Как умножить вектор на вектор в excel

1_Вычисления в Excel. Учебное пособие Набережные Челны 2003 г

Скачать 7.26 Mb.

6.1. Векторы

В екторы — это наборы чисел, расположенные горизонтально (вектор-строка) или вертикально (вектор-столбец).

  • сложение — два вектора а и b с одинаковым числом компо­нент образуют новый вектор с:сi= ai+ bi ;
  • умножение на число — каждая компонента вектора умножает­ся на число, т.е. b = λа означает bi= λаi

здесь i — номер компоненты вектора.

Упражнение 6.1.1. Сложить два вектора:

  1. Ввести в первую строку вектор Х — (А1:Е1)
  2. Ввести во вторую строку вектор Y — (А2:Е2)
  3. Найти сумму векторов –
  • выделить блок ячеек для результата в третьей строке ( А3:Е3 );
  • ввести в строке формул =А1:Е1+А2:Е2
  • нажать Ctrl+Shift+Enter.

Иллюстрация к примеру — рис. 14.

Рис. 14. Иллюстрация к упражнению 6.1.1.

Задача 6.1.1 . Умножить вектор на число.

Упражнение 6.1.2.

Умножение вектор-столбца на вектор-строку.

В блоке (вектор-столбце) А2:А5 записаны числа: 1,2,3,4. Требуется получить в блоке B2:D5 три вектор-столбца, каждый из которых представляет собой результат умножения исходного вектор-столбца на вектор-строку: 2, -3, 4 (B1:D1). Рис.15. К упр. 6.1.2.

1-й способ: за­писать в ячейку В2 формулу =$А2*В$1 и скопировать ее в ос­тальные ячейки диапазона B2:D5.

2 -й способ (более экономный): выделить блок B2:D5. За­пишем в него формулу массива <=А2:А5*B1:D1>.

А нализ решения. Табличный массив <2;-3;4>- вектор-строка, а блок А2:А5 — вектор-столбец. Значит, матрица B2:D5 размерностью 4Х3 является результатом умножения вектор-столбца А2:А5 (4Х1) на вектор-строку B1:D1 (1Х3).

Примечание. Если ввести формулу <=B1:D1* А2:А5>, то получится тот же результат, хотя с позиций матричной алгебры вектор-строку (1х3) нельзя умножать на вектор-столбец (4х1) из-за несогласованности размеров (число столбцов в первом сомно­жителе должно равняться числу строк во втором сомножителе).

У
пражнение 6.1.3.
Вычислить скалярное произведение двух векторов.

  1. У становить курсор в ячейку, где нужен результат.
  2. Щёлкнуть кнопку автосуммы — .
  3. Выделить массив Х (А5:А12).
  4. Нажать знак умножить —*.
  5. Выделить массив Y (B5:B12).
  6. Нажать Ctrl + Shift + Enter.

Примечание. Тот же результат можно получить с помощью обычной функции: =СУММПРОИЗВ (А5:А12, В5:В12).

6.2. Матричные операции

Простейшие операции, которые можно проделывать с мат­рицами: сложение (вычитание), умножение на число, перемно­жение, транспонирование, вычисление обратной матрицы.

Упражнение 6.2.1. Сложение матриц.

Задание. Сло­жить матрицы М и N, где

Решение.
M= и N=

1-й способ:

  • Ввести матрицу М в блок А1:С2, а матрицу N в блок Е1:G2.
  • В блок А4:С5 ввести табличную формулу <= А1:С2 + E1:G2>.

Примечание. Выделен блок, имеющий те же размеры, что и исходные матрицы.

2-й способ:

Использование имен делает процедуру ввода табличной формулы намного проще:

  • Задать диапазонам А1:С2 и E1:G2 имена М и N.
  • В блок E4:G5 ввести табличную формулу < = М + N >.

Результат, естественно, тот же: M+N =

Упражнение 6.2.2 . Вычислить линейную комбинацию матриц 2*М — N (матрицы М.и N из упражнения 6.2.1.).

Решение. В блок А7:С8 ввести табличную формулу <= 2*М — N >.

Результат: 2*M — N =

Задача 6.2.1. Осмысленные результаты (не имеющие ничего общего с матричной алгеброй) получаются при сложе­нии матриц разных размеров. Придумать примеры и попытаться выявить правила, по которым Excel выполняет такое сло­жение.

Д ля матричных операций в Excel предусмотрены функции, входящие в категорию "Математические":

МОБР — вычисление обратной матрицы;

МУМНОЖ — перемножение матриц;

ТРАНСП — транспонирование.

Примечание. Первая из этих функций возвращает число, поэтому вводит­ся как обычная формула. Остальные функции возвращают блок ячеек, поэтому они должны вводиться как табличные формулы.

У пражнение 6.2.3. Вычислить определитель и обратную матрицу для матрицы:

Решение. Разместить исходную матрицу в блоке А1 :СЗ.

  1. В ячейке Е2 поместить формулу для вычисления определи­теля = МОПРЕД (А1:СЗ).
  2. В блок А5:С7 ввести формулу для вычисления обратной матрицы:
  • выделить блок А5:С7 (он имеет три строки и три столбца, как и исходная матрица).
  • Ввести формулу <=МОБР (А1:СЗ)>.

Примечания:

  1. При использовании Мастера функций нужно завершать ввод нажатием комбинации клавиш Ctrl+Shift+Enter (вместо щелчка по кнопке "ОК").
  2. Для удобства работы рекомендуется задавать имена исходной матрице и обратной матрице.
  1. Проверить правильность вычисления обратной матрицы ум­ножением ее на исходную:
  • задать имена исходной матрице — А и обратной матрице — АО;
  • в блок D5:F7 ввести формулу .
  • как и следовало ожидать, получилась матрица, близкая к единичной.

Рис. 16. Иллюстрация к упражнению 6.2.3.

У
Решение:
пражнение 6.2.4. Вычислить абсолютные отклонения величин в матрицах.

В блок А9:С11 ввести табличную формулу <= abs (A-AО)>.

Пример вычисления определителя матрицы

А, введен­ной в формулу как массив констант: =МОПРЕД(<-73; 78; 24:

92; 66; 25: -80; 37; 10>).

Задача 6.2.2 . При каком значении элемента а33 определитель матрицы А обратится в нуль.

Задача 6.2.3. Дана матрица S = . Вычислить матрицу 2SS Т — Е, где Т — операция транспо­нирования,

Е — единичная матрица.

Задача 6.2.4. Вычислить обратную матрицу для

и применить форматирование, чтобы элементы матрицы пред­ставляли собой правильные дроби. Выбрать формат на основе величины определителя матрицы.

 Набор матричных операций в Excel беден.

Если нужно серьезно работать с матрицами, лучше прибегнуть к помощи таких математических пакетов, как MatLAB (Matrix LABoratory), Mathematica, Derive .

Векторное произведение в EXCEL

history 19 декабря 2015 г.
    Группы статей

  • Векторы

Найдем векторное произведение 2-х векторов с помощью функций MS EXCEL. Также создадим таблицу для проверки векторов на коллинеарность.

Сначала немного теории. Векторным произведением двух векторов а и b , заданных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, называется такой вектор c , что:

  1. он перпендикулярен обоим векторам а и b ;
  2. длина векторас равна произведению длин векторов а и b на синус угла между ними;
  3. вектор с направлен так, что тройка векторов а , b и с является правой ( с конца вектора с кратчайший поворот от вектора a к вектору b виден наблюдателю против часовой стрелки ).

Почему такое сложное определение? Дело в том, что результатом векторного произведения [ a х b ], в отличие от скалярного , является вектор. А для того, чтобы однозначно определить вектор нужно задать его длину (второй пункт определения) и направление (первый и третий пункты определения).

Векторное произведение двух векторов a = < a x ; a y ; a z > и b = < b x ; b y ; b z > в декартовой системе координат можно вычислить, используя формулы:

или в матричной форме:

Теперь вычислим векторное произведение в MS EXCEL. Встроенная функция к сожалению отсутствует. Кроме того, формула должна возвращать три значения, т.е. 3 координаты вектора. Это может быть реализовано только формулой массива (вариант, когда 3 координаты рассчитываются независимо, с использованием 3-х различных формул, очевиден, но не интересен, хотя и приведен файле примера ).

Пусть даны координаты векторов а и b , записанные в строках 8 и 9 (см. файл примера ).

Обратим внимание, что запись в матричной форме напоминает вычисление обратной матрицы методом алгебраических дополнений . Вместо единичных векторов i, j, k запишем вспомогательный вектор с координатами <1; 1; 1>и поместим его в строке 7 над векторами. Теперь у нас есть квадратная матрица А третьего порядка, для которой можно вычислить обратную матрицу.

Попробуем использовать функцию МОБР() для вычисления векторного произведения. Заметим, что три слагаемых из определения векторного произведения в матричной форме совпадают со значениями верхней строки матрицы алгебраических дополнений.

Примечание : Напомним, что алгебраическое дополнение A ij вычисляется по формуле A ij =(-1) i+j *М ij (где М — соответствующий минор, т.е. определитель, состоящий из элементов матрицы А за исключением всех элементов, расположенных на строке i и в столбце j).

Так как обратная матрица вычисляется по формуле:

то имея обратную матрицу, для вычисления верхней строки матрицы алгебраических дополнений и, соответственно, координат вектора с , необходимо ее транспонировать , а затем умножить ее на определитель матрицы А (той, что содержит координаты наших векторов а и b и единичный вектор).

Это реализовано с помощью формулы массива =ТРАНСП(МОБР(B7:D9))*МОПРЕД(B7:D9)

Коллинеарность векторов

Если два вектора коллинеарны, т.е. лежат на параллельных прямых, то их векторное произведение равно 0. В файле примеров приведена таблица для проверки векторов на коллинеарность.

Нахождение длины вектора с — результата векторного произведения

Из определения векторного произведения длина вектора с равна произведению длин векторов а и b на синус угла между ними.

Примечание : Как вычислить длины векторов по их координатам показано в статье Вычисление длины (модуля) вектора в MS EXCEL .

Синус угла найдем через тригонометрическую формулe sin 2 x+cos 2 x=1

Конечно, можно также сначала найти векторное произведение, а затем длину полученного вектора. Естественно, оба метода расчета дают одинаковые результаты.

Ссылка на основную публикацию