СТАНДОТКЛОНА (функция СТАНДОТКЛОНА)
В этой статье описаны синтаксис формулы и использование функции СТАНДОТКЛОНА в Microsoft Excel.
Описание
Оценивает стандартное отклонение по выборке. Стандартное отклонение — это мера того, насколько широко разбросаны точки данных относительно их среднего.
Синтаксис
Аргументы функции СТАНДОТКЛОНА описаны ниже.
Значение1,значение2. Аргумент "значение1" является обязательным, последующие значения необязательные. От 1 до 255 значений, соответствующих выборке из генеральной совокупности. Вместо аргументов, разделяемых точкой с запятой, можно использовать массив или ссылку на массив.
Замечания
Функция СТАНДОТКЛОНА предполагает, что аргументы являются только выборкой из генеральной совокупности. Если данные представляют всю генеральную совокупность, то стандартное отклонение следует вычислять с помощью функции СТАНДОТКЛОНПА.
Стандартное отклонение вычисляется с использованием "n-1" метода.
Допускаются следующие аргументы: числа; имена, массивы или ссылки, содержащие числа; текстовые представления чисел; логические значения, такие как ИСТИНА и ЛОЖЬ, в ссылке.
Аргументы, содержащие значение ИСТИНА, интерпретируются как 1; аргументы, содержащие текст или значение ЛОЖЬ, интерпретируются как 0 (ноль).
Если аргументом является массив или ссылка, учитываются только значения массива или ссылки. Пустые ячейки и текст в массиве или ссылке игнорируются.
Аргументы, представляющие собой значения ошибок или текст, не преобразуемый в числа, вызывают ошибку.
Чтобы не включать логические значения и текстовые представления чисел в ссылку как часть вычисления, используйте функцию СТАНДОТКЛОН.
Функция СТАНДОТКЛОНА вычисляется по следующей формуле:
где x — выборочное среднее СРЗНАЧ(значение1,значение2,…), а n — размер выборки.
Пример
Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.
Дисперсия и стандартное отклонение в EXCEL
history 4 октября 2016 г.
- Группы статей
- Описательная статистика
Вычислим в MS EXCEL дисперсию и стандартное отклонение выборки. Также вычислим дисперсию случайной величины, если известно ее распределение.
Сначала рассмотрим дисперсию , затем стандартное отклонение .
Дисперсия выборки
Дисперсия выборки ( выборочная дисперсия, sample variance ) характеризует разброс значений в массиве относительно среднего .
Все 3 формулы математически эквивалентны.
Из первой формулы видно, что дисперсия выборки это сумма квадратов отклонений каждого значения в массиве от среднего , деленная на размер выборки минус 1.
В MS EXCEL 2007 и более ранних версиях для вычисления дисперсии выборки используется функция ДИСП() , англ. название VAR, т.е. VARiance. С версии MS EXCEL 2010 рекомендуется использовать ее аналог ДИСП.В() , англ. название VARS, т.е. Sample VARiance. Кроме того, начиная с версии MS EXCEL 2010 присутствует функция ДИСП.Г(), англ. название VARP, т.е. Population VARiance, которая вычисляет дисперсию для генеральной совокупности . Все отличие сводится к знаменателю: вместо n-1 как у ДИСП.В() , у ДИСП.Г() в знаменателе просто n. До MS EXCEL 2010 для вычисления дисперсии генеральной совокупности использовалась функция ДИСПР() .
Дисперсию выборки можно также вычислить непосредственно по нижеуказанным формулам (см. файл примера ) =КВАДРОТКЛ(Выборка)/(СЧЁТ(Выборка)-1) =(СУММКВ(Выборка)-СЧЁТ(Выборка)*СРЗНАЧ(Выборка)^2)/ (СЧЁТ(Выборка)-1) – обычная формула =СУММ((Выборка -СРЗНАЧ(Выборка))^2)/ (СЧЁТ(Выборка)-1 ) – формула массива
Дисперсия выборки равна 0, только в том случае, если все значения равны между собой и, соответственно, равны среднему значению . Обычно, чем больше величина дисперсии , тем больше разброс значений в массиве.
Дисперсия выборки является точечной оценкой дисперсии распределения случайной величины, из которой была сделана выборка . О построении доверительных интервалов при оценке дисперсии можно прочитать в статье Доверительный интервал для оценки дисперсии в MS EXCEL .
Дисперсия случайной величины
Чтобы вычислить дисперсию случайной величины, необходимо знать ее функцию распределения .
Для дисперсии случайной величины Х часто используют обозначение Var(Х). Дисперсия равна математическому ожиданию квадрата отклонения от среднего E(X): Var(Х)=E[(X-E(X)) 2 ]
Если случайная величина имеет дискретное распределение , то дисперсия вычисляется по формуле:
где x i – значение, которое может принимать случайная величина, а μ – среднее значение ( математическое ожидание случайной величины ), р(x) – вероятность, что случайная величина примет значение х.
Если случайная величина имеет непрерывное распределение , то дисперсия вычисляется по формуле:
Для распределений, представленных в MS EXCEL , дисперсию можно вычислить аналитически, как функцию от параметров распределения. Например, для Биномиального распределения дисперсия равна произведению его параметров: n*p*q.
Примечание : Дисперсия, является вторым центральным моментом , обозначается D[X], VAR(х), V(x). Второй центральный момент — числовая характеристика распределения случайной величины, которая является мерой разброса случайной величины относительно математического ожидания .
Примечание : О распределениях в MS EXCEL можно прочитать в статье Распределения случайной величины в MS EXCEL .
Размерность дисперсии соответствует квадрату единицы измерения исходных значений. Например, если значения в выборке представляют собой измерения веса детали (в кг), то размерность дисперсии будет кг 2 . Это бывает сложно интерпретировать, поэтому для характеристики разброса значений чаще используют величину равную квадратному корню из дисперсии – стандартное отклонение .
Некоторые свойства дисперсии :
Var(Х+a)=Var(Х), где Х — случайная величина, а — константа.
Var(Х)=E[(X-E(X)) 2 ]=E[X 2 -2*X*E(X)+(E(X)) 2 ]=E(X 2 )-E(2*X*E(X))+(E(X)) 2 =E(X 2 )-2*E(X)*E(X)+(E(X)) 2 =E(X 2 )-(E(X)) 2
Это свойство дисперсии используется в статье про линейную регрессию .
Var(Х+Y)=Var(Х) + Var(Y) + 2*Cov(Х;Y), где Х и Y — случайные величины, Cov(Х;Y) — ковариация этих случайных величин.
Если случайные величины независимы (independent), то их ковариация равна 0, и, следовательно, Var(Х+Y)=Var(Х)+Var(Y). Это свойство дисперсии используется при выводе стандартной ошибки среднего .
Покажем, что для независимых величин Var(Х-Y)=Var(Х+Y). Действительно, Var(Х-Y)= Var(Х-Y)= Var(Х+(-Y))= Var(Х)+Var(-Y)= Var(Х)+Var(-Y)= Var(Х)+(-1) 2 Var(Y)= Var(Х)+Var(Y)= Var(Х+Y). Это свойство дисперсии используется для построения доверительного интервала для разницы 2х средних .
Примечание : квадратный корень из дисперсии случайной величины называется Среднеквадратическое отклонение (или другие названия — среднее квадратическое отклонение, среднеквадратичное отклонение, квадратичное отклонение, стандартное отклонение, стандартный разброс).
Стандартное отклонение выборки
Стандартное отклонение выборки — это мера того, насколько широко разбросаны значения в выборке относительно их среднего .
По определению, стандартное отклонение равно квадратному корню из дисперсии :
Стандартное отклонение не учитывает величину значений в выборке , а только степень рассеивания значений вокруг их среднего . Чтобы проиллюстрировать это приведем пример.
Вычислим стандартное отклонение для 2-х выборок: (1; 5; 9) и (1001; 1005; 1009). В обоих случаях, s=4. Очевидно, что отношение величины стандартного отклонения к значениям массива у выборок существенно отличается. Для таких случаев используется Коэффициент вариации (Coefficient of Variation, CV) — отношение Стандартного отклонения к среднему арифметическому , выраженного в процентах.
В MS EXCEL 2007 и более ранних версиях для вычисления Стандартного отклонения выборки используется функция =СТАНДОТКЛОН() , англ. название STDEV, т.е. STandard DEViation. С версии MS EXCEL 2010 рекомендуется использовать ее аналог =СТАНДОТКЛОН.В() , англ. название STDEV.S, т.е. Sample STandard DEViation.
Кроме того, начиная с версии MS EXCEL 2010 присутствует функция СТАНДОТКЛОН.Г() , англ. название STDEV.P, т.е. Population STandard DEViation, которая вычисляет стандартное отклонение для генеральной совокупности . Все отличие сводится к знаменателю: вместо n-1 как у СТАНДОТКЛОН.В() , у СТАНДОТКЛОН.Г() в знаменателе просто n.
Стандартное отклонение можно также вычислить непосредственно по нижеуказанным формулам (см. файл примера ) =КОРЕНЬ(КВАДРОТКЛ(Выборка)/(СЧЁТ(Выборка)-1)) =КОРЕНЬ((СУММКВ(Выборка)-СЧЁТ(Выборка)*СРЗНАЧ(Выборка)^2)/(СЧЁТ(Выборка)-1))
Другие меры разброса
Функция КВАДРОТКЛ() вычисляет с умму квадратов отклонений значений от их среднего . Эта функция вернет тот же результат, что и формула =ДИСП.Г( Выборка )*СЧЁТ( Выборка ) , где Выборка — ссылка на диапазон, содержащий массив значений выборки ( именованный диапазон ). Вычисления в функции КВАДРОТКЛ() производятся по формуле:
Функция СРОТКЛ() является также мерой разброса множества данных. Функция СРОТКЛ() вычисляет среднее абсолютных значений отклонений значений от среднего . Эта функция вернет тот же результат, что и формула =СУММПРОИЗВ(ABS(Выборка-СРЗНАЧ(Выборка)))/СЧЁТ(Выборка) , где Выборка — ссылка на диапазон, содержащий массив значений выборки.
Вычисления в функции СРОТКЛ () производятся по формуле: