Как рассчитать соленоид

Магнитное поле однослойного соленоида

Соленоид – это цилиндрическая обмотка из провода по которой протекает постоянный или переменный электрический ток. Обмотка может наноситься в один или несколько слоёв виток к витку. Если длинна соленоида значительно превышает его диаметр, то поле, создаваемое постоянным током сосредоточено внутри него и практически однородно.

Рис. 1: Магнитное поле, создаваемое серией кольцевых токов

Для вычисления индукции магнитного поля $\vec B$ внутри однослойного соленоида представим его в виде суперпозиции кольцевых токов лежащих на одной оси – оси соленоида (Рис. 1) и воспользуемся теоремой о циркуляции:

Если пренебречь краевыми эффектами, то первое и третье слагаемые в (1) будут равны нулю, так как магнитное поле перпендикулярно контуру и $B_l=0$. Если контур выбрать так, что $AD$ будет лежать на большом расстоянии от соленоида, где поле стремиться к нулю, то и четвёртое слагаемое в (1) также превратиться в нуль. Тогда, учитывая приближение однородности поля получим:

где $L$ – длина соленоида, $N$ – количество витков. Если ввести понятие плотности витков (число витков на единицу длины) $n=N/L$, то индукцию магнитного поля внутри соленоида (2) можно записать в виде:

Рис. 2: Соленоид с произвольными размерами $L$ и $R$.

Чтобы получить точное выражение для индукции магнитного поля в любой точке на оси конечного соленоида необходимо воспользоваться законом Био-Савара-Лапласа (Рис. 2), который приводит к следующему выражению:

В частном случае, в середине соленоида, где магнитное поле максимально выражение для индукции будет иметь вид:

ИЗУЧЕНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ СОЛЕНОИДА

Приборы и принадлежности: лабораторная установка с соленоидом, источник питания, милливольтметр, амперметр.

Соленоидом называется цилиндрическая катушка, содержащая большое, число витков провода, по которому идет ток. Если шаг вин­товой линии проводника, образующего катушку, мал, то каждый ви­ток с током можно рассматривать как отдельный круговой ток, а соленоид — как систему последовательно соединенных круговых токов одинакового радиуса, имеющих общую ось.

Магнитное поле внутри соленоида можно представить как сумму магнитных полей, создаваемых каждым витком. Вектор индукции маг­нитного поля внутри соленоида перпендикулярен плоскости витков, т.е. направлен по оси соленоида и образует с направлением кольце­вых токов витков правовинтовую систему. Примерная картина силовых линий магнитного поля соленоида показана на рис. 1. Силовые линии магнитного поля замкнуты.

На рис, 2 показано сечение соленоида длиной L и с числом витков N и радиусом поперечного сечения R. Кружки с точками обозначают сечения витков катушки, по которым идет ток I , на­правленный от чертежа на нас, а кружки с крестиками — сечения вит­ков, в которых ток направлен за чертеж. Число витков на единицу длины соленоида обозначим .

Индукция магнитного поля в точке А , расположенной на оси соленоида, определяется путем интегрирования магнитных полей, со­здаваемых каждым витком, и равна

где и — углы, образуемые с осью соленоида радиус-векто­рами и , проведенными из точки А к крайним виткам солено­ида, -магнитная проницаемость среды, магнитная постоянная.

Таким образом, магнитная индукция В прямо пропорциональна си­ле тока, магнитной проницаемости среды, заполняющей соленоид, и числу витков на единицу длины. Магнитная индукция также зависит от положения точки А относительно концов соленоида. Рассмотрим нес­колько частных случаев:

1. Пусть точка А находится в центре соленоида, тогда , и . Если соленоид достаточно длинный, то и (2)

2. Пусть точка A находится в центре крайнего витка, тогда , и . Если солено­ид достаточно длинный, то , и (3)

Из формул (2) и (3) видно, что магнитная индукция соленоида на его краю вдвое меньше по сравнению с ее величиной в центре.

3. Если длина соленоида во много раз больше радиуса его витков
("бесконечно" длинный соленоид), то для всех точек, лежащих внутри
соленоида на его оси, можно положить . Тогда
поле можно считать в центральной части соленоида однородным и рассчитывать его по формуле

Однородность магнитного поля нарушается вблизи краев соленоида. В этом случае индукцию можно определять по формуле

где k — коэффициент, учитывающий неоднородность поля.

Экспериментальное изучение магнитного поля соленоида в данной работе осуществляется с помощью специального зонда — маленькой катушки, укрепленной внутри штока с масштабной линейкой. Ось катуш­ки совпадает с осью соленоида, катушка подключается к милливольт­метру переменного тока, входное сопротивление которого много боль­ше сопротивления катушки-зонда. Если через соленоид идет перемен­ный ток стандартной частоты ( =50 Гц), то внутри соленоида и на его краях индукция переменного магнитного поля изменяется по закону (см. (5)):

Амплитуда магнитной индукции в этой формуле зависит от положения точки внутри соленоида. Если поместить в соленоид катуш­ку-зонд, то в соответствии с законом электромагнитной индукции, в ней возникает ЭДС индукции:

где N₁ — число витков в катушке, S — площадь поперечного сече­ния катушки, Ф — магнитный поток ( , т.к. ось катушки совпадает с осью соленоида и, следовательно, вектор магнитной ин­дукции перпендикулярен плоскости поперечного сечения катушки.).

Так как величина индукции B изменяется по закону , , то из (6) получается формула для расчета ЭДС:

Из выражения (7) видно, что амплитуда ЭДС зависит от . Таким образом, измеряя амплитуду ЭДС, можно определить :

Коэффициент k учитывающий неоднородность магнитного поля соленоида на краях, можно о определить., по формуле. (5), зная и :

где — амплитуда переменного тока, идущего через соленоид.

Из формул (7) и (9) следует, что амплитуда ЭДС индукции прямо пропорциональна амплитуде переменного тока :

Включенные в цепь переменного тока амперметр и милливольт­метр измеряют действующие значения тока и ЭДС , которые связаны с амплитудами и соотношениями:

Для действующих значений тока и ЭДС формула (10) имеет вид

Из формулы (11) следует, что отношение пропорциональ­но коэффициенту K неоднородности индукции магнитного поля в точке соленоида, где проводятся измерения

где А — коэффициент пропорциональности.

В данной работе требуется выполнить два задания: 1) опреде­лить распределение индукции вдоль оси соленоида при некотором постоянном значении тока; 2) определить значение коэффициента к.

1. Не подключают/ самостоятельно источник питания и милливольтметр к сети 220 В.

2. Не производить переключения цепей, находящихся под напряжением.

Не прикасаться к неизолированным частям цепей.

3. Не оставлять без присмотра включенную схему.

Порядок выполнения работы

Задание № 1. Исследование распределения индукции магнитного поля вдоль оси соленоида.

1. Собрать измерительную цепь по схеме, приведенной на рис. 3. Для этого в цепь соленоида включить источник питания и амперметр, а к выводам катушки — зонда — милливольтметр (для измерения ) В данной установке катушка-зонд имеет следующие параметры: =200 витков, S=2*10 -4 м 2 , частота переменного тока = 50 Гц, Число витков на единицу длины соленоида n = 2400 1/м

1- лабораторный стенд Z — шток «

3- соленоид
5- амперметр

6- источник питания с регулятором выход­ного напряжения (тока), 7- милливольтметр.

2. Установить шток с масштабной линейкой так, чтобы катушка-зонд оказалась примерно в середине соленоида.

3.Включить источник питания соленоида и установить ток соленоида (по амперметру), равный =25мА. Включить милливольтметр и после прогрева (5 мин) снять показания .

4.Перемещая шток с масштабной линейной, измерить при помощи
милливольтметра действующее значение ЭДС индукции через каждый
сантиметр положения линейки. По формуле (8) вычислить .
Результаты измерений и расчетов занести в таблицу 1 (учтите, что ).

№ п/п	Положение линейки-Х
…

Погрешность в каждой точке, соленоида определяется как систематическая погрешность косвенных измерений:

где м 2 , виток; =1 Гц; — погреш­ность измерения ; по милливольтметру.

6.Зная амплитуду тока и число витков на единицу
длины соленоида n, определить в центре соленоида по
формуле (4) и сравнить с измеренным в той же точке значением

Задание 2. Измерение коэффициента неоднородности’ магнитного
поля соленоида.

1. Снять зависимость для данного соленоида. Дня этого установить шток в положение, когда катушка-зонд находится у края соленоидами, изменяя действующее значение тока соленоида с помощью источника питания, снять значения и и занести в таблицу 2.

Измерения

…

По формуле (12) рассчитать , где

1. Сформулируйте закон электромагнитной индукции.

2. Нарисуйте картину силовых линий соленоида.

3. Перечислите основные способы исследования магнитного поля.

4. В каких случаях для исследования магнитного поля можно исполь­зовать катушку-зонд?

5. Выведите формулу для вектора магнитной индукции бесконечно длинного соленоида.

Расчет соленоида минимальной длины с заданной однородностью магнитного поля Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Похожие темы научных работ по электротехнике, электронной технике, информационным технологиям , автор научной работы — Скребкова Д. Е., Вечёркин М. В., Аркулис М. Б.

Текст научной работы на тему «Расчет соленоида минимальной длины с заданной однородностью магнитного поля»

Скребкова Д.Е., Вечёркин М.В., Аркулис М.Б. (Магнитогорский государственный технический университет им. Г.И. Носова skrebkova_darya@mail.ru)

РАСЧЕТ СОЛЕНОИДА МИНИМАЛЬНОЙ ДЛИНЫ С ЗАДАННОЙ ОДНОРОДНОСТЬЮ МАГНИТНОГО ПОЛЯ

Актуальной задачей является создание компактных переносных магнитных дефектоскопов, позволяющих осуществлять оперативный контроль качества материалов и изделий в условиях промышленного производства. Габариты магнитных дефектоскопов во многом определяют размеры соленоида (рис. 1). Назначение соленоида — обеспечить намагничивания и размагничивания изделий.

При проектировании и расчете необходимо обеспечить заданные характеристики магнитного поля при минимальных размерах соленоида. Такими характеристиками являются: напряженность магнитного поля и относительное значение неоднородности:

где Hmax — максимальное значение напряженности магнитного поля

в соленоиде, H — напряженность магнитного поля в произвольной точке А на оси симметрии соленоида.

Магнитное поле считается однородным при s < 2% . Значение напряженности поля в произвольной точке А на оси соленоида определяется выражением:

где п — число витков, риваемой точки.

Выражение (1) дает достаточную точность при условии, что толщина провода много меньше радиуса соленоида:

На практике для намотки соленоида рационально пользоваться медным проводом диаметром 1 мм. При использовании такого провода и намотке «виток к витку» соленоид по условиям нагрева длительно выдерживает ток до 6 А, кратковременно — до 12 А. Таких значений силы тока достаточно для решения большинства задач магнитной дефектоскопии.

На рис. 2 показано распределение напряженности вдоль оси х соленоида радиусом И=15 мм для различных значений числа витков. Поле симметрично относительно оси у, поэтому на графиках показано распределение поля только в правой половине соленоида.

Рис. 2 Поле на оси соленоида при токе I =7 А в зависимости от числа витков

Графики на рис. 3 иллюстрируют влияние силы тока на значение напряженности магнитного поля для соленоида с фиксированным числом витков.

Рис. 3 Поле на оси соленоида при числе виток п = 300 в зависимости от силы тока

Из анализа выражения (1) и приведенных на рис. 2 и 3 графиков очевидны следующие выводы:

1. Максимальное значение напряженности поля определяется током и числом витков соленоида.

2. Величина зоны однородности не зависит от тока и определяется только геометрическими параметрами соленоида — радиусом Я и длиной I (или числом витков п ).

Сила тока, в значительной степени определяющая значение Нтах ,

является легко регулируемым в широком диапазоне параметром. Поэтому наибольший интерес представляет исследование величины зоны однородности в зависимости от длины соленоида.

Для минимизации размеров соленоида необходимо определить минимальное число витков обмотки, необходимое для создания однородного поля заданной протяженности.

Исходными данными для решения этой задачи являются значение максимальной напряженности Нтах и радиус Я соленоида. Первый параметр определяет возможность намагничивания деталей до насыщения, а второй — их максимальный поперечный размер.

На рис. 4 приведено распределение поля по длине соленоида при постоянном Нтах и различных токах, определяющих это значение напряженности при разном числе витков.

7000 6000 5000 2 4000

3000 2000 1000 0

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25

Рис. 4 Поле на оси соленоида при Нтах=7000 А/м при различном числе витков

Зная длину соленоида и определив для него величину зоны однородности (по графику или аналитически) можно получить зависимость этих параметров друг от друга.

0 50 100 150 200 250 300 350 400

Рис. 5 Зависимость длины соленоида от величины зоны однородности

На рис. 5 приведена такая зависимость для допустимой неоднородности поля £=2%. Начиная от некоторого значения, график имеет выраженный линейный характер.

Следует отметить, что аналогичный линейный участок имеют графики, построенные и при других значениях радиуса соленоида. Во всех случаях линейный участок начинается при достижении условия:

где Lmin — минимально допустимая длина соленоида для данного радиуса.

Уравнение прямой имеет вид:

L = 0,98 • 1одн +110, (4)

где /одн — длина зоны однородности в мм.

Конструировать соленоиды с длиной менее Lmin нерационально.

Анализируя полученные результаты, можно рекомендовать следующую последовательность расчета соленоида:

1. Задать радиус соленоида R исходя из максимальных поперечных размеров намагничиваемых деталей.

2. Определить максимальное значение Hmax исходя из материала намагничиваемых деталей. Оценить диапазон силы тока, обеспечивающего данное значение Hmax .

3. Выбрать радиус провода r с учетом условия (2) и допустимой нагрузкой по току.

4. Задаться максимальной длиной /max намагничиваемых деталей. Если /max < 13,4R, длина соленоида определяется выражением (3). Если /max > 13,4R, длину соленоида необходимо рассчитать по выражению (4).

5. Рассчитать число витков соленоида по формуле n = —

Приведенная практическая методика позволяет рассчитать соленоид с заданным значением неоднородности магнитного поля, имеющего минимальные размеры.

1. Средства измерений параметров магнитного поля / Ю.В. Афанасьев, Н.В. Студенцов, В.Н. Хорев, Е.Н. Чечурина, А.П. Щелкин. — Л.: Энергия. Ленингр. отд., 1979.

Расчет индукции магнитного поля на оси соленоида

Будем рассматривать соленоид как совокупность узких колец с током. Одно из таких колец показано на рис. 6.10. Положение этого кольца определяется координатой ?, которая изменяется в пределах от 0 до /, а его ширина равна d?. Так как рассматриваемое кольцо содержит nd? витков, круговой ток, текущий по кольцу, имеет силу

Этот ток создает магнитное поле, индукцию dB которого в произвольной точке Р на оси соленоида можно найти по формуле (6.24):

х — координата точки Р.

Для вычисления этого интеграла удобно ввести новую переменную интегрирования угол 0. Как видно из рис. 6.10, угол в таков, что

Индукция В магнитного поля, создаваемого в точке Р всеми витками соленоида, в силу принципа суперпозиции равна интегралу от выражения (6.27):

Продифференцировав равенство (6.30) при х = const, получим

Подстановка выражений (6.29) и (6.31) под знак интеграла в формуле

(6.28) дает

где 0 и 9п — наибольшее и наименьшее значения угла в, зависящие от положения точки Р на оси соленоида. Интегрирование по формуле Ньютона — Лейбница приводит к выражению

Выразим cosfli и cos О? через х для значений х, удовлетворяющих неравенству

т.е. аля точек, лежащих на оси х внутри соленоида. Из построений на рис. 6.11 найдем, что

Эта формула дает следующие значения магнитной индукции на торцах соленоида и в его середине:

где D = 2а — диаметр соленоида.

Рис. 6.11. К вычислению магнитной индукции поля в соленоиде

Нетрудно убедиться в том, что формула (6.33) справедлива для всех точек на оси соленоида. Согласно этой формуле магнитная индукция монотонно убывает до нуля при |я| —? оо. График зависимости В = B(x)_t определяемый формулой (6.33), изображен на рис. 6.12. Интересно отметить, что при / —? оо формула для магнитной В(1/2) индукции в середине соленоида переходит в полученное ранее выражение В = Цо I п для магнитной индукции внутри бесконечного соленоида.

Рис 6.12. Магнитная индукция на оси соленоида

Магнитное поле, создаваемое отрезком прямого провода, обладает осевой симметрией. При этом его силовыми линиями будут окружности, центры которых лежат на оси симметрии. Одна из силовых линий показана на рис. 6.13. Найдем магнитную индукцию поля, создаваемого отрезком прямого провода. Для этого применим закон Био — Савара — Лапласа (6.1).

Векторные элементы dl различных участков провода и соответствующие им векторы R , заканчивающиеся в произвольной точке Р пространства, лежат в плоскости, которая содержит в себе эту точку и провод. Поэтому согласно определению векторного произведения все векторы dB магнитной индукции полей, создаваемых в точке Р различными элементами dl провода, коллинеарны. Вследствие этого модуль В вектора В равен сумме модулей векторов dB :

где а — угол между векторами dl и R ; dl — модуль вектора dl .

Рис. 6.18. К расчету индукции магнитного поля отрезка тока

Из треугольника АЛ’Р на рис. 6.13 найдем, что расстояние R от точки А до точки Р и расстояние / от точки А до точки А’ таковы, что

Подстановка этих выражений в формулу (6.35) преобразует ее к виду

Найдем модуль В вектора В по формуле (6.34):

где а и «2 — значения угла о, соответствующие концам рассматриваемого отрезка провода. Интегрирование по формуле Ньютона — Лейбница приводит к выражению