Потенциал скорости — Velocity potential
A потенциал скорости — это скалярный потенциал, используемый в теории потенциального потока. Он был введен Жозефом-Луи Лагранжем в 1788 году.
Он используется в механике сплошной среды, когда континуум занимает односвязное область и является безвихревым. В таком случае
, где u обозначает скорость потока. В результате u можно представить как градиент скалярной функции Φ:
Φ известен как потенциал скорости для u.
Потенциал скорости не уникален. Если Φ — потенциал скорости, то Φ + a (t) также является потенциалом скорости для u, где a (t) — скалярная функция времени и может быть постоянной. Другими словами, потенциалы скорости уникальны с точностью до константы или являются функцией исключительно временной переменной.
Если потенциал скорости удовлетворяет уравнению Лапласа, поток является несжимаемым ; можно проверить это утверждение, например, разработав ∇ × (∇ × u ) и используя, благодаря теореме Клеро-Шварца, коммутацию между градиентными и лапласовскими операторами.
В отличие от функции потока , потенциал скорости может существовать в трехмерном потоке.
Содержание
- 1 Использование в акустике
- 2 Примечания
- 3 См. Также
- 4 Внешние ссылки
Использование в акустике
В теоретической акустике, часто желательно работать с уравнением акустической волны потенциала скорости Φ вместо давления p и / или скорости частицы u.
Решение волнового уравнения для поля p или поля u не обязательно дает простой ответ для другого поля. С другой стороны, когда определяется Φ, не только u находится, как указано выше, но также легко определяется p — из (линеаризованного) уравнения Бернулли для безвихревой и нестационарный поток — как
Потенциал скорости
С другой стороны, для потенциального потока по его определению , т.е. в потенциальном поле циркуляция по замкнутому контуру равна нулю.
Запишем выражения для проекций угловых скоростей.
Из сказанного выше следует, что для безвихревого (потенциального) движения . Следовательно, в этом случае
Эти соотношения позволяют существенным образом упростить вычисления компонент скорости , и .
Оно построено аналогично известному из механики твердого тела выражению для элементарной работы. Зададимся вопросом, в каком случае (а) является полным дифференциалом. Напомним, что если выражение для работы является полным дифференциалом, то силы называются консервативными или имеющими потенциал. Ответ на поставленный вопрос был дан Алесисом Клодом Клеро (с жизнью и деятельностью этого удивительного ученого можно познакомиться по превосходной книге: Идельсон Н.И. Этюды по истории небесной механики. — М.: Наука, 1975. — 494 с.)
Клеро показал, что выражение типа (а) является полным дифференциалом, если обеспечивается равенство накрест взятых производных. Соотношения (6.1) как раз и удовлетворяют этому требованию, т.е. взятые накрест производные в (а) дают соотношения (6.1). Таким образом, при потенциальном движении выражение (а) является полным дифференциалом какой-то функции , и
С другой стороны, по общему правилу полный дифференциал может быть представлен как
Сопоставляя (6.2) и (6.3), получаем
По предложению Гельмгольца функцию называют потенциалом скорости.
Таким образом, всякому движению жидкости, происходящему без вращения частиц, соответствует свой потенциал скорости. Справедливо и обратное утверждение: если существует потенциал скорости, то движение происходит без вращения частиц.
Соотношения (6.4) можно получить и другим путем. Поскольку разные подходы к одному и тому же вопросу способствуют углубленному его пониманию, то получим эти же соотношения, используя другую методику.
Как уже отмечалось, условием потенциальности является . С другой стороны, как показано при рассмотрении операций второго порядка, операция ротора над градиентом какой-то скалярной функции тождественно равна нулю, т.е.
Сопоставляя эти соотношения, можем записать
Это означает, что вектор скорости можно рассматривать как градиент какой-то скалярной функции . Раскроем значения и . Имеем
Откуда, учитывая (6.5), получаем
т.е. вновь приходим к соотношениям (6.4).
Пока что остается открытым вопрос о необходимости и целесообразности введения понятия о потенциале скорости. Чтобы разобраться в этом, следует иметь в виду, что к числу центральных задач гидромеханики относится определение сил, действующих на тела, обтекаемые потоками жидкости либо газа. Решение этих задач непосредственно связано с необходимостью расчета поля скоростей, т.е. определением проекций скоростей ( , , ) в каждой его точке. Из выражений (6.4) непосредственно следует, что все три компоненты скорости могут быть определены, если известна лишь одна величина — потенциал скорости. Таким образом, знание потенциала скорости существенно упрощает расчет поля. Однако немедленно возникает следующая проблема — как же найти потенциал скорости течения. Чтобы решить ее, необходимо прежде всего уяснить некоторые свойства, присущие потенциалу.
потенциал скорости
потенциа́л ско́рости (от лат. potentia — сила) — скалярная функция φ пространственных координат и времени, градиент которой равен вектору скорости V среды: V = gradφ. П. с. существует для безвихревых течений, и введение П. с. позволяет эффективно их исследовать.
Уравнение для определения П. с. получается в результате подстановки приведённого выражения в неразрывности уравнение. Для несжимаемой жидкости П. с. удовлетворяет уравнению Лапласа (∆φ = 0) и является гармонической функцией. В этом случае П. с. допускает простую физическую интерпретацию: П. с. данного распределения скорости безвихревого течения есть увеличенный в ‑1/ρ (ρ — плотность среды) раз импульс сил давления, требуемый для приведения среды (первоначально находившейся в состоянии покоя) в данное движение.
Для заданного поля скоростей П. с. в произвольной точке В можно найти интегрированием вдоль некоторой кривой, начинающейся в точке А с известным значением потенциала:
где dr — направленный элемент кривой. При движении в односвязной области П. с. является однозначной функцией r, а значение интеграла не зависит от пути интегрирования. Для многосвязной области П. с. в общем случае неоднозначен, и его значение в точке В зависит от формы кривой, вдоль которой проводится интегрирование.
Энциклопедия «Авиация». — М.: Большая Российская Энциклопедия . Свищёв Г. Г. . 1998 .
Смотреть что такое «потенциал скорости» в других словарях:
Потенциал скорости — (от латинского potentia сила) скалярная функция (φ) пространственных координат и времени, градиент которой равен вектору скорости V среды: V = grad(φ). П. с. существует для безвихревых течений, и введение П. с. позволяет эффективно их исследовать … Энциклопедия техники
потенциал скорости — ( ) Скалярная функция, градиент которой равен вектору скорости, . [ГОСТ 23199 78] [ГОСТ 23281 78] Тематики аэродинамика летательных аппаратов Обобщающие термины характеристики течения газа EN velocity potential … Справочник технического переводчика
потенциал скорости — greičio potencialas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. velocity potential vok. Geschwindigkeitspotential, n rus. потенциал скорости, m pranc. potentiel de vitesse, m … Fizikos terminų žodynas
потенциал скорости — (от лат. potentia — сила) — скалярная функция φ пространственных координат и времени, градиент которой равен вектору скорости V среды: V = gradφ. П. с. существует для безвихревых течений, и введение П. с. позволяет эффективно их… … Энциклопедия «Авиация»
потенциал скорости — Скалярная функция координат и времени, градиент которой равен скорости жидкости … Политехнический терминологический толковый словарь
ПОТЕНЦИАЛ СКОРОСТИ — скалярная величина ф, характеризующая поле скоростей жидкости или газа и являющаяся ф цней координат и времени. П. с. существует при потенциальном течении, для к poro скорость v и её проекции на оси координат связаны с П. с. соотношениями: v =… … Большой энциклопедический политехнический словарь
вихревой потенциал скорости — вихревой потенциал скорости; отрасл. векторный потенциал Векторная функция А, ротор которой равен скорости вихревого движения жидкости … Политехнический терминологический толковый словарь
Потенциал ускорения — скалярная функция Ф пространственных координат и времени t, градиент которой равен вектору ускорения W. Существует для безвихревых течений и при движении несжимаемой жидкости удовлетворяет, как и потенциал скорости, уравнению Лапласа. В аэро и… … Энциклопедия техники
потенциал ускорения — потенциал ускорения — скалярная функция Ф пространственных координат и времени t, градиент которой равен вектору ускорения W: ,где φ — потенциал скорости. Существует для безвихревых течений и при движении несжимаемой жидкости… … Энциклопедия «Авиация»
потенциал ускорения — потенциал ускорения — скалярная функция Ф пространственных координат и времени t, градиент которой равен вектору ускорения W: ,где φ — потенциал скорости. Существует для безвихревых течений и при движении несжимаемой жидкости… … Энциклопедия «Авиация»
В чем измеряется потенциал скорости
Основные уравнения Эйлера позволяют получить различные фундаментальные следствия, имеющие много важных приложений.
Самым существенным следствием является теорема Гельмгольца, справедливая для баротропного течения в консервативных гравитационных полях (т. е. при Эта теорема ([7], стр. 54; [1 ])), т. 1, стр. 149) утверждает инвариантность циркуляции по любому замкнутому контуру, движущемуся вместе с жидкостью, т. е. во всякий момент времени состоящему из одних и тех же частиц жидкости. Следовательно, если в начальный момент жидкость находится в покое (например, вытекает из неподвижного резервуара) и если контур остается все время замкнутым, то циркуляция всегда должна равняться нулю. Это значит, что должен существовать локально однозначный скалярный потенциал скорости т. е. такая скалярная функция точки, что
Течения, обладающие таким свойством, называются (локально) безвихревыми. Следовательно, в односвязной области, такой, как область вне некоторого твердого тела в пространстве или половина симметричной области вне кругового цилиндра на плоскости, скорость должна быть однозначной функцией во всей области.
В случае баротропных течений при отсутствии внешних гравитационных сил для безвихревого движения [т. е. если выполняется уравнение (4)] можно получить интеграл уравнений движения, так называемое уравнение Бернулли
Действительно, уравнения движения (без гравитационного слагаемого) представляют собой в точности градиент соотношения (47).
Несжимаемые течения. В случае однородных несжимаемых жидкостей можно обобщить уравнение Бернулли (4) так, чтобы учитывался эффект гравитации. Действительно, для безвихревых несжимаемых течений градиент соотношения
эквивалентен уравнениям движения с гравитационным членом. Более того, в этом случае уравнение (1) сводится к виду откуда получаем уравнение
Наконец, очевидно, что на любой непроницаемой твердой границе производная
определяется нормальной скоростью движения этой границы.
Для однозначных во всей области функций уравнения (6) и (7) представляют классическую задачу теории потенциала, так называемую задачу Неймана. Как мы увидим в § 5 и гл. VI; эта задача имеет большое значение для теоретической гидродинамики. Но прежде отметим, что здесь подразумевается выполненной гипотеза (F) из § 1: предполагается, что задача Неймана должна иметь одно и только одно однозначное решение для разумным образом определенных границ.
Примечательно, что для строгого доказательства этого математического предположения, возникшего из гидродинамических рассмотрений, потребовалось более чем 50 лет. В настоящее время это основная теорема общей теории потенциала ([4], стр. 310—311; [2]).
Эта теорема показывает, что если несжимаемая невязкая жидкость в начальный момент находится в состоянии покоя, то поле скоростей в любой момент времени зависит только от мгновенной скорости границы и не зависит от предшествующих состояний. Приведенные теоремы показывают также, что движение любой части границы мгновенно оказывает воздействие на весь объем жидкости: скорость сигнала равна бесконечности (это согласуется и с физической интуицией).