Дискретные структуры: матан для айтишников
Посмотришь на любую программу обучения по IT-специальности, и тут же увидишь дисциплину «Дискретная математика» (возможно, под другим названием), обычно для перво- или второкурсников. И её наличие вполне разумно, поскольку дискретная математика и непрерывная математика (представленная на первом курсе институтов с незапамятных времён математическим анализом) — две грани единой Математики, — красивой, могучей науки.
Хотя раньше такого понятия, как «дискретная математика» вовсе не было, это не значит, что не возникало дискретных задач: Абель, Дирихле, Фибоначчи, Эйлер, чьи имена возникают по ходу изучения дискретной математики, — отнюдь не наши современники! Но просто в те времена для выделения самостоятельной ветви математики ещё не сложилось критической массы задач и приёмов, не было видно взаимосвязей между ними. А большое количество плодотворных взаимосвязей между, на первый взгляд, различными понятиями, — то, что математики в своей науке очень ценят.
Ну хорошо, математикам всё математическое интересно. А зачем дискретная математика программисту?
Зачем это айтишнику
Во-первых, многие идеи, которые особенно ярко иллюстрируются на дискретных задачах, неотъемлемы и для информатики. Взять, хотя бы, фундаментальные понятия рекурсии и индукции.
Рекурсия — это, дословно, возврат, обращение к самому себе. Хорошо известные вездесущие числа Фибоначчи проще всего определяются рекурсивно: первые два числа Фибоначчи равны единице, а каждое следующее число равно сумме двух своих предшественников: 1,1,2,3,5,8,… Таким образом, для вычисления очередного числа мы обращаемся к уже рассчитанным числам такого же вида. Трудно представить, как можно изучить функциональное программирование, да и многое из других областей информатики, не освоившись хорошо с рекурсией. Очень близкий процесс к рекурсии — это индукция, способ доказательства математических утверждений, при котором в доказательстве сложных случаев мы опираемся на более простые. Параллели с рекурсией очевидны, и действительно, обычное дело, когда индуктивное доказательство существования какого-то объекта можно переформулировать в описание рекурсивного способа построения этого объекта.
Раз речь зашла о таких фундаментальных вещах, как индукция и рекурсия, не могу не сказать, что многие приёмы, которые очень хорошо видны на примерах из дискретной математики, эффективны в математике в целом. Это не только индукция, но и принцип Дирихле, принцип выбора по среднему значению и другие.
Следующий элемент, без которого информатику нельзя представить — это графы. Простейшие алгоритмы на графах обязательно входят в любой, даже самый вводный, курс по алгоритмам. Скажем, с понятием гамильтонова цикла связана одна из классических задач информатики, задача коммивояжёра.
Ещё одно архиважное умение — считать точно и оценивать приблизительно количества. Например, как вычислить количество раз, которые выполняется операция сравнения в цикле:
Или вот ещё пример. Нужно из списка из 100 товаров выбрать 20, так, чтобы их суммарная стоимость была ровно 2000 рублей («без сдачи»). Это вариант классической задачи о рюкзаке. Допустим, ваш коллега, подумав ночь, предложил решать задачу перебором: перебрать всевозможные наборы из двадцати товаров, и, как только в ходе перебора возникнет нужный набор, выдать его в качестве ответа. Между прочим, характеристика «переборный» далеко не всегда ставит клеймо на алгоритме. Всё зависит от размера входных данных. Так вот, как прикинуть, удастся ли за разумное время решить перебором эту задачу выбора 20 объектов из 100?
Наконец, для современного «дизайнера алгоритмов» обязателен к пониманию и вероятностный метод. Это общий метод, позволяющей решать многие задачи в современной комбинаторике. Очень часто наилучшие решения задач, известные на сегодняшний день, получены именно этим методом. Для практика же овладение этим методом полезно постольку, поскольку вероятностные алгоритмы прочно заняли место в современной информатике. И при анализе работы таких алгоритмов очень помогает интуиция, развитая в ходе изучения вероятностного метода.
Онлайн-курс «Дискретные структуры»
С верой в то, что перечисленные понятия из дискретной математики действительно не помешают любому программисту, а, скорее, помешает их незнание, я читаю соответствующий курс на факультете ФИВТ МФТИ. А недавно у меня появилась возможность сделать онлайн-курс, чем я с радостью воспользовался. Записаться на него можно по ссылке. Главное, чего я пожелаю всем записавшимся: не побоявшись трудностей, пройти курс до самого конца, и получить заслуженное звание Дипломированного Дискретчика. В общем, чтобы MOOC прошёл без мук и обогатил знаниями! Да и собственная корысть у меня тут тоже есть: чем больше онлайн-учеников у меня будет, тем большему я смогу научиться, читая обсуждения и наблюдая статистику решения задач. Ведь учиться учить тоже никогда не поздно!
Какие знания потребуются
Для прохождения первых двух модулей потребуются только школьные знания. Третий модуль потребует знание основ математического анализа на уровне «что такое предел» и «какая из функций x 20 или 2 x растёт быстрее (чему равны производные функций)». Для последних трёх модулей понадобится представление о том, что такое вероятность, условная вероятность, математическое ожидание, дисперсия. Также хорошо бы знать, что такое базис и размерность линейного пространства. Если с вероятностью и линейной алгеброй вы не знакомы, можно записаться заодно на эти вводные курсы. Тогда как раз, к моменту, когда нам потребуются эти знания, они у вас будут.
Post scriptum
Меня можно было бы упрекнуть в конфликте интересов, всё-таки я математик, и, естественно, хочу приобщить к своей секте как можно больше завсегдатаев Хабра. В своё оправдание могу сослаться на этот ответ на Quora. Под большей частью тем, перечисленных в этом ответе, я готов лично подписаться, в онлайн-курс многие из них вошли. Ещё сошлюсь на подборку мнений яндексоидов.
Дискретность в физике и математике. Лекция. Катющи
Дискретный простыми словами – прерывный, разделенный, зернистый, отдельный
— свойство, противопоставляемое непрерывности.
В принципе сам вопрос пустяковый — практически мелочь. Но если вы эту мелочь поймёте — вы сможете понимать физику.
Без понимания принципов дискретности такие вопросы как поле, эфир, физическое взаимодействие попадают в разряд труднодоступных к восприятию.
Визуально дискретность выглядит следующим образом:
Сверху на схеме изображено «прерывное» (дискретное), имеющее границу раздела.
Снизу изображено непрерывное (недискретное) как бы все просто.
Каждый способен отличить прерывное от непрерывного.
Но если смотреть глубже, то дискретность можно разделить на наружную и внутреннюю.
И гранат например имеет внутреннюю дискретность (состоит из отдельных зёрен), а так же сам может быть рассмотрен как отдельное зерно. На своей поверхности гранат прервался и дальше уже не гранат.
И когда мы например, говорим: «Маша мыла раму», мы должны четко понимать, что Маша так же имеет наружную дискретность – то есть: имеет самостоятельный внешний контур – является самостоятельным объектом.
Так же Маша имеет внутреннюю дискретность – состоит из клеточек. И швабра у Маши так же имеет и внешнюю и внутреннюю дискретность.
И здесь тоже все просто.
Но есть определенные подробности и у многих людей с недискретным, с непрерывным возникают трудности. Попробуем пояснить почему.
Представьте человека, который вырос в глухой степи и по случайному стечению обстоятельств ему никто не рассказал про экскаватор.
Степь глухая. Экскаваторов нет. Только суслики везде. Посмотрел направо – суслик. Посмотрел налево – суслик. Положил бутерброд – его утащил суслик. Даже шапка на голове из сусликов.
И человек не задумывается, что кто-либо кроме сусликов может рыть в земле норы.
Для такого человека, наблюдаемая картина мира прекрасно сочетается с сусликом, но не очень сочетается с экскаватором. И у такого человека на все случаи есть привычная пушистая причина.
И вот однажды человек выбирается во внешний мир, стоит на краю кимберлитовой трубки (здоровучая такая яма — карьер в земле где добывают алмазы).
И единственное что у него в голове срабатывает:
— Это какие же здесь суслики водятся, что они такую яму вырыли.
И есть вполне конкретные типы задач, который в определенном смысле навязывает воображаемого кимберлитового суслика.
В этом списке и задача на дискретность.
Все, что человек видит в своей повседневной жизни непрерывно только от сих и до сих, а дальше оно заканчивается, а значит оно в наружном смысле дискретно, конечно — является самостоятельным объектом.
И жизненный опыт подсказывает, что какая бы большая не была эта штука — она где ни будь заканчивается. У любого суслика есть начало и конец — наружная, внешняя дискретность, наличие собственных границ объекта.
И опять же накладываются представления, что все что нас окружает – состоит из атомов, имеет корпускулярную сущность.
Корпускула – это частичка материи и это опять же проявление дискретности (прерывности).
внутренней дискретности — наличия отдельных составных частей.
И человеку психологически трудно воспринимать, что-либо фундаментально непрерывное.
Например, стена её можно пощупать и мы воспринимаем её относительную непрерывность, но жизненный опыт показывает, что у этой непрерывности должен быть внешний край, конец, а значит и стена какая бы длинная она не была в конечном итоге дискретна ( и сама по себе это тоже отдельный элемент). То есть непрерывность (на примере стены) конечна – имеет место наружная дискретность, наружная прерывность.
Кроме того, есть еще забавы типа блуждания по кольцу. В определенном смысле — пример непрерывности. Здесь практически никто не путается, потому что кольцо мы опять же можем осмотреть со всех сторон, о внутренней дискретности мы в этот момент не думаем, и не задумываемся о внешней дискретности, что кольцо это тоже конечный объект имеющий наружные габариты. То есть в качестве непрерывности выступает путь, а не сам объект имеющий отверстие.
В случаях же когда сам объект не осматривается, не «прощупывается» не осязается привычным для нас образом (нельзя помять в пальцах), – у человека начинаются трудности с восприятием и тогда для осознания требуется дополнение в форме мыслительного продукта.
Во многом такие дискретные представления справедливы по отношению к веществу, но не все что нас окружает является веществом.
Не срабатывают привычные дискретные представления в довольно редких случаях –
Первый пример полной безусловной непрерывности это пространство.
Пространство непрерывно во всех направлениях. По всей своей протяженности оно нигде не обрывается. Пространство не имеет ни внутренней ни наружной дискретности. У пространства нет ни внешних границ, ни внутренних составляющих отдельных частичек.
Применительно к пространству необходимо осознавать, что через перемещение вашей руки вы фиксируете пространственную протяженность.
И пока вы перемещаете руку в пространстве, движение не прерывается.
Пространство не исчезает ни в один из моментов движения.
Не появляется конец пространства.
Но человек об этом практически никогда не задумывается, потому что пространства в принципе не видно.
И в психологическом плане некоторым людям комфортней думать, что пространства как бы и нет вовсе, и пространство это что-то типа абстракции (хотя в реальности пространство это физический объект).
И в такие моменты осознать, что пространство непрерывно получается не у всех.
И ряд людей, сами не понимая почему — делают выбор в пользу дискретного решения.
Человеку просто кажется, что и применительно к пространству должны быть какие-то дискретные штуки.
Почему дискретные?
Да хотя бы потому, что на шкуре у суслика каждый волосок растёт отдельно.
Бывают и особые случаи, когда у некоторых людей сочетается несочетаемое — когда пространства в их представлениях нет в принципе (это абстракция), но при этом пространство дискретно.
То есть та штука, которой нет — она прерывна.
Этакая прерывная но отсутствующая нихрена.
И такие представления имеет довольно много людей и некоторые из них пишут учебники.
Применительно к пространству, необходимо четко понимать, что пространство это реальный объект, оно нематериально и присущая ему непрерывность отличается от непрерывности вещественной, присущей осязаемой материи.
И на схеме мы можем для наглядности обозначить эту непрерывность отдельной позицией.
На схеме, позиция №3 будет обозначать непрерывную протяженность (присущую пространству), непрерывную нематериальность.
Итого на схеме
позиция №1
— Наружная дискретность — присуща материи разделенной на отдельные фрагменты (материя имеющая внешние границы).
Позиция № 2
— внутренняя дискретность в рамках некой общей непрерывности
— присуща материи имеющей общую протяженную вещественную непрерывность, и внутреннее дискретное строение в форме отдельных элементов.
В эту категорию попадают все объекты состоящие из вещества, которые внешне воспринимаются как непрерывные, но по своей структуре состоят из более мелких частей.
Позиция № 3
непрерывность нематериальная (присущая пространству) не имеющая внутренней структуры (внутренней дискретности).
И пространство, тот самый объект — осязаемый через перемещение, конкретный пример непрерывности с которым человек постоянно сталкивается в жизни.
Следующая позиция №4
Непрерывность материальная, но не вещественная.
Что у нас в природе вообще есть материальное, но не вещественное?
И что материальное может быть фундаментально непрерывным?
И в физике такая непрерывность известна как физическое поле.
Кто забыл, напомним:
Физическое поле материально, но не вещественно.
Согласно определения:
Поле – особый не обладающий массой вид материи, представляет собой непрерывный объект, расположенный в пространстве, в каждой точке которого на частицу действуют определенные по величине и направлению уравновешенные либо неуравновешенные силы.
В рамках физической концепции вещество и поле традиционно противопоставлялись друг другу, как два вида материи, у первого из которых структура дискретна, а у второго — непрерывна.
И опять же воспринять непрерывное (применительно к полю) получается не у всех.
В такие моменты кое у кого возникают суровые кимберлитовые суслики.
И применительно к полю ряд людей вновь, сами не понимая почему – готовы сделать выбор в пользу дискретного решения.
Человеку просто кажется, что и в этом случае неизменно должны быть какие-то дискретные штуки.
В этих случаях помочь не всегда возможно, но на всякий случай сообщаем.
Справочно:
Кимберлитовые суслики не внесены в красную книгу
не находятся под защитой здравого смысла и их можно смело утилизировать.
Для остальных просто напомним, что поле не имеет массы, не имеет вещественности. У поля нет той самой штуки которая может обеспечить внутреннюю дискретность.
Так же у поля нет наружной дискретности. Потому что поле не ограничивается с расстоянием.
И это мы можем наглядно продемонстрировать через график распределения поля в пространстве.
Если мы расположим в пространстве некий единичный источник воздействия, и окружим его некой сферой, то с расширением этой сферы её площадь будет увеличиваться и следовательно будет уменьшаться доля воздействия выпадающая на единицу площади этой сферы.
Формульно это выражается через площадь поверхности сферы
А поскольку речь идет о рассеивании единичного воздействия на поверхность сферы то мы имеем единицу деленную на площадь поверхности сферы, то есть
данное распределение воздействия соответствует приведенному графику.
Если мы раширяем сферу — воздействие на её внутреннюю поверхность, а значит и конечная сила — уменьшается. И это видно на графике (движение вправо соответствует расширению сферы /удалению от источника воздействия).
Как бы далеко мы нашу сферу не раздвигали сила будет с удалением только уменьшаться, стремиться к нулю, но никогда через этот ноль не перейдет и не обнулится.
И в связи с эти мы должны понимать, что даже поле от маленького комаринного магнитика распространяется бесконечно далеко и не имеет внешних границ.
При этом по мере удаления потенциал поля стремится к нулю но никогда через этот нуль не переходит.
Итого применительно к физике мы можем выделить 4 вида дискретных и недискретных состояний.
позиция №1
— Наружная дискретность. Присуща материи разделенной на отдельные фрагменты. Материя имеющая внешние границы.
Позиция № 2
— внутренняя дискретность в рамках некой непрерывности
— присуща материи имеющей общую протяженную вещественную непрерывность, и внутреннее дискретное строение в форме отдельных элементов.
В эту категорию попадают все объекты состоящие из вещества, которые внешне воспринимаются как непрерывные, но по своей структуре состоят из более мелких частей.
Позиция № 3
непрерывность нематериальная (присущая пространству) не имеющая внутренней структуры (внутренней дискретности).
позиция №4
Непрерывность материальная невещественная (присущая физическому полю).
Данные четыре позиции желательно твёрдо запомнить. Это облегчит понимание физики в целом.
Собственно всё.
С вами был Виктор Катющик.
Подписывайтесь на видеоканал.
Следите за нашими публикациями.
Прочитал несколько ваших статей. Вы показываете хороший пример синтетического способа мышления,синтетической логики. Обычно(физика,математика,естесвенно-научные дисциплины) строятся строго по принипу индуктивного мышления,в философии мы можем увидеть примеры смешанного дедуктивного и индуктивного мышления.но редко кому удается использовать для обьяснения картины мира принципы синтетической логики. В рамках физики вам удалось это хорошо,например,когда вы говорите.что отрицательных значений в математике и физике не должно быть,что гравитация это две положительные силы,а не одна отриательная ,а другая положительная. Но что касается вашей трактовке Бога как ,одновременно,единости и триединости ваша логика захромала и вы попали в *сусликовую яму*.
Портал Проза.ру предоставляет авторам возможность свободной публикации своих литературных произведений в сети Интернет на основании пользовательского договора. Все авторские права на произведения принадлежат авторам и охраняются законом. Перепечатка произведений возможна только с согласия его автора, к которому вы можете обратиться на его авторской странице. Ответственность за тексты произведений авторы несут самостоятельно на основании правил публикации и законодательства Российской Федерации. Данные пользователей обрабатываются на основании Политики обработки персональных данных. Вы также можете посмотреть более подробную информацию о портале и связаться с администрацией.
Ежедневная аудитория портала Проза.ру – порядка 100 тысяч посетителей, которые в общей сумме просматривают более полумиллиона страниц по данным счетчика посещаемости, который расположен справа от этого текста. В каждой графе указано по две цифры: количество просмотров и количество посетителей.
© Все права принадлежат авторам, 2000-2022. Портал работает под эгидой Российского союза писателей. 18+
Дискретность
Дискре́тность (от лат. discretus — разделённый, прерывистый) — свойство, противопоставляемое непрерывности, прерывность. Дискретность — всеобщее свойство материи. Под дискретностью понимают:
- Нечто, изменяющееся между несколькими различными стабильными состояниями подобно выключателю, который может быть либо включён, либо выключен.
- Нечто, состоящее из отдельных частей, прерывистость, дробность. Например, дискретный спектр, дискретные структуры, дискретные сообщения.
Области применения
Понятие дискретности применяется в следующих областях:
- — дискретным называется счётное множество, эта концепция также важна в комбинаторике и теории вероятностей. — дискретным называется множество, состоящее лишь из изолированных точек. — дискретный означает «имеющий раздельные электронные компоненты», например, отдельные резисторы и индукторы. Это противопоставляется интегральным микросхемам. и обработка сигналов — дискретный сигнал.
- В музыке дискретная высота звука — имеющая постоянную частоту, не плавающая, скользящая (глиссандо и портаменто).
См. также
- Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.
- Дополнить статью (статья слишком короткая либо содержит лишь словарное определение).
- Философия математики
Wikimedia Foundation . 2010 .
Полезное
Смотреть что такое «Дискретность» в других словарях:
дискретность — и, ж. discret. 1. устар. Сдержанность, молчаливость. Прошло несколько недель, прежде чем мне удалось убедить моих подозрительных менторов в моей полной дискретности с первого момента. А. Романов Кн. восп. 69. Блестящие способности, врожденная… … Исторический словарь галлицизмов русского языка
дискретность — раздельность, целочисленность, прерывистость Словарь русских синонимов. дискретность сущ., кол во синонимов: 5 • дробность (9) • … Словарь синонимов
ДИСКРЕТНОСТЬ — противоположность непрерывности; в физике и химии Д. означает зернистость строения материи, её атомистичность, напр. дискретность уровней энергии электрона … Большая политехническая энциклопедия
ДИСКРЕТНОСТЬ — (от латинского discretus разделенный, прерывистый), прерывность; противопоставляется непрерывности. Например, дискретное изменение какой либо величины во времени изменение, происходящее через некоторые промежутки времени (скачками) … Современная энциклопедия
ДИСКРЕТНОСТЬ — (от лат. discretus разделенный прерывистый), прерывность; противопоставляется непрерывности. Напр., дискретное изменение какой либо величины во времени изменение, происходящее через некоторые промежутки времени (скачками). См. также Прерывность и … Большой Энциклопедический словарь
дискретность — ДИСКРЕТНЫЙ, ая, ое; тен, тна (книжн.). Раздельный, состоящий из отдельных частей. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова
ДИСКРЕТНОСТЬ — (от лат. discretus разделённый, прерывистый), прерывность; противопоставляется непрерывности. Напр., дискретное изменение к. л. величины во времени это изменение, происходящее через определ. промежутки времени (скачками). Д. означает… … Философская энциклопедия
ДИСКРЕТНОСТЬ — [англ. discrete Словарь иностранных слов русского языка
ДИСКРЕТНОСТЬ — (от лат. discretus разделенный, прерывистый) англ. discreteness; нем. Diskretheit. Свойство предметов, явлений и процессов, характеризующихся прерывностью неделимых единиц, их скачкообразными изменениями во времени. Antinazi. Энциклопедия… … Энциклопедия социологии
Дискретность — [discretion] прерывность. Например, изменение экономических показателей во времени всегда имеет прерывный характер, поскольку происходит скачками от одной даты (года, месяца и т.д.) к другой. Понятие Д. противопоставляется понятию непрерывности.… … Экономико-математический словарь
ДИСКРЕТНОСТЬ — (от латинского discretus разделенный, прерывистый) Свойство, противопоставляемое непрерывности, прерывность. Под дискретностью понимают: Нечто, изменяющиеся между несколькими различными стабильными состояниями подобно выключателю, который может… … Словарь бизнес-терминов
Дискретность
- Дискре́тность (от лат. discretus — разделённый, прерывистый) — свойство, противопоставляемое непрерывности, прерывность. Дискретность — всеобщее свойство материи, под дискретностью понимают:
Нечто, изменяющееся между несколькими различными стабильными состояниями, например, секундная стрелка в механических часах, которая передвигает минутную стрелку дискретно (скачкообразно) на 1/60 часть окружности
Связанные понятия
Упоминания в литературе
Связанные понятия (продолжение)
Эта статья о физическом понятии. О более общем значении термина, см. статью СкалярСкалярная величина (от лат. scalaris — ступенчатый) в физике — величина, каждое значение которой может быть выражено одним действительным числом. То есть скалярная величина определяется только значением, в отличие от вектора, который кроме значения имеет направление. К скалярным величинам относятся длина, площадь, время, температура и т. д.Скалярная величина, или скаляр согласно математическому энциклопедическому словарю.
Статистическим ансамблем физической системы называется набор всевозможных состояний данной системы, отвечающих определённым критериям. Примерами статистического ансамбля являются.