Теорема Гаусса
Для полноценного описания электростатического поля заданной системы зарядов в вакууме достаточно экспериментально подтвержденного закона Кулона и принципа суперпозиции. Но при этом существует возможность свойства электростатического поля охарактеризовать в ином обобщенном виде, не опираясь на утверждения касательно кулоновского поля точечного заряда.
Поток вектора напряженности
Зададим новую физическую величину, описывающую электрическое поле – поток Φ вектора напряженности электрического поля. Предположим, что в пространстве, содержащем заданное электрическое поле, имеется некая достаточно малая площадка Δ S .
Элементарный поток вектора напряженности (через площадку S ) – это физическая величина, равная произведению модуля вектора E → , площади Δ S и косинуса угла α между вектором и нормалью к площадке:
Δ Φ = E Δ S cos α = E n Δ S.
В данной формуле E n является модулем нормальной составляющей поля E → .
Рисунок 1 . 3 . 1 . Иллюстрация элементарного потока Δ Φ .
Теперь возьмем для рассмотрения некую произвольную замкнутую поверхность S . Разобьем заданную поверхность на площадки небольшого размера Δ S i , рассчитаем элементарные потоки Δ Φ i поля через эти малые площадки, после чего найдем их сумму, что в итоге даст нам поток Φ вектора через замкнутую поверхность S (рис. 1 . 3 . 2 ):
Φ = ∑ ∆ Φ i = ∑ E m ∆ S i
Когда речь идет о поверхности замкнутого типа, всегда используется внешняя нормаль.
Рисунок 1 . 3 . 2 . Расчет потока Ф через произвольную замкнутую поверхность S .
Теорема Гаусса. Доказательство
Теорема или закон Гаусса для электростатического поля в вакууме является одним из основных электродинамических законов.
Поток вектора напряженности электростатического поля E → через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, расположенных внутри этой поверхности, деленной на электрическую постоянную ε 0 .
Уравнение Гаусса имеет вид:
Φ = 1 ε 0 ∑ q в н у т р
Докажем указанную теорию: для этого исследуем сферическую поверхность (или поверхность шара) S . В центре заданной поверхности расположен точечный заряд q . Любая точка сферы обладает электрическим полем, перпендикулярным поверхности сферы и равным по модулю:
E = E n = 1 4 π ε 0 · q R 2 ,
где R является радиусом сферы.
Поток Φ через поверхность шара запишется, как произведение E и площади сферы 4 π R 2 . Тогда: Φ = 1 ε 0 q .
Следующим нашим шагом будет окружение точечного заряда произвольной поверхностью S замкнутого типа; зададим также вспомогательную сферу R 0 (рис. 1 . 3 . 3 ).
Рисунок 1 . 3 . 3 . Поток электрического поля точечного заряда через произвольную поверхность S , окружающую заряд.
Возьмем для рассмотрения конус с малым телесным углом Δ Ω при вершине. Рассматриваемый конус задаст на сфере малую площадку Δ S 0 , а на поверхности S – площадку Δ S . Элементарные потоки Δ Φ 0 и Δ Φ через эти площадки являются одинаковыми. В самом деле:
Δ Φ 0 = E 0 Δ S 0 , Δ Φ = E Δ S cos α = E Δ S ‘ ,
где выражением Δ S ‘ = Δ S cos α определяется площадка, которая задастся конусом с телесным углом Δ Ω на поверхности сферы радиуса n .
Поскольку ∆ S 0 ∆ S ‘ = R 0 2 r 2 , то ∆ Φ 0 = ∆ Φ . Из полученного следует вывод о том, что полный поток электрического поля точечного заряда через произвольную поверхность, охватывающую заряд, равен потоку Φ 0 через поверхность вспомогательной сферы:
Так же мы можем продемонстрировать, что, когда замкнутая поверхность S не охватывает точечный заряд q , поток Φ равен нулю. Этот случай проиллюстрирован на рис. 1 . 3 . 2 . Все силовые линии электрического поля точечного заряда пронизывают замкнутую поверхность S насквозь. Внутри поверхности S зарядов нет, т.е. в этой области не наблюдается обрыва или зарождения силовых линий.
Обобщение теоремы Гаусса на случай произвольного распределения зарядов является следствием из принципа суперпозиции. Поле любого распределения зарядов возможно записать в виде векторной суммы электрических полей точечных зарядов. Поток Φ системы зарядов через произвольную замкнутую поверхность S сложится из потоков Φ i электрических полей отдельных зарядов. Когда заряд q i расположен внутри поверхности S , он дает вклад в поток, равный q i ε 0 . В случае расположения заряда снаружи поверхности его вклад в поток есть нуль.
Так, мы доказали теорему Гаусса.
Теорема Гаусса, по сути, есть следствие закона Кулона и принципа суперпозиции. Однако, взяв за изначальную аксиому утверждения теоремы, следствием станет закон Кулона, в связи с чем теорему Гаусса порой называют альтернативной формулировкой закона Кулона.
Опираясь на теорему Гаусса, в определенных случаях легко определить напряженность электрического поля вокруг заряженного тела (при наличии заранее угаданных симметрии заданного распределения зарядов и общей структуры поля).
Применение теоремы Гаусса
В качестве примера можно рассмотреть задачу, в которой необходимо вычислить поле тонкостенного полого однородно заряженного длинного цилиндра с радиусом R . Такая задача имеет осевую симметрию, и из соображений симметрии электрическое поле должно иметь направление по радиусу. Таким образом, чтобы иметь возможность применить теорему Гаусса, оптимально выбрать поверхность замкнутого типа S в виде соосного цилиндра некоторого радиуса r и длины l , закрытого с обоих торцов (рис. 1 . 3 . 4 ).
Рисунок 1 . 3 . 4 . Иллюстрация поля однородно заряженного цилиндра. O O ‘ – ось симметрии.
Если r ≥ R , то весь поток вектора напряженности пройдет через боковую поверхность цилиндра, поскольку поток через оба основания есть нуль. Формула площади боковой поверхности цилиндра запишется как: 2 π r l . Применим закон Гаусса и получим:
Φ = E 2 π r l = τ l ε 0 .
В указанном выражении τ является зарядом длины цилиндра. Далее можно записать:
Данное выражение не имеет зависимости от радиуса R заряженного цилиндра, а значит оно применимо и к полю длинной однородно заряженной нити.
Чтобы найти напряженность поля внутри заряженного цилиндра, необходимо создать замкнутую поверхность для случая r < R . В соответствии с симметрией задачи поток вектора напряженности через боковую поверхность цилиндра должен быть, и в этом случае он равен Φ = E 2 π r l . Исходя из гауссовской теоремы, этот поток находится в пропорции к заряду, расположенному внутри замкнутой поверхности. Заряд этот равен нулю, откуда вытекает, что электрическое поле внутри однородно заряженного длинного полого цилиндра тоже есть нуль.
Точно так же теорема и формула Гаусса применимы для определения электрического поля в иных случаях, когда распределение зарядов охарактеризовано какой-либо симметрией, к примеру, симметрией относительно центра, плоскости или оси. Во всех этих случаях необходимо выбирать замкнутую гауссову поверхность подходящей формы.
К примеру, в случае центральной симметрии поверхность оптимально выбрать в виде сферы, у которой центр расположен в точке симметрии. Когда мы имеем симметрию относительно оси, подходящим видом замкнутой поверхности будет соосный цилиндр, закрытый с обоих торцов (аналогично рассмотренному выше примеру).
При отсутствии симметрии и невозможности угадать общую структуру поля, теорема Гаусса не сможет быть применена для упрощения решения задачи по определению напряженности поля.
Разберем еще пример распределения зарядов при наличии симметрии: нахождение поля равномерно заряженной плоскости (рис. 1 . 3 . 5 ).
Рисунок 1 . 3 . 5 . Поле равномерно заряженной плоскости. σ – поверхностная плотность заряда. S – замкнутая гауссова поверхность.
Здесь гауссову поверхность S оптимально задать как цилиндр некой длины, замкнутый с обоих концов. Ось цилиндра является перпендикуляром к заряженной плоскости; в свою очередь, торцы цилиндра находятся на одинаковом расстоянии от нее. В соответствии с симметрией поле равномерно заряженной плоскости должно везде иметь направление по нормали. Применим теорему Гаусса и получим:
2 E ∆ S = σ ∆ S ε 0 или E = σ 2 ε 0 .
Здесь σ является поверхностной плотностью заряда или зарядом, приходящимся на единицу площади.
Выражение, которое мы получили для электрического поля однородно заряженной плоскости, возможно использовать и для плоских заряженных площадок конечного размера: здесь расстояние от точки, в которой мы определяем напряженность поля, до заряженной площадки должно быть значимо меньше размеров площадки.
Поток электрического поля в чем измеряется
Экспериментально установленные закон Кулона и принцип суперпозиции позволяют полностью описать электростатическое поле заданной системы зарядов в вакууме. Однако, свойства электростатического поля можно выразить в другой, более общей форме, не прибегая к представлению о кулоновском поле точечного заряда.
Введем новую физическую величину, характеризующую электрическое поле – поток Φ вектора напряженности электрического поля. Пусть в пространстве, где создано электрическое поле, расположена некоторая достаточно малая площадка . Произведение модуля вектора на площадь и на косинус угла α между вектором и нормалью к площадке называется элементарным потоком вектора напряженности через площадку (рис. 1.3.1):
| , |
где – модуль нормальной составляющей поля
Рассмотрим теперь некоторую произвольную замкнутую поверхность . Если разбить эту поверхность на малые площадки Δ, определить элементарные потоки Δ поля через эти малые площадки, а затем их просуммировать, то в результате мы получим поток вектора через замкнутую поверхность (рис. 1.3.2):
В случае замкнутой поверхности всегда выбирается внешняя нормаль .
Теорема Гаусса утверждает:
Поток вектора напряженности электростатического поля через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, расположенных внутри этой поверхности, деленной на электрическую постоянную ε0.
Для доказательства рассмотрим сначала сферическую поверхность , в центре которой находится точечный заряд . Электрическое поле в любой точке сферы перпендикулярно к ее поверхности и равно по модулю
где – радиус сферы. Поток через сферическую поверхность будет равен произведению на площадь сферы 4π. Следовательно,
Окружим теперь точечный заряд произвольной замкнутой поверхностью и рассмотрим вспомогательную сферу радиуса (рис. 1.3.3).
Рассмотрим конус с малым телесным углом при вершине. Этот конус выделит на сфере малую площадку , а на поверхности – площадку . Элементарные потоки и Δ через эти площадки одинаковы. Действительно,
| . |
Здесь Δ – площадка, выделяемая конусом с телесным углом ΔΩ на поверхности сферы радиуса .
Так как а следовательно Отсюда следует, что полный поток электрического поля точечного заряда через произвольную поверхность, охватывающую заряд, равен потоку 0 через поверхность вспомогательной сферы:
Аналогичным образом можно показать, что, если замкнутая поверхность не охватывает точечного заряда , то поток = 0. Такой случай изображен на рис. 1.3.2. Все силовые линии электрического поля точечного заряда пронизывают замкнутую поверхность насквозь. Внутри поверхности зарядов нет, поэтому в этой области силовые линии не обрываются и не зарождаются.
Обобщение теоремы Гаусса на случай произвольного распределения зарядов вытекает из принципа суперпозиции. Поле любого распределения зарядов можно представить как векторную сумму электрических полей точечных зарядов. Поток системы зарядов через произвольную замкнутую поверхность будет складываться из потоков электрических полей отдельных зарядов. Если заряд оказался внутри поверхности , то он дает вклад в поток, равный если же этот заряд оказался снаружи поверхности, то вклад его электрического поля в поток будет равен нулю.
Таким образом, теорема Гаусса доказана.
Теорема Гаусса является следствием закона Кулона и принципа суперпозиции. Но если принять утверждение, содержащееся в этой теореме, за первоначальную аксиому, то ее следствием окажется закон Кулона. Поэтому теорему Гаусса иногда называют альтернативной формулировкой закона Кулона.
Используя теорему Гаусса, можно в ряде случаев легко вычислить напряженность электрического поля вокруг заряженного тела, если заданное распределение зарядов обладает какой-либо симметрией и общую структуру поля можно заранее угадать.
Примером может служить задача о вычислении поля тонкостенного полого однородно заряженного длинного цилиндра радиуса . Эта задача имеет осевую симметрию. Из соображений симметрии электрическое поле должно быть направлено по радиусу. Поэтому для применения теоремы Гаусса целесообразно выбрать замкнутую поверхность в виде соосного цилиндра некоторого радиуса и длины , закрытого с обоих торцов (рис. 1.3.4).
При весь поток вектора напряженности будет проходить через боковую поверхность цилиндра, площадь которой равна , так как поток через оба основания равен нулю. Применение теоремы Гаусса дает:
где τ – заряд единицы длины цилиндра. Отсюда
Этот результат не зависит от радиуса заряженного цилиндра, поэтому он применим и к полю длинной однородно заряженной нити.
Для определения напряженности поля внутри заряженного цилиндра нужно построить замкнутую поверхность для случая . В силу симметрии задачи поток вектора напряженности через боковую поверхность гауссова цилиндра должен быть и в этом случае равен . Согласно теореме Гаусса, этот поток пропорционален заряду, оказавшемуся внутри замкнутой поверхности. Этот заряд равен нулю. Отсюда следует, что электрическое поле внутри однородно заряженного длинного полого цилиндра равно нулю.
Аналогичным образом можно применить теорему Гаусса для определения электрического поля в ряде других случаев, когда распределение зарядов обладает какой-либо симметрией, например, симметрией относительно центра, плоскости или оси. В каждом из таких случаев нужно выбирать замкнутую гауссову поверхность целесообразной формы. Например, в случае центральной симметрии гауссову поверхность удобно выбирать в виде сферы с центром в точке симметрии. При осевой симметрии замкнутую поверхность нужно выбирать в виде соосного цилиндра, замкнутого с обоих торцов (как в рассмотренном выше примере). Если распределение зарядов не обладает какой-либо симметрией и общую структуру электрического поля угадать невозможно, применение теоремы Гаусса не может упростить задачу определения напряженности поля.
Рассмотрим еще один пример симметричного распределения зарядов – определение поля равномерно заряженной плоскости (рис. 1.3.5).
В этом случае гауссову поверхность целесообразно выбрать в виде цилиндра некоторой длины, закрытого с обоих торцов. Ось цилиндра направлена перпендикулярно заряженной плоскости, а его торцы расположены на одинаковом расстоянии от нее. В силу симметрии поле равномерно заряженной плоскости должно быть везде направлено по нормали. Применение теоремы Гаусса дает:
где σ – поверхностная плотность заряда , т. е. заряд, приходящийся на единицу площади.
Полученное выражение для электрического поля однородно заряженной плоскости применимо и в случае плоских заряженных площадок конечного размера. В этом случае расстояние от точки, в которой определяется напряженность поля, до заряженной площадки должно быть значительно меньше размеров площадки.
Поток вектора напряженности электростатического поля
Понятие потока вектора напряженности электростатического поля
Полноценно описать электростатическое поле заданной системы зарядов в вакуумной среде можно с помощью эксперимента, подтверждением которого служит закон Кулона, и принципа суперпозиции. При этом есть возможность представить свойства электростатического поля в обобщенном виде без применения утверждения о кулоновском поле точечного заряда. В этом случае целесообразно обратиться к теореме, которая была выведена немецким ученым К. Гауссом, определяющей поток вектора напряженности сквозь произвольную замкнутую поверхность.
Поток вектора представляет собой поверхностный интеграл от нормальной составляющей этого вектора.
Представим, что через некую площадь S проходят силовые линии однородного электрического поля, напряженность которого равна:
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Тогда поток напряженности или количество силовых линий, проходящих через площадку, будет рассчитываться по формуле:
Где En является произведением вектора \(\vec
Поток вектора напряженности \(\Phi _
Формула расчета
Утверждение можно записать в векторной форме. Тогда уравнение будет являться скалярным произведением двух векторов:
Где вектор \(\vec\) равен:
Таким образом, поток вектора \(\vec
На первом изображении поверхность А1 расположена вокруг положительного заряда, поток направлен наружу, то есть:
Поверхность А2 окружает отрицательный заряд, поток направлен внутрь, то есть:
Общий поток А обладает нулевым значением.
На втором рисунке при условии отличия суммарного заряда внутри поверхности от нуля, поток также не равен нулю. В данной системе поток через поверхность А характеризуется отрицательной величиной. Таким образом, поток вектора напряженности связан с зарядом. В этом заключается смысл теоремы Островского-Гаусса.
Доказательство теоремы Гаусса
Согласно данной закономерности, поток вектора напряженности электростатического поля сквозь произвольную поверхность определяют поток вектора. В единицах измерения СИ \(\Phi _
Уравнение применимо в случае замкнутой поверхности разной формы. Если выделить сферу с помощью произвольной замкнутой поверхности, то каждая линия напряженности, которая пронизывает сферу, будет проходить через эту поверхность.
Можно представить, что заряд q охватывает какая-то замкнутая поверхность. В случае, когда линии напряженности будут выходить из поверхности, поток станет положительным. Если линии напряженности входят в поверхность, то поток напряженности будет обладать отрицательным значением. Нечетное количество пересечений в процессе расчета потока приводят к одному пересечению.
Теорема Гаусса для электростатического поля будет сформулирована следующим образом: поток вектора напряженности электростатического поля в вакуумной среде через какую-то замкнутую поверхность является отношением алгебраической суммы зарядов, которые она содержит, и электрической постоянной .
В виде формулы утверждение можно записать в следующем виде:
Данную теорему вывел математически для векторного поля любой природы русский математик М.В. Остроградский, а затем независимо от него для электростатического поля — К. Гаусс. В случае, когда заряд не проходит через замкнутую поверхность, то поток будет иметь нулевое значение. Можно представить произвольную поверхность, окруженную N зарядами, тогда
Поток вектора напряженности:
Представленное уравнение демонстрирует поток вектора напряженности через произвольную замкнутую поверхность, которая включает совокупность N зарядов, для электростатического поля в вакуумной среде. Для общего случая характерно распределение электрических зарядов с объемной плотностью r, которая неодинакова в разных точках пространства. В таком случае теорема Гаусса будет иметь следующий вид:
Когда поле Е определяется конфигурацией всех зарядов, поток вектора Е через произвольную замкнутую поверхность S зависит от алгебраической суммы зарядов, которые расположены внутри поверхности S. При передвижении зарядов без пересечения поверхности S поток вектора Е сквозь эту поверхность останется прежним.
Применение теоремы Гаусса
Решения формул можно получить с помощью интегрирования уравнения:
Где V является объемом, для которого r не равен нулю.
Но, благодаря использованию теоремы Гаусса, решение задач упрощается. Однако данный метод не всегда можно применить. Он эффективен лишь для ситуаций, когда поле характеризуется специальной симметрией:
- плоской;
- цилиндрической;
- сферической.
Условия применения теоремы Гаусса:
- Поле обладает специальной симметрией.
- Наличие достаточно простой замкнутой поверхности, площадь которой можно рассчитать.
- Возможность преобразования расчета потока в простое произведение напряженности и площади поверхности.
В случае, когда данные условия не выполнимы, расчет Е поля производят другими методами, к примеру, ДИ-дифференцирование и интегрирование. При дискретном распределении зарядов формула будет иметь следующий вид:
Применение теоремы Гаусса для расчета напряженности поля равномерно заряженной бесконечной плоскости
Можно представить бесконечную плоскость. Она заряжена с поверхностной плотностью зарядов:
Линии напряженности расположены перпендикулярно относительно плоскости и направлены в обе стороны от плоскости. Поверхность цилиндра можно представить в роли замкнутой поверхности. Основания этой фигуры находятся параллельно по отношению к бесконечной плоскости, а ее ось — перпендикулярна плоскости.
Образующие цилиндрической фигуры расположены параллельно, относительно линий напряженности:
Поток вектора напряженности через боковую поверхность равен нулю, а полный поток через цилиндр определяется совокупностью потоков, которые проходят через его основания. Для основания:
Заряд, который заключен внутри постоянной замкнутой поверхности, определяется, как:
Численная характеристика потока равна:
Согласно теореме Гаусса:
Исходя из данного уравнения, следует:
Напряжение электростатического поля, которое образовано с помощью равномерно заряженной бесконечной плоскости, составляет:
В этом случае напряжение электростатического поля не определяется длиной цилиндра. При любом расстоянии от плоскости напряжение будет одинаково по модулю. Поле равномерно заряженной плоскости отличается однородностью.
Применение теоремы Гаусса для расчета напряженности поля двух разноименно заряженных плоскостей, которые бесконечно параллельны друг относительно друга
Схематичное представление таких плоскостей представлено на рисунке. Можно представить, что левая плоскость заряжена e + s, а правая с – s.
Суммарное поле можно рассчитать с помощью определения суперпозиции полей, каждую из которых создают плоскости:
Таким образом, определяется результирующая напряженность поля в области, отделяющей две плоскости. За пределами рассматриваемого объема, который ограничен этими плоскостями, результирующая напряженность поля будет равна нулю.
Применение теоремы Гаусса для расчета напряженности поля равномерно заряженной сферической поверхности
Можно представить сферу, которая равномерно заряжена и обладает радиусом R. Поверхностная плотность заряда равна +s. Для данного поля характерна сферическая симметрия и радиальное направление линий напряженности. Мысленно можно выделить сферу, радиус которой равен r, а центр совпадает с центральной точкой заряженной сферы. Предположим, что r>R. В этом случае справедлива формула:
Если r<R, то внутри замкнутой поверхности заряды и электростатическое поле отсутствуют, то есть E = 0.
Рисунок демонстрирует график зависимости E = f (r)
Пример расчета напряженности поля объемно заряженного шара
Допустим, что шарообразный объект обладает радиусом R. Шар равномерно заряжен, а объемная плотность заряда составляет:
Для данного поля характерна сферическая симметрия. Можно представить сферу замкнутой поверхностью. Когда r>R,
В случае, когда r<R, сфера охватывает заряд, который рассчитывается по формуле:
Данное уравнение справедливо, так как заряды относятся, как объемы, а объемы, как кубы радиусов. В таком случае, исходя из теоремы Гаусса, следует уравнение:
График демонстрирует зависимость E = f (r)
Внутри шара, который заряжен равномерно, напряженность увеличивается линейно с расстоянием r от его центра. Вне шара напряженность будет уменьшаться обратно пропорционально r2.
Пример расчета напряженности поля бесконечного круглого цилиндра, который заряжен и обладает линейной плотностью заряда I
Имеется объект цилиндрической формы с радиусом R. Линии напряженности обладают одинаковой густотой и направлены вдоль радиусов круговых сечений цилиндра. Замкнутая поверхность будет представлена в виде цилиндра, радиус которого равен r, а высота — h. Поток вектора через торцы фигуры обладает нулевым значением, а через боковые поверхности составляет:
Следует учитывать, что:
В случае, когда l > 0, получаем E > 0, то есть вектор Е будет ориентирован от цилиндра. Если l < 0, то E < 0. В таком случае вектор Е характеризуется направлением к заряженному цилиндру. При r < R, заряды внутри замкнутой поверхности не наблюдаются, следовательно, для этой области E = 0. Поле будет отсутствовать внутри поверхности круглого бесконечного цилиндра, которая равномерна заряжена.
Поток вектора напряженности. Теорема Гаусса
Введем новую физическую величину, характеризующую электрическое поле – поток вектора напряженности электрического поля (Φ). Понятие потока вектора />аналогично понятию потока вектора скорости при течении несжимаемой жидкости. Фактически поток вектора />пропорционален числу линий напряженности, пронизывающих элементарную площадку ΔS (рис. 1.6).
Пусть в пространстве, где создано электрическое поле, расположена некоторая достаточно малая площадка ΔS. Произведение модуля вектора 
на площадь ΔS и на косинус угла α между вектором и нормалью 
к площадке называется элементарным потоком вектора напряженности через площадку ΔS:
,
где 
– проекция вектора на нормаль к площадке 
; — единичный вектор, перпендикулярный площадке .
Рис. 1.6. К определению элементарного потока ΔΦ
Полный поток вектора напряженности сквозь поверхность 
в общем случае равен:
,
где 
. (Выбор нормали условен, но в случае замкнутых поверхностей принято брать наружу области, охватываемой этими поверхностями, т. е. выбирать внешнюю нормаль). Единица измерения потока — В·м.
Рассмотрим теперь некоторую произвольную замкнутую поверхность S. Если разбить эту поверхность на малые площадки ΔSi, определить элементарные потоки 
поля через эти малые площадки, а затем их просуммировать, то в результате мы получим поток Φ вектора через замкнутую поверхность S (рис. 1.7):
.
Рис. 1.7. Поток Ф через произвольную замкнутую поверхность S
Теорема Гаусса: поток вектора 
через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на 
, т. е.:
.
Вычисление напряженности поля системы электрических зарядов и полей, создаваемых заряженными телами различной формы, можно проводить с помощью принципа суперпозиции. Однако, во многих случаях эту задачу можно значительно упростить, используя теорему Гаусса.
Модуль напряженности электрического поля, созданного точечным зарядом 
на расстоянии 
от него (рис. 1.8),
.
Рис. 1.8 Поток электрического поля точечного заряда через произвольную поверхность S, окружающую заряд
Модуль напряженности поля диполя в точке, находящейся на расстоянии 
от диполя (
— плечо диполя),
,
где 
— электрический момент диполя, 
— угол между осью диполя и радиус-вектором, проведенным из центра диполя в данную точку.
Вращающий момент сил, действующих на диполь во внешнем электрическом поле,
; 
,
где — напряженность электрического поля; 
— угол между векторами 
и .
Сила, действующая на диполь во внешнем электрическом поле,
,
где производная берется по направлению вектора . Направление вектора 
в общем случае не совпадает с направлением вектора , ни с направлением вектора . Направление вектора силы совпадает лишь с направлением элементарного приращения вектора , взятого в направлении .
Выражения для модулей напряженности электрических полей симметричных объектов имеют вид:
1. Напряженность поля равномерно заряженной сферической поверхности в точках, лежащих вне и внутри сферы на расстоянии от ее центра
; 
.
2. Напряженность поля бесконечно длинной равномерно заряженной нити или бесконечно длинной равномерно заряженной цилиндрической поверхности в точках, расположенных вне ее,
,
где 
— расстояние точки от нити (оси цилиндра), 
— линейная плотность заряда, численно равная заряду, приходящемуся на единицу длины нити или цилиндра:
.
Рис. 1.9. Вычисление поля однородно заряженного цилиндра.
OO‘ – ось симметрии цилиндра
3. Напряженность поля бесконечной равномерно заряженной плоскости (рис. 1.10)
,
где 
— поверхностная плотность заряда, численно равная заряду, приходящемуся на единицу площади заряженной поверхности:
.
Рис. 1.10 Поле равномерно заряженной плоскости
4. Напряженность поля двух бесконечных, параллельных плоскостей, равномерно заряженных с поверхностной плотностью заряда 
и 
(поле плоского конденсатора) в точках, расположенных между плоскостями и вне их, соответственно равны
, 
.
Потенциал. Разность потенциалов
Потенциальная энергия взаимодействия двух точечных зарядов, находящихся на расстоянии
.
Потенциал электрического поля является энергетической скалярной характеристикой электрического поля и равен отношению потенциальной энергии положительного пробного точечного заряда, помещенного в данную точку поля, к величине этого заряда:
,
где 
– потенциальная энергия заряда 
, помещенного в данную точку электрического поля. Потенциальная энергия бесконечно удаленной точки принимается равной нулю. Единица потенциала – вольт (В): 1 В есть потенциал такой точки поля, в которой заряд в 1 Кл обладает потенциальной энергией 1 Дж.
Работа, совершенная силами поля по перемещению положительного заряда из точки 1 в точку 2:
или 
,
где 
— проекция вектора напряженности на направление 
; при этом интегрирование производится вдоль любой линии, соединяющей точки 1 и 2 (рис. 1.11).
Интегрирование можно производить вдоль любой линии, соединяющей начальную и конечную точки, так как работа сил электростатического поля не зависит от траектории перемещения.
Теперь предположим, что заряд q0 перемещается из произвольной точки за пределы поля (на бесконечность), где потенциальная энергия, а значит и потенциал, равны нулю, то работа сил электростатического поля 
, откуда получим:
.
Данное выражение позволяет сформулировать еще одно определение потенциала. Потенциал – это физическая величина, определяемая работой по перемещению единичного положительного заряда при удалении его из данной точки пространства в бесконечность (потенциал бесконечно удаленной точки равен нулю).
Рис. 1.11. Работа сил поля при малом перемещении заряда q
Разность потенциалов и модуль напряженности электрического поля
; 
,
где производная 
берется в направлении быстрейшего изменения потенциала, т. е. вдоль силовой линии (рис. 1.12).
Для однородного поля (
)
,
где — расстояние между двумя точками, измеренное вдоль силовой линии.
Рис. 1.12. Работа кулоновских сил при перемещении заряда q зависит только от расстояний r1 и r2
Потенциал поля точечного заряда на расстоянии от него
.
Потенциал поля сферической поверхности (шара) радиуса 
, по которой равномерно распределен заряд :
1. 
— для точек, лежащих вне сферы (шара) на расстоянии от ее центра;
2. 
— для точек, лежащих на поверхности сферы (шара) или внутри нее.
Потенциал электрического поля внутри непроводящего шара, равномерно заряженного по объему,
,
где 
– диэлектрическая проницаемость материала шара; 
– диэлектрическая проницаемость среды, в которой находится шар.
Принцип суперпозиции для потенциала электрического поля. Потенциал поля, создаваемого системой зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности:
,
где 
– потенциал электрического поля, созданного 
-м зарядом.
Для графического изображения потенциала используются эквипотенциальные поверхности – это поверхности во всех точках которых потенциал имеет одно и то же значение. Эквипотенциальные поверхности обычно проводят так, чтобы разности потенциалов между двумя соседними эквипотенциальными поверхностями были одинаковы. Густота эквипотенциальных поверхностей наглядно характеризует напряженность поля в разных точках. В любой точке эквипотенциальной поверхности силовая линия ей перпендикулярна, следовательно, перпендикулярен и вектор (рис. 1.13).
Рис. 1.13. Эквипотенциальные поверхности и силовые линии простых электрических полей: точечный заряд; электрический диполь; два равных положительных заряда
Диэлектрики в электрическом поле
Диэлектриками называются вещества, которые в обычных условиях практически не проводят электрический ток. Различают три типа диэлектриков:
1) Неполярные диэлектрики. Это диэлектрики с неполярными молекулами, симметричные молекулы которых в отсутствие внешнего поля имеют нулевой дипольный момент (например, N2, H2, O2, CO2).
2) Полярные диэлектрики. Это диэлектрики с полярными молекулами, молекулы которых вследствие асимметрии имеют ненулевой дипольный момент (например, H2O, NH3, SO2, CO).
3) Ионные диэлектрики (например NaCl, KCl). Ионные кристаллы представляют собой пространственные решетки с правильным чередованием ионов разных знаков.
Если диэлектрик помещен во внешнее электрическое поле, то в его объеме возникает собственное макроскопическое поле, которое всегда противоположно ориентировано по отношению к внешнему полю. Такое явление называется поляризацией диэлектрика, и оно объясняется тем, что в его объеме возникает суммарный дипольный электрический момент молекул. Различают три основных вида поляризации:
1) Электронная или деформационная поляризациядиэлектрика с неполярными молекулами — за счет деформации электронных орбит возникает индуцированный дипольный момент у атомов или молекул диэлектрика (рис. 1.14).
Рис. 1.14. Деформационная поляризация неполярного диэлектрика
2) Ориентационная или дипольная поляризациядиэлектрика с полярными молекулами — ориентация имеющихся дипольных моментов молекул по полю (эта ориентация тем сильнее, чем больше напряженность электрического поля и чем ниже температура) (рис. 1.15).
Рис. 1.15. Поляризация полярного диэлектрика
3) Ионная поляризация диэлектрика с ионными кристаллическими решетками — смещение подрешетки положительных ионов вдоль поля, а отрицательных ионов против поля приводит к возникновению дипольных моментов.
Количественной мерой поляризации диэлектрика служит вектор 
, называемый поляризованностью вещества (вектор поляризации)
,
где 
– физически малый объем вещества; 
– концентрация молекул; 
– средний дипольный момент одной молекулы. Таким образом вектор поляризации измеряется суммарным электрическим моментом всех молекулярных диполей в единице объема диэлектрика.
Для изотропного диэлектрика вектор пропорционален напряженности поля внутри него
,
где 
— диэлектрическая восприимчивость диэлектрика.
Вследствие поляризации на поверхности диэлектрика появляются нескомпенсированные заряды, которые называются связанными 
(в отличие от свободных зарядов, которые создают внешнее поле).
Поверхностная плотность 
связанных зарядов равна проекции вектора на внешнюю нормаль к поверхности диэлектрика:
.
Напряженность поля внутри диэлектрика равна:
,
где 
— диэлектрическая проницаемость среды, характеризующая способность диэлектриков поляризоваться в электрическом поле и показывающая во сколько раз поле ослабляется диэлектриком. Таким образом, диэлектрическая проницаемость среды
,
где 
– напряженность поля в вакууме; 
– напряженность поля в среде. Диэлектрическая проницаемость является безразмерной величиной и характеризует способность диэлектриков поляризоваться в электрическом поле, а также показывает во сколько раз поле ослабляется диэлектриком
Для характеристики поля в диэлектрике вводится вектор электрического смещения (электрической индукции), который для изотропного диэлектрика записывается так
.
Единица электрического смещения – Кл/м 2 . Вектор 
описывает электростатическое поле, создаваемое свободными зарядами (т. е. в вакууме), но при таком их распределении в пространстве, какое имеется при наличии диэлектрика.
Введение в рассмотрение векторов поляризации и электрического смещения позволяет изменить запись и формулировку теоремы Гаусса.
Теорема Гаусса: поток вектора 
через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме свободных зарядов qi, охватываемых этой поверхностью
.