Что рационально использовать для выделения периодического сигнала на фоне помехи

Общие вопросы фильтрации

Фильтрацией в широком смысле называется любое преобразование обрабатываемых сигналов с целью изменения соотношения между их различными компонентами. Чаще всего путем фильтрации проводится выделение из сигнала его части, спектр которой лежит в определенной области (в полосе пропускания).

При фильтрации измерительных сигналов решаются два основных типа задач: выделение полезного сигнала, наблюдаемого на фоне помех, и частотный анализ.

Задачами первого типа являются:

· обнаружение детерминированного сигнала известной формы на фоне помех;

· оценка информативных параметров квазидетерминированных сигналов, наблюдаемых на фоне помех;

· фильтрация случайных сигналов.

Задачи частотного анализа сводятся к определению составляющих сигнала с некоторыми, в большинстве случаев дискретными, частотами.

При решении задач, связанных с анализом сигналов, фильтрация применяется для измерения искажений, формирования средних экспоненциальных значений и для подавления, усиления или отделения некоторых частотных составляющих или полос частот.

Фильтрацию можно классифицировать по роду преобразований на аналоговую и цифровую, а по расположению полос пропускания – на фильтрацию нижних частот (ФАЧ) (рис.1,а); фильтрацию верхних частот (ФВЧ) (рис.1,б); полосовую фильтрацию (ПФ), при которой полоса пропускания ограничена сверху и снизу (рис.1,в); заграждающую фильтрацию (ЗФ), при которой между двумя полосами пропускания, ограниченными снизу и сверху, имеется узкая полоса непропускания (рис.1,г).

Фильтрация может быть линейной и нелинейной. При линейной фильтрации в качестве фильтров используются динамические линейные системы, при нелинейной фильтрации – нелинейные. Линейная фильтрация используется гораздо чаще, чем нелинейная. Это объясняется, во-первых, сложностью анализа нелинейных систем, и, во-вторых, тем, что удовлетворительной вероятностной моделью большинства измерительных сигналов являются гауссовы случайные процессы, для которых линейные фильтры обеспечивают возможность выделения с требуемыми показателями полезной информации из смеси с помехой. Нелинейные фильтры находят применение для фильтрации импульсных помех с целью нахождения оценки информативного параметра сигнала, в качестве которой используется медиана плотности распределения вероятности.

Рис. 1. Основные виды фильтрации сигналов по расположению полос

пропускания: а – нижних частот; б – верхних частот;

в – полосовая; г – заграждающая

Учитывая широкую распространенность, математическую обоснованность методов линейной фильтрации, значительно превосходящих методы нелинейной фильтрации, в дальнейшем будем рассматривать только линейную фильтрацию.

В зависимости от априорной определенности сведений о форме, характере изменения и параметрах полезного сигнала может быть:

· фильтрация постоянного или периодического полезного сигнала с наложенной на него случайной помехой;

· фильтрация изменяющихся во времени полезного сигнала и помехи;

· фильтрация сигналов в виде дискретных последовательностей.

Устройства, с помощью которых осуществляется намеренное селективное подавление отдельных составляющих сигнала, называют фильтрами.

Основной характеристикой фильтра является его амплитудно-частотная характеристика (АЧХ), определяемая как модуль комплексного частотного коэффициента передачи |K(jw)|. АЧХ часто изображают в логарифмическом масштабе в виде графика , по которому можно определить логарифмическую крутизну:

Являясь безразмерной величиной, не зависящей от масштабов по осям координат, c измеряется в децибелах на октаву (дБ/октава). В октавах измеряется интервал частот. Одна октава соответствует интервалу, в котором частота изменяется вдвое.

Идеальными называются фильтры нижних частот, верхних частот, полосовой, у которых полоса пропускания находится внутри интервалов 0-w₁, w₂-¥, w₁-w₂ соответственно. Причем внутри этих интервалов АЧХ постоянна, а вне интервалов равна нулю. Идеальный заграждающий (режекторный) фильтр имеет АЧХ, равную нулю в некоторой полосе частот, и постоянное значение вне этого интервала. Следовательно, у АЧХ идеальных фильтров на граничных частотах c равна бесконечности.

Реальные фильтры имеют АЧХ с конечной крутизной.

Фильтры разделяются также на физически реализуемые и физически неосуществимые.

Физически реализуемый фильтр – это такой фильтр, у которого сигнал на выходе не может появиться раньше, чем был подан сигнал на вход. Для физически реализуемого фильтра необходимо, чтобы соблюдалось условие казуальности:

где h(t) – импульсная характеристика фильтра.

Вторым условием физической осуществимости фильтра является затухание импульсной характеристики со временем:

Физически реализуемые фильтры должны отвечать условиям устойчивости. Во временной области – это условие абсолютной интегрируемости импульсной характеристики:

В спектральной области устойчивость фильтра определяется критерием Пэли – Винера:

В соответствии с этими условиями физически осуществимы только те фильтры, у которых АЧХ не имеют нулевых значений в некоторой полосе частот. Следовательно, все вышерассмотренные идеальные фильтры являются физически неосуществимыми.

Физически неосуществимые фильтры называют математическими фильтрами. Их можно осуществить с помощью цифровых систем обработки информации.

Идеализированные функции физически осуществимых реальных фильтров описываются асимптотическими АЧХ, имеющими прямолинейный участок в области пропускания (рис.2), острые углы при предельных частотах w_g и постоянный логорифмический участок падения амплитуды в области запирания. В действительности коэффициент пропускания неоднократно варьируется (волнистость), переходная область скруглена (преждевременное падение амплитуды), падение амплитуды непостоянно, подавление отдельных частотных составляющих начинается далеко от предельной частоты и осуществляется неполностью.

Рис. 2. АЧХ фильтра нижних частот: 1 – идеальная;

2 – идеализированная; 3 – реальная

Наряду с АЧХ и переходными характеристиками в ряде случаев представляет интерес фазочастотная характеристика. Чем сложнее фильтр, тем больше сдвиг фаз. Допустим только сдвиг фаз, пропорциональный частоте, при котором фазовые соотношения между различными частотными составляющими сигнала не нарушались бы при прохождении через фильтр. Наибольшее распространение получили реальные фильтры (см.рис.2): Гаусса, Бесселя, Баттерворта, Чебышева, Кауэра.

Характеристики фильтров различных типов показаны на рис.3 и в табл.1.

Рис. 3. Качественный вид амплитудной (а), фазовой (б) и переходной (в) характеристик различных фильтров нижних частот с одинаковым числом полюсов: 1 – фильтр Гаусса; 2 – фильтр Бесселя; 3 – фильтр Баттерворта; 4 – фильтр Чебышева; 5 – фильтр Кауэра

Сравнительная характеристика фильтров различных типов

Наименование	Преимущества	Недостатки
Фильтры Гаусса	Отсутствие затруднений в реализации, отсутствие колебаний с чрезмерной амплитудой в переходной характеристике	Большое время нарастания переходной характеристики, резкое снижение амплитуды и заметный сдвиг фаз уже в области пропускания, пологий переход в области запирания
Фильтры Бесселя	Пологая и пропорциональная частоте форма фазовой характеристики в области пропускания, что означает малое искажение сигналов, имеющих составляющие различной частоты, практически полное отсутствие колебаний с чрезмерной амплитудой в переходной характеристике	Раннее падение амплитуды в области пропускания, полный переход к области запирания
Фильтры Баттерворта	Короткое время нарастания по переходной характеристике; позднее начало падения амплитуды в области пропускания и более быстрый переход из области пропускания к области запирания	Непропорциональная частоте фазовая характеристика уже в начале области пропускания, что вызывает искажение сигнала по времени; колебания с чрезмерной амплитудой при переходном процессе, более продолжительное время установления колебаний
Фильтры Чебышева	Крутой переход из области пропускания к области затухания; АЧХ наиболее близко приближается к характеристике идеального фильтра	Сильная волнистость АЧХ в области пропускания; сильно изменяющаяся фазовая характеристика в области пропускания; колебания с чрезмерной амплитудой и более продолжительное время установления колебаний по переходной характеристике
Фильтры Кауэра (эллиптические фильтры), двойные фильтры Чебышева	Быстрый переход от области пропускания к области запирания; очень крутое падение амплитуды	Волнистость амплитудной характеристики в области пропускания и в области запирания; сильная зависимость сдвига фаз от частоты

Предпочтение тому или иному типу фильтров дается в зависимости от цели его применения.

При использовании фильтрации для повышения помехоустойчивости сигналов измерительной информации наблюдаемый процесс чаще всего представляется в виде аддитивной смеси

где х(t) – полезный сигнал; x(t) – помеха.

Если помеха x(t) во всех случаях является случайной величиной, представляемой в виде шума, то сигнал х(t) может быть представлен в одном из трех видов: детерминированного сигнала известной формы, квазидетерминированного сигнала, случайного сигнала. В зависимости от того, чем представлен полезный сигнал, изменяется и постановка задачи фильтрации. Рассмотрим подробнее алгоритмы фильтрации для каждого из трех случаев представления полезного сигнала.

Выделение сигнала на фоне коррелированных помех и некоррелированного шума

Орлов, П. В. Выделение сигнала на фоне коррелированных помех и некоррелированного шума / П. В. Орлов, В. Г. Андреев. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2019. — № 24 (262). — С. 145-148. — URL: https://moluch.ru/archive/262/60714/ (дата обращения: 17.10.2022).

В настоящее время широкое распространение получили бесплатформенные инерциальные навигационные системы (БИНС), которые реализуются на микромеханических гироскопах (измерителях угловой скорости) и акселерометрах (измерителях ускорений). Примером аппаратных средств, на которых реализована трёхосная (в трёх пространственных измерениях) БИНС, могут служить микромеханические изделия серии ADIS фирмы Analog Devices [1, 2].

Проблема начальной выставки БИНС дополнительно осложняется вибрациями корпуса носителя навигационной системы. Вибрации могут возникать из-за ветровых воздействий на носитель или вызываться работающими на нём механическими агрегатами. Так, например, если нет возможности провести начальную выставку при выключенных двигателях, то дисперсия сигналов на выходах акселерометров, как показали натурные эксперименты, может возрастать в тысячу и более раз по сравнению с ситуацией, когда двигатели не запущены.

Для подавления шумов акселерометров применяется низкочастотная фильтрация сигналов с их выходов, которая заключается в нахождении математического ожидания оценок, измеряемых по каждой оси ускорений. Подобный подход правомерен, если мешающие компоненты сигналов представляют собой некоррелированный шум [3]. Однако при вибрациях корпуса носителя БИНС предположение о некоррелированности мешающих компонент становится неверным [1].

Представим сигнал в виде:

где x(t) — наблюдаемый сигнал; c(t) — коррелированная помеха; s(t) — полезный сигнал; n(t) — некоррелированный шум.

Рис.1. Наблюдаемый сигнал

Выделение полезной компоненты s(t) из смеси x(t) сводится к обелению коррелированной мешающей составляющей c(t) и накоплению полезного сигнала на фоне шума n(t). Известно [3], что коэффициенты импульсной характеристики обеляющего фильтра q‑го порядка могут быть найдены из выражения:

w=R −1 i,

где w= [W₀; W₁; …; Wq] — вектор коэффициентов импульсной характеристики обеляющего фильтра (ОФ), R −1 — [(q+1)×(q+1)]‑мерная корреляционная матрица мешающего процесса, i= [1; 0;…; 0] T — крайний левый вектор-столбец единичной матрицы.

Структурная схема системы обработки сигнала x(t) представлена на рисунке 2. На нём использовано дискретное представление сигналов:

Рис.2. Система обработки акселерометрического сигнала

Выходной сигнал yn на выходе обеляющего фильтра сводится к виду:

где y_n — результат обеления; x_n — входной сигнал; W_k — k‑й коэффициент импульсной характеристики w ОФ, k=0, 1, …, q.

Предлагаемый метод обработки выходных сигналов акселерометров подразумевает наличие коррелированной помехи c(t), вызванной дрожанием корпуса носителя БИНС. Помеха c(t) имеет регулярный колебательный характер, действующий по гармоническому закону. На рисунке 3 изображены нормированные к своим максимальным значениям квадраты амплитудно-частотные характеристики S(f) предлагаемого (сплошная жирная линия 3) и известного (пунктирная линия 1) фильтров обработки.

Рис. 3. Частотные характеристики

Под известным фильтром подразумевается равновесный нерекурсивный накопитель q‑го порядка. Кроме того, на рисунке 3 изображена тонкой сплошной линией 2 спектральная плотность мощности S(f) смеси коррелированной помехи c(t) и некоррелированного шума n(t). Порядки фильтров приняты q=3, измеренная доминантная частота f_с коррелированной помехи f_с=50 Гц.

На рисунках 4 и 5 изображены амплитудно-частотные характеристики S(f) для предлагаемого и известного методов при порядках фильтра q=20 и q=40 соответственно

Рис. 4. Частотные характеристики при порядке фильтра q=20

Рис. 5. Частотные характеристики при порядке фильтра q=40

Анализ приведенных на рисунках 3, 4 и 5 зависимостей показывает, что известный подход к обработке акселерометрических сигналов не предусматривает борьбу с коррелированной помехой, т. е. амплитудно-частотные характеристики не имеют провала на частоте воздействия помехи. Предлагаемое решение путём оценивания корреляционных свойств мешающего процесса адаптируется к его частоте и создаёт на ней глубокий провал амплитудно-частотной характеристики. Это даёт возможность подавить мешающую компоненту до уровня шумов, а затем путём накопления сигнала увеличить соотношение сигнал-шум на выходе системы обработки. Предлагаемое решение реализуется путём создания нерекурсивного обеляющего фильтра.

8.4.МЕТОДЫ ВЫДЕЛЕНИЯ СИГНАЛОВ ИЗ СМЕСИ С ШУМОМ

Несмотря на то, что некоторые виды шума являются неустранимыми, в ряде случаев возможно выделение сигнала из его смеси с шумом. Наиболее просто это реализуется, если шум является аддитивным. Рассмотрим некоторые из методов повышения отношения сигнала к шуму.

Наиболее распространен метод частотной фильтрации. Его применение основано на различии спектральных характеристик полезного сигнала и мешающих шумов и состоит в различном усилении частот, соответствующих сигналу и шуму. Для этого применяются частотные электрические фильтры, в полосу которых попадает спектр сигнала и не попадает, или частично не попадает шум. Этот метод эффективен в случаях, когда спектры сигнала и шума не перекрываются или перекрываются частично. При этом мощность шума даже может быть значительно больше мощности сигнала. Если же спектры сигнала и шума перекрываются, то повышение отношения сигнала к шуму возможно за счет снижения мощности шума при сохранении мощности сигнала. При этом фильтрация должна быть оптимальной, т. е. полоса пропускания частотного фильтра должна совпадать со спектром полезного сигнала.

При постановке физического эксперимента часто возможно создать условия, при которых спектры сигнала и шума удается частично разделить. Для этого при регистрации физической величины изменяют (модулируют) условия регистрации. Спектр полезного сигнала при этом смещается на частоту модуляции. Если эта частота лежит за пределами максимума спектральной плотности шумов, то, применяя частотную фильтрацию, удается повысить отношение сигнала к шуму. Затем отфильтрованный и усиленный полезный сигнал демодулируют. При возможности для демодуляции используют синхронное детектирование. Рассмотрим сущность синхронного детектирования на примере регистрации сигналов ядерного магнитного резонанса (ЯМР).

Регистрация сигнала магнитного резонанса производится следующим образом. Исследуемый образец помещается в постоянное магнитное поле с индукцией 0,2 – 0, 7 Тл, где на него воздействуют переменным магнитным полем частоты порядка единиц — десятков мегагерц, создаваемым катушкой спинового детектора. Постоянное магнитное поле изменяют (развертывают) для прохождения через резонанс и регистрируют зависимость напряжения на выходе спинового детектора UВых. от индукции магнитного поля. При линейной развертке магнитного поля получается зависимость выходного напряжения от времени .

Рис.8.5. Регистрация сигналов ЯМР

Рис.8.6.Сигнал на выходе спинового детектора

Скорость развертки магнитного поля ограничена вследствие инерционности спиновой системы. Время прохождения (записи) спектра может достигать десятков – сотен секунд. Таким образом, длительность сигнала на выходе спинового детектора велика (он, фактически, представляет собой очень длинный импульс) и спектральная плотность этого сигнала сосредоточена в области крайне низких частот. Сигнал на выходе спинового детектора мал (порядка сотен микровольт), а отношение сигнала к шуму не превышает нескольких десятков. При усилении отношение сигнал/шум дополнительно ухудшается, так как спектральная плотность шумов усилителя вида максимальна как раз в области спектра полезного сигнала. Велико также влияние дрейфа нуля.

Выходом из положения может явиться применение модуляции магнитного поля. Для этого на магнитное поле, медленно изменяющееся при развертке, накладывают переменное магнитное поле звуковой частоты FМод., имеющее амплитуду много меньшую, чем ширина линии магнитного резонанса. При выполнении этого условия инерционность спиновой системы не проявляется. Напряжение на выходе спинового детектора UВых.(T) при этом имеет частоту модуляции, а его амплитуда A(T) и фаза φ изменяются по закону первой производной линии магнитного резонанса:

(8.10)

Слева от центра резонансной кривой напряжение сигнала синфазно с полем модуляции (при возрастании магнитного поля сигнал тоже возрастает) и φ =0, а при переходе через центр линии фаза сигнала становится равной π. Спектр этого сигнала представляет собой спектр амплитудно-модулированного сигнала, где несущей является частота модуляции, а спектр боковых полос определяется зависимостью первой производной сигнала магнитного резонанса от времени.

Рис.8.7.Форма и спектр сигнала магнитного резонанса при модуляции магнитного поля

Этот сигнал подается на вход усилителя. На его частоте шумы усилителя типа малы и существенно не ухудшают отношение сигнал/шум. Дополнительно можно осуществить частотную фильтрацию. Затем усиленный сигнал необходимо демодулировать, чтобы получить искомую зависимость напряжения на выходе спинового детектора от индукции магнитного поля.

Для демодуляции усиленного сигнала магнитного резонанса нельзя использовать амплитудный детектор, так как вместо первой производной сигнала магнитного резонанса на его выходе будет модуль первой производной вследствие нечувствительности амплитудного детектора к фазе детектируемого сигнала. Выходом является применение синхронного детектирования. Синхронный детектор представляет собой аналоговый перемножитель с интегрирующей цепочкой на выходе, показанный на рис.8.8.

Рис.8.8. Синхронный детектор

На один вход перемножителя подается детектируемый сигнал , а на второй – синхронное с ним опорное гармоническое напряжение с частотой модуляции .

Напряжение на выходе перемножителя равно

(8.11)

И содержит удвоенную частоту модуляции и напряжение, изменяющееся во времени по закону . Так как сдвиг фаз между U(T) И UОп. слева от центра линии магнитного резонанса равен нулю, а справа – π, то меняется знак множителя и выходное напряжение меняет полярность. Установленная на выходе аналогового перемножителя интегрирующая цепочка, играющая роль фильтра низких частот, подавляет составляющую выходного напряжения перемножителя с удвоенной частотой модуляции. На ее выходе остается напряжение

, (8.12)

Изменяющееся по закону первой производной регистрируемого сигнала. Оно и является результатом демодуляции, так как после его интегрирования можно получить искомую линию магнитного резонанса.

При таком методе детектирования можно оптимально совместить полосу пропускания ФНЧ со спектром сигнала, так как эффективная полоса пропускания определяется постоянной времени интегрирующей цепочки. Также возможно дальнейшее повышение отношения сигнал/шум, для чего пропорционально увеличивают время развертки и постоянную времени ФНЧ. Отношение сигнал/шум растет пропорционально квадратному корню из времени развертки. Ограничением для повышения отношения сигнал/шум здесь является временная стабильность регистрирующей аппаратуры.

Иногда возможно многократное повторение эксперимента с сохранением результатов каждой реализации. Тогда применяют метод временной фильтрации или когерентное суммирование. В результате каждого из K экспериментов получается выходной сигнал, представляющий собой сумму полезного сигнала с шумом: При этом отношение сигнала к шуму , где A – амплитуда полезного сигнала. Если получить K таких реализаций и когерентно их просуммировать, то

. (8.13)

После такого суммирования (накопления) отношение сигнала к шуму

. (8.14)

Но дисперсия суммы равна сумме дисперсий

. (8.15)

. (8.16)

Таким образом, после K Когерентных суммирований отношение сигнала к шуму возрастет в раз. Возможности этого метода ограничиваются временной стабильностью аппаратуры, параметры которой не должны изменяться за время проведения K идентичных измерений.

Что рационально использовать для выделения периодического сигнала на фоне помехи

Рассмотрим снова периодический сигнал. Но теперь нас будет интересовать не только обнаружение, но и выделение его на фоне шума, т. е. восстановление формы сигнала.

В разд. 10.2 мы видели, что взаимная корреляция периодического сигнала с гребневой функцией того же периода дает исходный сигнал. Пусть функция (разд. 2.6) имеет период . Рассмотрим функцию

С точностью до погрешности оценки . Следовательно, (с той же точностью). Мы получаем, таким образом, способ выделения сигнала из шума.

Увеличение отношения сигнал/шум.

Пусть Взаимная корреляция функций равна

Представим в виде суммы двух слагаемых:

Интеграл можно записать в виде

Обозначим целую часть отношения через М, тогда

Отсюда следует, что

Так как — периодическая функция с периодом , то

Интеграл представляет собой остаточной шум, так как он равен нулю только при бесконечно большом Т. Если Т имеет конечное значение, то дисперсия интеграф, являющаяся

дисперсией оценки равна

Полученное выражение можно записать в виде

Так как , то в предположении, что корреляция равна нулю при получим

Среднеквадратичное отклонение будет равно . Сравнивая отношение сигнал/шум до вычисления корреляции и после вычисления корреляции, найдем увеличение отношения сигнал/шум где М — число периодов, и усиление по амплитуде

Если Т — поушое время интегрирования, а — период сигнала, то

где — основная частота, т. е. самая низкая частота сигнала.

Выделение повторяющегося сигнала на фоне шума в случаях, когда известны моменты появления самого сигнала или связанного с ним вспомогательного сигнала.

В общем случае эта задача содержит два аспекта: 1) обнаружение сигнала; 2) выделение сигнала с наименьшей ошибкой.

Отметим два частных случая, когда нет необходимости устанавливать присутствие сигнала:

а) сигнал периодически повторяется через промежуток времени без изменения формы:

б) периодический сигнал обнаруживается всякий раз не непосредственно, а через предшествующее ему событие с известным временем появления (рис. 12.1).

Очевидно, что оба этих случая (периодический сигнал и сигнал, связанный со стимулятором не имеют принципиального различия. В целях упрощения выкладок предположим, что реализуется первый случай.

Метод, который будет изучен, известен под названием метода усреднения (или накопления данных). Укажем два наиболее важных его приложения:

• получение импульсной характеристики системы по отклику, который представляет собой импульсную характеристику, искаженную шумами;

• физиологические процессы, где имеют дело с изучением наведенных потенциалов.

При исследовании физиологических процессов измеряют разность потенциалов, которую изменяют в ходе процесса, используя для этого внешнюю контролируемую причину, называемую стимулятором. Так обстоит дело в электроэнцефалографии, электромиографии, электрокардиографии, электрокортикографии и др. Промежуток времени, в течение которого действует стимулятор, предполагается достаточно малым. Время между действием стимулятора и появлением отклика (говорят также «наведенного отклика») называется временем задержки (или мертвым временем). Оно равно временному сдвигу в импульсной характеристике.

Сформулируем две основные гипотезы, к которым, однако, нужно относиться с осторожностью (тем более что нет простых способов проверки их законности):

• сигнал повторяется тождественно, т. е. без изменения формы;

• сигнал жестко связан во времени со стимулятором, т. е. время задержки считается постоянным.

Основы метода усреднения.

Предполагая, что высказанные гипотезы справедливы, рассмотрим периодический сигнал содержащий шум . В электроэнцефалографии этим шумом будет электроэнцефалограмма, соответствующая нормальному режиму», а также всегда возможные помехи.

Условия, налагаемые на шум Прежде всего предположим, что шум является стационарным процессом порядка, так что его среднее значение средняя мощность и автокорреляционная функция инвариантны относительно трансляции вдоль временной оси.

Предположим также, что шум центрирован, т. е. его среднее значение равно нулю, а спектр не содержит постоянной составляющей. В этом случае дисперсия равна средней мощности Р, а называется эффективным значением шума.

Очевидно, что определенные выше средние значения тем ближе к точным, чем больше Т. Выражение представляет собой оценку величины

Усреднение. Итак, рассмотрим сигнал Так как — периодическая функция с периодом то

при любом целом

Запишем отношение сигнал/шум в виде Мы ввели отношение сигнал/шум по амплитуде, так как именно с этой величиной имеет дело исследователь.

Пусть М — число импульсов стимулятора за некоторый промежуток времени. Рассмотрим сумму М соответствующих

сигналов, деленную на

Вследствие периодичности Следовательно,

отсюда вытекает равенство Найдем

Изменив порядок операций суммирования и усреднения, получим

Так как — центрированная функция, то

Таблица 12.1. (см. скан)

Эта двойная сумма может быть преобразована (табл. 12.1) в сумму трех слагаемых:

Если автокорреляционная функция шума равна нулю при любом времени запаздывания по модулю, большему или равному то

Если при этих условиях отношение сигнал/шум до усреднения было равно в результате усреднения оно стало равным

Мы пришли к классическому результату, согласно которому отношение олгнал/шум умножается на

Если же, напротив, автокорреляционная функция шума не равна нулю для (рис. 12.2), то

В этом случае отношение сигнал/шум на выходе определяется выражением

Таким образом, если автокорреляционная функция становится достаточно малой через несколько периодов уменьшение отношения сигнал/шум не будет существенным. Поэтому первоначальная гипотеза о том, что шум не коррелирован для времен, больших не является обязательной. Можно, следовательно, допустить, что в результате суммирования М сигналов отношение сигнал/шум умножается на Это означает, что если при усиление равно 10, то при оно

дополнительно увеличится только в 3,16 раза, так как

Ошибки, обусловленные природой шума.

Итак, увеличивая число М, мы могли бы получить сколько угодно большое значение отношения сигнал/шум. Однако число М ограниченно. Естественно, возникает вопрос: можно ли при фиксированном М увеличить отношение сигнал/шум? Единственный способ добиться этого состоит в увеличении этого отношения на входе интегратора. А этого можно достичь путем уменьшения эффективной величины шума входящей в знаменатель дроби Чтобы уменьшить надо применить фильтрацию. Однако проведение фильтрации вслепую связано с риском исказить форму сигнала Поэтому желательно было бы знать спектральную плотность сигнала чтобы использовать такой фильтр, параметры которого были бы подобраны в соответствии с (проблема оптимального фильтра).

Однако расчеты показывают, что улучшение отношения сигнал/шум подчиняется логарифмическому закону, и если удастся сделать фильтр, близкий к оптимальному, то дальнейшее его усовершенствование за счет более тщательной подгонки параметров не дает ощутимого эффекта.

Так как обычно форма сигнала бывает известна заранее, то его спектральную плотность находят с помощью преобразования Фурье. Исходя из этого, можно изготовить такой фильтр, который исключит все частоты, находящиеся вне спектральной полосы сигнала (рис. 12.3).

Классические интеграторы не позволяют провести необходимые измерения формы сигнала. Однако все чаще появляются приборы, с помощью которых эту процедуру можно выполнить. Осуществить после этого необходимую фильтрацию уже несложно.

Ошибки, обусловленные неприменимостью выдвинутых гипотез о свойствах сигнала.

Напомним эти гипотезы:

• время задержки между актом стимуляции и появлением сигнала постоянно;

• сигнал тождественно повторяет свою форму.

В общем случае нет никаких убедительных доводов в пользу этих гипотез. Напротив, имеется достаточно соображений, их опровергающих.

Рассмотрим первую гипотезу. Хорошо известно, что время задержки не постоянно; оно зависит от индивидуума и его психофизического состояния. Исследуем, что происходит, если время задержки флюктуирует около среднего значения. Ограничимся наиболее простым случаем, когда наведенный потенциал представляет собой узкий импульс (рис. 12.4).

Было бы ошибочно отсюда сделать вывод о форме наведенного потенциала. Результатом наблюдения является свертка где — распределение времени задержки — наведенный потенциал.

Иными словами, дело обстоит так, как будто истинный наведенный потенциал проходит через фильтр с импульсной характеристикой Отсюда следует, что можно сделать ложное заключение о различной форме наведенных потенциалов для двух лиц с сильно различающимися распределениями времен задержки, хотя не исключено, что отличаются друг от друга только функции распределения а не потенциалы. Кроме того, изменение во времени формы наведенного потенциала может быть вызвано изменением времени задержки. Поэтому необходимо уметь каким-либо методом определять функцию распределения

Предположим теперь, что время задержки постоянно, а форма наведенного потенциала меняется, т. е. она тождественно не повторяется. Здесь можно допустить серьезную ошибку. Если не повторяет тождественно своей формы, то, как известно, это равносильно добавлению к повторяющемуся сигналу медленно флюктуирующего шума. В данном случае метод суммирования не дает эффекта гашения шума пропорционально и даже в пределе процесс суммирования не приводит к исчезновению шума. Если предположить, что указанная добавка к наведенному потенциалу является медленно

меняющейся функцией, т. е. соответствующий ей спектр занимает полосу, меньшую, чем спектральная полоса наведенного потенциала, то тогда можно надеяться на улучшение с помощью фильтрации. Но верно ли это предположение? Можно лишь утверждать, имея в виду аналогию с электрооптикой, что параметры системы зависят от времени, т. е. система нестационарна, и что метод усреднения в данном случае, строго говоря, неприменим. Если же его все-таки применить, то получится не истинный наведенный потенциал, а некоторое среднее значение (в очень широком смысле) потенциалов, которые мы рассматриваем.

Вывод, который можно сделать в настоящее время, состоит в том, что метод усреднения — один из самых плодотворных; хорошо известно его успешное применение. Однако надо помнить, что для его применения требуется выполнение ряда условий. И если получаемые результаты оказываются в некотором смысле «странными», то надо в первую очередь пересмотреть эти условия.