u(t) = u(t — 1) + P (t) + I (t) + D (t);
P (t) = Kp * <e (t) — e (t — 1)>;
I (t) = I * e (t);
D (t) = Kd * <e (t) — 2 * e (t — 1) + e (t — 2)>;
Какая из них лучше/правильней? Математика, в общем-то, одинаковая. Коэффициенты тоже. Говорят, что есть разные подводные булыжники при реализации.
Обратите внимание! Коэффициенты тут – обязательно дробные числа! В языке программирования Си – как минимум float, а лучше бы и double.
Вся магия ПИД-регуляторов – именно в этих коэффициентах. Как их подбирать – посмотрим в конце. А сейчас переведем дух от математики и поедем к изучению поведения этой формулы.
Все расчеты и моделирование я проводил на модели в Excel. Он – файл – приложен внизу, с ним можно поиграться самостоятельно. Модель – сугубо для ознакомления с идеей! Т. е. не надо ее стараться привести к какому-то реальному процессу, искать в ней научный смысл и т. п. Там все цифры слегка «отфонарные». Но зато и файл простенький и несложный. И моделируется быстро. И дает возможность понять суть ПИД-регулятора. Пару слов по файлу я дам в конце.
Пропорциональная составляющая
Первый коэффициент – пропорциональный. Он самый очевидный и понятный (реально я когда-то давно сам вывел формулу ПИД-регулятора, кому-то показал, и он рассказал мне об этой теории; так вот, вывод я начал с пропорционального вида).
Рассмотрим его – пропорционального коэффициента — влияние на результат.
«Ожидаемое» – это то, что мы хотим получить. Вначале оно равно какому-то низкому значению (в нашем примере – это те обороты двигателя, которые создает стартер). Далее, в момент времени 3, оно вдруг стало равно 2000 (завели мотор и, исходя из текущей температуры, мы должны получить 2000 оборотов в минуту).
(Небольшая ремарка – в автомобилях частоту измеряют в кол-во оборотов в минуту!)
Сделаем первый вариант: Kp = 2. Посмотрим на красную линию. Что мы видим? По ходу дела обороты начали расти – ошибка стала снижаться – значение коррекции постепенно растет — красная линия растет (обороты двигателя увеличиваются). В какой-то момент (почему-то 13-ый) обороты достигают требуемой величины. Класс? Супер! Да вот только медленно как-то…
Попробуем другой коэффициент: Kp = 5. Что видим? Зеленая линия. Достигла результата шустро – на 6-ом шаге. Класс! Да вот – ой! – перелет (по науке перерегулирование). Потом, правда, вернулись назад – порядок.
А что если коэффициент сделать еще больше? Kp = 20. Синяя линия – бух! За один шаг! Но – сразу перелет. Потом падаем вниз – ошибка стала отрицательной. Опять сильно вниз! Рывок вверх! Опять вниз! Что видим? Пошли колебания. Они, слава Богу, затухающие.
Если увеличивать коэффициент больше, то такие колебания могут стать незатухающими. Система начнет колебаться все больше и больше, пока не … ну-у, тут уже все зависит от конкретной системы.
Какова природа колебаний? Система, на которую воздействуют, всегда (в реальной жизни) инерционна. Обороты повышаются – коэффициент падает к нулю. И вот – достигли нужной точки. Коэффициент ошибки (и регулирования) достиг нуля. Но ведь процесс поднятия оборотов инерционен! Движёк раскочегарен, обороты продолжают по инерции расти. И тогда будем двигать заслону назад – опускать обороты. Опять достигли нуля – а обороты продолжают падать… И так, в общем-то, до бесконечности.
Особенно это очевидно в системах поддержания температуры. Нагрев надо выключать до нужной температуры – чтобы сам нагреватель перестал разогреваться и греть объект.
Для решения этой проблемы используется следующая –
Интегральная составляющая
Эта составляющая накапливает ошибку (как и любой интегратор). Т. е. постепенно накапливается эта самая ошибка, интегратор «наполняется» и его воздействие увеличивается. Эффект от такого накопления не мгновенен — ибо ошибка должна накопиться, на что уходит некоторое количество шагов алгоритма.
Рассмотрим случай, когда Kp = 5, а Ki будем менять:
Вариант 1 (красный) – Ki = 0.
Вариант 2 (зеленый) – Ki = 0.2.
Вариант 3 (синий) – Ki = -0.3.
Использование положительного коэффициента (зеленая линия) в данном случае, пожалуй, ничего нам не дало. А вот отрицательный коэффициент (синяя линия) очень даже неплохо помог! Но вот только линяя пошла вниз, и потом она приведет к раскачиванию системы… (но на практике раскачивания системы, как правило, не происходит, т. к. постоянно будут коррекции текущего состояния)
Итак, интегральная составляющая позволила нам сгладить резкий эффект пропорциональной составляющей. Это неплохо!
Но вы погодите – сейчас нам покажет всю свою мощь
Дифференциальная составляющая
Эта составляющая пропорциональна темпу изменений. Как подсказали в комментариях, она «придает ускорение».
Как и ранее, Kp = 5, а Kd будем менять:
Вариант 1 (красный) – Kd = 0.
Вариант 2 (зеленый) – Kd = 0.2.
Вариант 3 (синий) – Kd = -0.2.
Каково? И сглаживает, и не дает раскачиваться в будущем!
Реакция на помехи
Надо еще не забывать об одной такой малоприятной вещи – о помехах. Они будут раскачивать лодку нашей системы.
Вот картинка, когда у нас стоит задача поддерживать одно и то же значение оборотов:
Шумовое (случайное) воздействие – одинаковое для всех вариантов.
Вариант 1 (красный) – Kp = 10, Ki = 0, Kd = 10.
Вариант 2 (зеленый) – Kp = 10, Ki = 2, Kd = 0.
Вариант 3 (синий) – Kp = 10, Ki = 2, Kd = 6.
Как видно, с добавлением составляющих стабильность (немного) увеличивается.
Настройка
Я думаю, общее представление о формуле ПИД-регулирования вы получили. Программируется легко, эффект красивый. И следующий вопрос у вас будет – «а как получит коэффициенты»? И вот тут все становится кисло… Потому что, если до этих пор шла строгая математика, то дальше начинаются танцы с бубнами, шаманство и шайтанство. Нет, все-таки есть какие-то точные методы, но мне становится плохо при мысли, что я должен это проделать для своего двигателя в автомобиле!
В комментариях мой метод (и мое понимание) настройки разгромили, закопали и затоптали. И порекомендовали прочитать хорошую книгу «ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ «ЧАЙНИКОВ»» К.Ю. Полякова (созвучное название, не находите?). Согласен, тема (настройки) сложная, для меня неоднозначная, поэтому соглашусь с комментирующими — надо прочитать эту книгу и глубже вникать в тему. Но… это уже будет не для уровня чайников, не так ли? В книге Полякова формул более чем достаточно, а это уже уровень электро-чайника! Так что позвольте мне изложить свой подход. Неидеальный, но достаточный для старта и более детального изучения темы.
Прежде всего, вы должны иметь четкое представление о своей системе регулирования – насколько она инерционна? какие шумы на нее могут воздействовать? какие воздействия (результаты функции ПИД-регулятора) для нее недопустимы?
Следующий вопрос – насколько вашу систему можно погонять туды-сюды? Все методы, что я нашел, базируются на тестовых воздействиях на систему и анализе результатов. Нужно пробовать, пробовать, считать, считать, считать (ну или по науке — строить модель)… А температура двигателя-то растет, и воздействие через полчаса работы уже будет совсем не таким, как при начале. А как вы в один и тот же день проверите работу при -30оС и +30оС.
Вот несколько полезных советов оттуда же:
- увеличение пропорционального коэффициента увеличивает быстродействие и снижает запас устойчивости;
- с уменьшением интегральной составляющей ошибка регулирования с течением времени уменьшается быстрее;
- уменьшение постоянной интегрирования уменьшает запас устойчивости;
- увеличение дифференциальной составляющей увеличивает запас устойчивости и быстродействие.
Частота опроса/воздействия
Есть очень важный момент работы при разработке ПИД-регулятора: воздействие должно быть строго периодичным, т. е. производиться через равные промежутки времени! Аналогично, ошибка должна вычисляться также периодически.
Какой должен быть период измерений/воздействий? Для начала определите время стабилизации системы – за сколько должно быть достигнуто устойчивое состояние (в случае регулятора холостого хода хватит периода 0.5 секунды). Потом разделите это время на 10 … 100 – и вы получите длительность шага (в моем случае хватит и 10 мсек). А вообще – чем выше частота, тем лучше! Но надо помнить, что операции с дробными числами весьма медленны. Фактически, они и зададут вам период работы.
Посмотрим, как период опроса (и воздействия) влияет на качество результата:
Коэффициенты ПИД-регулятора: – Kp = 10, Ki = 0, Kd = 0.
Вариант 1 (красный) – период опроса 0.5 у.е.
Вариант 2 (зеленый) – период опроса 0.35 у.е.
Вариант 3 (синий) – период опроса 0.15 у.е.
Как видим, в первом случае есть мощные выбросы. Во втором случае (70% от первого периода) они стали слабее, а в третьем (30%) – преобразование вообще получилось гладким! Т. е. для первых двух вариантов нужны дополнительно интегральная или дифференциальная составляющие, а для последнего мы обошлись только пропорциональной. А это существенная разница в вычислениях!
Так что вопросу выбора периода надо уделить первостепенное внимание.
Итак, время выбрали, все коэффициенты сбросили в ноль. Начинаем управлять системой.
Идеально, если вы сможете собрать статистику – записывать воздействие/результат/сопутствующую информацию в текстовый файл. Потом его можно открыть в том же Excel и проанализировать.
Настройка пропорционального коэффициента Kp
Для начала я устанавливаю коэффициент Kp в 1 и смотрю, что будет. Растет слишком медленно – увеличиваю. В какой-то момент начнутся перелеты и колебания. Значит, многовато – уменьшаем. Исчезли – немного увеличиваем. Начались – немного уменьшаем. Исчезли — … И так далее, пока не надоест. В итоге получили достаточно устойчивый пропорциональный регулятор, который надо немного скорректировать (надо ли? Если все работает вполне качественно, то не морочим себе голову и считаем, что все настроено)
Настройка дифференциального коэффициента Kd
Понемногу наращиваю коэффициент Kd — 0.5, 1,… Колебания системы уменьшаются, все работает красивее… Пока не происходит обратное – начинаются мощные выбросы. Все, перерегулировали, уменьшаем.
Итак, имеем выбросы – уже меньше, но все равно имеем. Самое то сгладить, притормозить воздействие!
Настройка интегрально го коэффициента Ki
Шаманим дальше. Берем совсем немного – 0.1 для начала. Можно попробовать и небольшое отрицательное значение. Смотрим, пробуем, крутим…
Процесс этот – настройки – итерационный. Стоит пробовать разные варианты, начинать сначала. Для меня он по-прежнему туманен и шайтанен.
Дополнительные модули?
Построили, сделали — и увидели, что все равно есть какие-то биения, ненужные колебания. Ну-с, а что вы хотели. Серьезный подход изобилует формулами, сложными расчетами!
И Бог с ними — вот что я скажу! Можно вполне на выходе добавить усреднение нескольких последних тактов — дешево (в плане расчетов) и сердито (в плане стабильности воздействий). Можно поставить еще какие-нибудь фильтры.
Не будем догматичными! Кто сказал, что нужно ограничиться одним лишь ПИД-регулятором?
Информация по модели
А теперь – обещанная пара слов по Excel-файлу. В нем реализована модель, схожая с перемещением по линии. Не очень корректная, возможно, но вполне достаточная для старта (может, по результатам обсуждения сделаю более точную модель — возьму для примера модель электродвигателя из статьи Полякова). Есть предыдущее положение, скорость и ускорение. Скорость рассчитывается как разница предыдущих перемещений. Ускорение определяется как П-И-Д – воздействие, умноженное на коэффициент усиления (в верхней части таблицы).
В таблице представлены 3 варианта. Они настраиваются сверху:
- Коэффициент усиления задает множитель для ускорения. Меньше единицы – воздействие будет «тормозить», больше – раскачивать систему;
- Начальное значение — стартовое значение оборотов двигателя;
- Шаг времени используется в формуле расчета новых значений. Его увеличение «ускоряет» моделирование (и исчезают все мелкие шаги);
- Шум — диапазон изменения случайного числа. Ставите 0 – и его воздействие на моделирование исчезает;
- Воздействие — три коэффициента для расчета. Меняете, смотрите;
- Колонка желаемое — то значение, к которому стремится ПИД-регулятор. Его можно менять в любой клетке по высоте. Там сейчас заложено несколько ступенек
В заключение – о реализации
- чтение текущего состояния (измерение ошибки) и воздействие должны быть вынесены в отдельный поток с максимально высоким приоритетом, т. к. весьма критична периодичность чтения/воздействия. Причем, эти потоки должны быть синхронны, но сдвинуты по фазе (другими словами, эти потоки должны вызываться с одинаковой периодичностью, но в разные моменты времени).
- расчет воздействия должен вестись в потоке с относительно низким приоритетом. Нет, ну он вообще-то может быть и весьма высоким, но однозначно ниже приоритета обработчиков прерываний и функций, непосредственно с ними — обработчиками прерываниями — связанными.
- также разумно поток вычисления воздействия сделать «спящим», а будить его должен поток измерения ошибки (после ее вычисления, конечно).
- возможна ситуация, что время воздействия пришло, а воздействие еще не рассчитано (т. к. разные приоритеты). Поэтому переменная с воздействием должна изменяться атомарно, да и считываться тоже: 1) меняться только в конце вычисления, 2) считываться только в одном месте потока воздействия. На худой конец повторится старое воздействие. Немного подпортит картинку, конечно, но потом, я думаю, система восстановится. Ну и нельзя забывать, что это в Си действия с float атомарные, на Ассемблере отнюдь! Похоже, что не обойтись без средств синхронизации/блокировки.
Как видите – ничего революционного!
Прежде всего, все радости происходят в отдельной функции, которая вызывается периодически.
Первый вызов – инициализация из EEPROM или откуда-нибудь еще коэффициенты, обнуляем переменные для рекурсивных вызовов. Потом начинаем пошагово 1) измерять, 2) вычислять, 3) воздействовать, и так по кругу. Заодно производится привязка к реальному времени. Если текущее время меньше требуемого (функция TimeIsLower), то действие не производится.
В комментариях поинтересовались — зачем такие сложности с машиной состояний? С недетерминированным алгоритмом? Отвечаю: благодаря такому подходу я реализую простенький «параллелизм». Т. е. в промежутке между этапами вычислений я делаю какие-то другие действия (в моем случае общение по UART, которое может быть весьма напряженным — когда я использую сий девайс как логгер событий).
Вроде бы все… Что забыл, что перепутал – пишите. Как всегда, приветствуются комментарии о ляпах и ошибках!