Циркуляция вектора В для магнитного поля в вакууме
где dl — вектор элементарной длины контура, направленной вдоль обхода контура, В1=Вcosa — составляющая вектора В в направлении касательной к контуру (с учетом выбранного направления обхода), а — угол между векторами В и dl.
Закон полного тока для магнитного поля в вакууме (теорема о циркуляции вектора В):циркуляция вектора В по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной m0 на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром:
где n — число проводников с токами, охватываемых контуром L произвольной формы. Каждый ток учитывается столько раз, сколько раз он охватывается контуром. Положительным считается ток, направление которого связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта; ток противоположного направления считается отрицательным. Например, для системы токов, изображенных на рис. 173,
Выражение (118.1) справедливо только для поля в вакууме, поскольку, как будет показано ниже, для поля в веществе необходимо учитывать молекулярные токи.
Продемонстрируем справедливость теоремы о циркуляции вектора В на при-
мере магнитного поля прямого тока I, перпендикулярного плоскости чертежа и направленного к нам (рис. 174). Представим себе замкнутый контур в виде окружности радиуса r. В каждой точке этого контура вектор В одинаков по модулю и направлен по касательной к окружности (она является и линией магнитной индукции). Следовательно, циркуляция вектора В равна
Согласно выражению (118.1), получим В•2pr=m0I (в вакууме), откуда
Таким образом, исходя из теоремы о циркуляции вектора В получили выражение для магнитной индукции поля прямого тока, выведенное выше (см. (110.5)).
Сравнивая выражения (83.3) и (118.1) для циркуляции векторов Е и В, видим, что между ними существует принципиальное различие. Циркуляция вектора Е электростатического поля всегда равна нулю, т. е. электростатическое поле является потенциальным. Циркуляция вектора В магнитного поля не равна нулю. Такое поле называется вихревым.
Теорема о циркуляции вектора В имеет в учении о магнитном поле такое же значение, как теорема Гаусса в электростатике, так как позволяет находить магнитную индукцию поля без применения закона Био — Савара — Лапласа.
Какой вывод можно сделать сравнивая циркуляцию векторов e и b
Вопросы к читателю. Упражнения
1. Как, пользуясь магнитной стрелкой, можно определить знаки по-
люсов источников постоянного тока?
2. Чему равен и как направлен магнитный момент рамки с током?
3. Что называют индукцией магнитного поля? Каково направление
вектора B ? Нарисуйте и покажите, как ориентированы линии магнитной
индукции поля прямого тока?
4. Записав закон Био–Савара–Лапласа, объясните его физический
смысл.
5. Рассчитайте, применяя закон Био–Савара–Лапласа, магнитное
поле: 1) прямого тока; 2) в центре кругового проводника с током.
6. Какой вывод можно сделать, сравнивая циркуляцию векторов E
и B?
7. Какая теорема доказывает вихревой характер магнитного поля?
Как она формулируется?
8. Почему магнитное поле является вихревым?
9. Используя теорему о циркуляции вектора магнитной индукции B
, рассчитайте магнитное поле тороида.
10. Что называют потоком вектора магнитной индукции? Запишите
теорему Гаусса для магнитного поля, объяснив ее физический смысл.
11. Какая физическая величина выражается в веберах? Дайте опре-
деление вебера.
12. В магнитном поле с индукцией B поместили две параллельные
металлические пластины, расстояние между которыми равно d. Поток
электронов со скоростью v между пластинами движется прямолинейно
параллельно плоскости пластин. Какова разность потенциалов между
пластинами?
13. Какими магнитными свойствами может обладать вещество из
атомов с нечетным числом электронов в оболочке в газообразном состо-
янии?
14. Рамка гальвонометра площадью 6 см 2, содержащая 200 витков
тонкой проволоки, находятся в магнитном поле с индукцией 0,01 Тл.
Плоскость рамки параллельна линиям магнитной индукции. Если по вит-
кам рамки протекает ток силой 100 мА, то максимальный вращающий
момент, действующий на рамку, равен:
15. Проводник массой 10 г и длиной 20 см подвешен в горизонталь-
ном положении в вертикальном магнитном поле с индукцией 0,25 Тл. На
какой угол (в градусах) от вертикали отклонятся нити, на которых подве-
шен проводник, если по нему пропустить ток силой 2 А? Массой нитей
пренебречь.
Закон Био-Савара. Теорема о циркуляции
Французские ученые Ж. Био и Ф. Савар в 1820 -м году проводили эксперименты над магнитным полем постоянных токов. Физики доказали, что индукция магнитного поля проходящих по проводнику токов зависит от совместного действия всех участков данного проводника. Работа магнитного поля основана на принципе суперпозиции.
Принцип суперпозиции: если магнитное поле работает за счет нескольких проводников с током, тогда индукция результативного поля – это совокупность индукций полей, которые создаются каждым проводником по отдельности.
Индукция B → проводника с током представлена, как векторная сумма элементарных индукций ∆ B → вырабатываемых отдельными участками проводника. На практике нельзя отделить один участок проводника с током, поскольку постоянные токи всегда замкнутые. Возможно лишь измерить совокупную индукцию магнитного поля, которое создают все элементы тока. Как найти индукцию магнитного поля?
Закон Био–Савара
Закон Био-Савара определил вклад ∆ B → в магнитную индукцию B → результативного магнитного поля, образуемый маленьким участком Δ l проводника с током I .
∆ B = μ 0 · I · ∆ l · sin α 4 π r 2 .
В формуле r – это расстояние от заданного участка Δ l до точки наблюдения, α – это угол между направлением на точку наблюдения и направлением тока на заданном участке, μ 0 – это магнитная постоянная.
Используя правило буравчика, определим направление вектора ∆ B → : оно указывает на ту сторону, в которую вращается рукоятка буравчика при его поступательном движении вдоль тока. Рисунок 1 . 17 . 1 наглядно показывает закон Био-Савара с применением магнитного поля прямолинейного проводника с током. Если сложить (интегрировать) вклады в магнитное поле всех участков проводника с током, тогда получим формулу для магнитной индукции поля прямого тока:
Рисунок 1 . 17 . 1 . Иллюстрация закона Био–Савара.
С помощью этого закона можно определять магнитные поля токов с различными конфигурациями. Запросто рассчитать магнитное поле в центре кругового витка с током. Вычисления приводят к соотношению:
где R – это радиус кругового проводника.
Чтобы определить направление вектора B → тоже используется правило буравчика, только в этом случае рукоятка вращается по направлению кругового тока, а поступательное движение буравчика указывает, куда направлен вектор магнитной индукции.
Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции
Вычисления магнитного поля зачастую упрощаются с учетом симметрии в конфигурации токов. В этом помогает теорема о циркуляции вектора магнитной индукции.
Объясним, что означает циркуляция вектора B → . Допустим, в пространстве с магнитным полем существует какой-то условный замкнутый контур, а также положительное направление его обхода. Тогда, на каждом отдельном маленьком участке Δ l данного контура определяется касательная составляющая B l вектора B → в этом месте, то есть определяется проекция вектора B → на направление касательной к заданному участку контура. Рисунок 1 . 17 . 2 наглядно демонстрирует это.
Рисунок 1 . 17 . 2 . Замкнутый контур ( L ) с заданным направлением обхода. Изображение токов I 1 , I 2 и
I 3 , создающих магнитное поле.
Циркуляция вектора B → – это сумма произведений B l ∆ l , взятая по целому контуру L : B → = ∑ ( L ) B l ∆ l.
Некоторые токи, при которых магнитное поле создается, пропускают выбранный контур L тем временем, как остальные токи находятся в стороне от контура.
Согласно теореме о циркуляции, циркуляция вектора B → магнитного поля постоянных токов по любому из контуров L все время определяется, как произведение магнитной постоянной μ 0 на сумму всех токов:
∑ ( L ) B l ∆ l = μ 0 ∑ l i.
На рисунке 1 . 17 . 2 продемонстрирован пример с несколькими проводниками с токами, образующими магнитное поле. Ток I 2 и ток I 3 пронзают контур L в противоположных направлениях, им приписываются различные знаки. Положительным является ток, который связан с заданным направлением обхода контура по правилу буравчика.
Значит, I 3 > 0 , а I 2 < 0 . Ток I 1 не пронзает контур L .
Теорема о циркуляции в этом примере математически выражается следующей формулой:
∑ ( L ) B l ∆ l = μ 0 ( I 3 — I 2 ) .
Общий вид теоремы о циркуляции можно вывести из принципа суперпозиции и закона Био-Савара.
Самый простой пример использования теоремы о циркуляции – это вывод формулы магнитного поля прямолинейного проводника с током. С учетом симметрии в этой задаче контуром L лучше выбрать окружность какого-то радиуса R , лежащую в перпендикулярной проводнику плоскости. Центр окружности задан в какой-то точке проводника. Из-за симметрии вектор B → направляется по касательной ( B l = B ) , а его модуль имеет одинаковое значение по всей окружности. Использование теоремы о циркуляции приводит к выражению:
∑ ( L ) B l ∆ l = 2 π R B = μ 0 I ,
отсюда можно вывести формулу для модуля магнитной индукции поля прямолинейного проводника с током, приведенную раньше.
Из данного примера видно, что теорема о циркуляции вектора магнитной индукции B → можно использовать для вычисления магнитных полей, которые создаются симметричным распределением токов, когда можно наугад определить общую структуру поля.
Существует много примеров определения магнитных полей при помощи теоремы о циркуляции.
Рассмотрим одну из них – это задачу расчета поля тороидальной катушки (рисунок 1 . 17 . 3 ).
Рисунок 1 . 17 . 3 . Использование теоремы о циркуляции к тороидальной катушке.
Предположим, что катушка намотана виток к витку на ненамагниченный тороидальный сердечник. В ней линии магнитной индукции сходятся внутри катушки и выступают концентрическими окружностями. Они имеет такое направление, что, смотря вдоль них, наблюдатель увидел бы ток в витках, циркулирующих по часовой стрелке.
Одна линия индукции какого-то радиуса r 1 ≤ r < r 2 представлена на рисунке 1 . 17 . 3 . Используем теорему о циркуляции для контура L в виде окружности, которая совпадает с линией индукции магнитного поля, изображенной на рисунке 1 . 17 . 3 . Опираясь на соображения о симметрии, делаем вывод, что модуль вектора B → имеет одинаковое значение по всей линии. Исходя из теоремы о циркуляции, запишем:
B · 2 π r = μ 0 I N ,
где N – это полное количество витков, а I – это ток, протекающий по виткам катушки. Значит, B = μ 0 I N 2 π r .
Так, модуль вектора магнитной индукции в тороидальной катушке находится в зависимости от радиуса r . При условии, что сердечник катушки тонкий, то есть r 2 – r 1 ≪ r , тогда магнитное поле внутри катушки почти однородное.
Величина n = N 2 π r – это количество витков на единицу длины катушки. Следовательно, B = μ 0 I n .
Сюда не относится радиус тора, потому оно действует и в предельном случае r → ∞ .
Однако в пределе каждая часть тороидальной катушки при необходимости рассматривается в качестве длинной прямолинейной катушки, которая называется соленоид. Вдали торцов такой катушки модуль магнитной индукции определяется, как соотношение в случае с тороидальной катушкой.
На рисунке 1 . 17 . 4 представлено магнитное поле катушки конечной длины. Обращаем внимание, что в центре катушки магнитное поле почти однородное и намного сильнее, чем снаружи. Это объясняется густотой линий магнитной индукции. В предельном случае бесконечно длинного соленоида однородное магнитное поле полностью находится внутри него.
Рисунок 1 . 17 . 4 . Магнитное поле катушки конечной длины. В центральной части соленоида магнитное поле почти однородное и существенно больше по модулю поля вне катушки.
В случае с бесконечно длинным соленоидом соотношение для модуля магнитной индукции получаем прямо из теоремы о циркуляции, применяя ее к прямоугольному контуру, изображенному на рисунке 1 . 17 . 5 .
Рисунок 1 . 17 . 5 . Теорема о циркуляции при расчете магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
Проекция вектора магнитной индукции на направление обхода контура a b c d только на стороне a b отлична от 0 . Значит, циркуляция вектора B → по контуру равняется B l , где l – это длина стороны a b . Количество витков соленоида, пронзающих контур a b c d , равняется n · l , где n – это количество витков на единицу длины соленоида, а полный ток, пронзающий контур, равняется I n l . Из теоремы о циркуляции, B l = μ 0 I n l .
Отсюда B = μ 0 I n .
Данное вычисление совпадает с формулой для магнитного поля тонкой тороидальной катушки.
Рисунок 1 . 17 . 6 . Модель магнитного поля кругового витка с током.
Магнитное поле: Краткая теория и образцы решений некоторых задач , страница 2
где круглые скобки означают скалярное произведение векторов; α – угол между нормалью n к площадке и направлением магнитной индукции В; Вn — проекция магнитной индукции на нормаль; dS = n·dS. В случае однородного магнитного поля и плоской поверхности S
Единица измерения магнитного потока в СИ – вебер (Вб), 1 Вб = 1 Тл ·1м 2 .
Пример. Виток радиусом 2 см расположен в однородном магнитном поле с индукцией В = 2 мТл так, что его плоскость составляет 30 0 с силовыми линиями. Найти магнитный поток через виток.
Решение. Используем формулу (3.2.1 ΄ ), подставив в нее площадь круга. Угол α в данном случае равен 60 0 . А не 30 0 (обратите внимание на распространенную ошибку), что видно из рис. 7. Посмотрите еще раз пояснение к формуле. Таким образом, магнитный поток
Ф = 2 · 10 -3 Тл 3,14 · 4 · 10 -4 м = 2,5мкВб.
Ответ: Ф = 2,5 мкВб.
Так как линии вектора В всегда замкнуты, то число линий, выходящих из объема V, равно количеству линий, входящих в него. Поэтому поток вектора В через любую замкнутую поверхность равен нулю:
В этом состоит смысл теоремы Гаусса для магнитного поля.
Если контур состоит из N витков, каждый из которых пронизывается магнитным потоком Ф, алгебраическая сумма потоков
Величина Ψ называется потокосцеплением или полным магнитным потоком, измеряется так же, как и магнитный поток, в веберах.
Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции утверждает, что циркуляция вектора В вдоль замкнутого контура в отсутствие переменных электрических полей равна алгебраической сумме токов, охватываемых контуром:
Значение силы тока берут со знаком «плюс», если направление тока и направление обхода контура составляет правовинтовую систему, и со знаком « минус», если левовинтовую. Выбор направления обхода произволен. Если ток охватывает контур N раз, то это обстоятельство учитывают произведением NI.
Пример. На рис.8 изображен произвольный контур, охватывающий несколько проводников с токами. Токи равны: I1 = 1 A; I2 = 2 A; I3 = 1,5 A. Найти циркуляцию вектора магнитной индукции вдоль этого контура.
Решение. Согласно формуле (3.2.3). циркуляция вектора В имеет вид
Проведем операции с размерностями и покажем, что циркуляция измеряется в Тл·м:
Ниже будет показано, что произведение индуктивности и тока дает потокосцепление (L·I = Ψ), отсюда Гн·А = Вб.
Ответ: циркуляция вектора В равна 25,12·10 -7 Тл·м.
Из формулы (3.2.3), как следствие, вытекает формула для расчета магнитной индукции поля на оси бесконечно длинного соленоида в его середине:
где N – общее число соленоида; l – его длина ; n = N /l– число витков на единицу длины, μ – магнитная проницаемость сердечника, (если сердечника нет или он немагнитный, то μ =1).
3. ДЕЙСТВИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА ДВИЖУЩИЕСЯ
ЗАРЯДЫ И ПРОВОДНИКИ С ТОКОМ. РАБОТА СИЛ ПОЛЯ
Рассмотрим последовательно, как магнитное поле действует сначала на движущиеся заряды, затем на проводники с токами, в том числе и на рамку с током. В общем случае электромагнитное поле характеризуется векторами Е(r,t) – напряженностью электрического поля и В(r,t) – магнитной индукцией. Сила, действующая на заряженную частицу, движущуюся в электромагнитном поле,
F = q E + q [ v,B], (3.3.1)
называется силой Лоренца. Квадратные скобки означают векторное произведение двух векторов v и B.
Выражение (3.3.1) справедливо как для постоянных, так и переменных электромагнитных полей. С магнитным полем связана та часть силы, которая проявляется только при движении заряда (см. второе слагаемое в выражении (3.3.1)), т.е.
в скалярной форме:
Направление силы Лоренца можно определить по правилу векторного произведения, которому соответствует мнемоническое правило правой тройки: большой , указательный и средней пальцы правой руки надо расположить перпендикулярно друг другу; если направить большой палец по вектору v для положительного заряда (для отрицательного против v), указательный по вектору В, то средний палец покажет направление магнитной составляющей силы Лоренца Fm. Есть и другой способ — мнемоническое правило левой руки. Для q > 0 левую руку надо расположить так, чтобы линии вектора В входили в ладонь, четыре пальца направить по направлению вектора v(рис. 9). Тогда большой палец укажет направление силы Лоренца. Если q < 0, левую руку надо развернуть так, чтобы линии вектора В выходили из ладони.
Под действием силы Лоренца заряженная частица закручивается вокруг силовых линий поля: положительная частица – по часовой стрелке, отрицательная – против часовой стрелки, если смотреть навстречу силовым линиям поля.