Нахождение корней уравнения и уточнение их значений средствами MS Excel.
2015-07-04
3453
Работа 5.
Рассмотрим пример нахождения всех вещественных корней уравнения в заданном интервале [-1;1] независимой переменной x
Отметим, что у полинома третей степени имеется не более трех вещественных корней. Для нахождения корней их предварительно нужно локализовать. С этой целью табулируем функцию в заданном интервале и построим график (рис. 1, табл.1) Например, на отрезке [-1;1]. Результат табуляции приведён на рис.1 , где в ячейку С7 введена следующая формула:
= B7^3-0.01*B7^2-0,7044*B7+0,139104
Из рисунка видно, что полином меняет знак на интервалах [-1,-08], [0.2, 0.4] и [0.6, 0.8]. Это означает, что на каждом из них имеется корень данного полинома. И, как видно из графика, эти корни приблизительно равны x0=-0.9, x1=0.2 и x3=0.7.
Уточним значения корней, используя встроенную в MS Excel процедуру Подбор параметра.
Предварительно построим отдельную таблицу для уточнения значения корней (рис.1, табл. 2).
В клетку E8 введем приближенное значение 1-го корня -0,9. В клетку F8 введём формулу = E8^3-0,01*E8^2-0,7044*E8+0,139104
Данные, Анализ «что-если», Подбор параметра, Установить в ячейке:F8, Значение:0, Изменяя значение ячейки:$E$8, Ok.
В диалоговом окне Подбора параметра просматриваем значение полинома при найденном значении корня и нажимаем Ok.
Найденное значение корня MS Excel помещает в клетку E8.
Аналогично можно уточнить взятые из графика значения других корней уравнения. В качестве начальных значений корней взяты х=0.3 и х=0.7
Варианты индивидуальных заданий
1. Построив график функции f(x),определите грубо интервал [a,b] расположения корней уравнения f(x) = 0;
2. Используя приёмы, рассмотренные выше, найдите более точные значения корней с относительной погрешностью не более 0,0001.
| № | f(x) | f(x) |
Ниже приведён пример вычисления уточненного значения корня уравнения sin(x)-acos(x)=0,
Как найти корни полинома в excel
9.9. Нахождение корней уравнения
Рассмотрим пример нахождения всех корней уравнения
Отметим, что у полинома третьей степени имеется не более трех вещественных корней. Для нахождения корней их предварительно надо локализовать. С этой целью необходимо полином протабулировать. Построим таблицу значений полинома на отрезке [–1,1] с шагом 0,2 и график полинома. Результат приведен на рис. 29, где в ячейку В2 введена формула
=A2^3 – 0,01*A2^2 — 0,7044*A2 + 0,139104.
Рис. 29. Локализация корней полинома.
На рис. 29 видно, что полином меняет знак на интервалах [–1,–0,8], [0,2, 0,4] и [0,6, 0,8]. Это означает, что на каждом из них имеется корень данного полинома. Поскольку полином третьей степени имеет не более трех действительных корней, мы локализовали все его корни.
Найдем корни полинома методом последовательных приближений с помощью команды Сервис / Подбор параметров. Относительная погрешность вычислений и предельное число итераций задаются на вкладке Вычисления диалогового окна Параметры, открываемого командой Сервис / Параметры (рис. 30).
Рис. 30. Диалоговое окно Параметры.
Зададим относительную погрешность и предельное число итераций равными 0,00001 и 1000 соответственно. В качестве начальных приближений к корням можно взять любые точки из отрезков локализации корней. Возьмем в качестве начальных приближений их средние точки: –0.9, 0.3, 0,7 и введем их в диапазон ячеек С2:С4. В ячейку D2 введем формулу
=C2^3 – 0,01*C2^2 – 0,7044*C2 + 0,139104.
Выделим эту ячейку и с помощью маркера заполнения протащим введенную в нее формулу на диапазон D2:D4. В ячейках D2:D4 будут вычислены значения полинома при значениях аргумента, введенных в ячейки C2:C4.
Теперь выберем команду Сервис / Подбор параметров и заполним диалоговое окно Подбор параметров следующим образом (рис. 31).
Рис. 31. Диалоговое окно Подбор параметров.
В поле Установить в ячейке введем D2. В этом поле дается ссылка на ячейку, в которую введена формула, вычисляющая значение левой части уравнения. В поле Значение введем 0 (в этом поле указывается правая часть уравнения). В поле Изменяя значение ячейки введем С2 (в этом поле дается ссылка на ячейку, отведенную под переменную).
Вводить ссылки на ячейки в поля диалогового окна Подбор параметров удобнее не с клавиатуры, а щелчком на соответствующей ячейке. При этом Excel автоматически будет превращать их в абсолютные ссылки (в нашем примере в $D$2 и $C$2).
После нажатия кнопки ОК средство подбора параметров находит приближенное значение корня, которое помещается в ячейку С2. В данном случае оно равно –0,920. Аналогично в ячейках С3 и С4 находим два оставшихся корня. Они равны 0,210 и 0,720.