Мнк в excel как сделать

МНК: Метод Наименьших Квадратов в EXCEL

history 11 ноября 2018 г.
    Группы статей

  • Статистический анализ

Метод наименьших квадратов (МНК) основан на минимизации суммы квадратов отклонений выбранной функции от исследуемых данных. В этой статье аппроксимируем имеющиеся данные с помощью линейной функции y = a x + b .

Метод наименьших квадратов (англ. Ordinary Least Squares , OLS ) является одним из базовых методов регрессионного анализа в части оценки неизвестных параметров регрессионных моделей по выборочным данным.

Рассмотрим приближение функциями, зависящими только от одной переменной:

  • Линейная: y=ax+b (эта статья)
  • Логарифмическая : y=a*Ln(x)+b
  • Степенная : y=a*x m
  • Экспоненциальная : y=a*EXP(b*x)+с
  • Квадратичная : y=ax 2 +bx+c

Примечание : Случаи приближения полиномом с 3-й до 6-й степени рассмотрены в этой статье. Приближение тригонометрическим полиномом рассмотрено здесь.

Линейная зависимость

Нас интересует связь 2-х переменных х и y . Имеется предположение, что y зависит от х по линейному закону y = ax + b . Чтобы определить параметры этой взаимосвязи исследователь провел наблюдения: для каждого значения х i произведено измерение y i (см. файл примера ). Соответственно, пусть имеется 20 пар значений (х i ; y i ).

Для наглядности рекомендуется построить диаграмму рассеяния.

Примечание: Если шаг изменения по х постоянен, то для построения диаграммы рассеяния можно использовать тип График , если нет, то необходимо использовать тип диаграммы Точечная .

Из диаграммы очевидно, что связь между переменными близка к линейной. Чтобы понять какая из множества прямых линий наиболее «правильно» описывает зависимость между переменными, необходимо определить критерий, по которому будут сравниваться линии.

В качестве такого критерия используем выражение:

где ŷ i = a * x i + b ; n – число пар значений (в нашем случае n=20)

Вышеуказанное выражение представляет собой сумму квадратов расстояний между наблюденными значениями y i и ŷ i и часто обозначается как SSE ( Sum of Squared Errors ( Residuals ), сумма квадратов ошибок (остатков) ) .

Метод наименьших квадратов заключается в подборе такой линии ŷ = ax + b , для которой вышеуказанное выражение принимает минимальное значение.

Примечание: Любая линия в двухмерном пространстве однозначно определяется значениями 2-х параметров: a (наклон) и b (сдвиг).

Считается, что чем меньше сумма квадратов расстояний, тем соответствующая линия лучше аппроксимирует имеющиеся данные и может быть в дальнейшем использована для прогнозирования значений y от переменной х. Понятно, что даже если в действительности никакой взаимосвязи между переменными нет или связь нелинейная, то МНК все равно подберет «наилучшую» линию. Таким образом, МНК ничего не говорит о наличии реальной взаимосвязи переменных, метод просто позволяет подобрать такие параметры функции a и b , для которых вышеуказанное выражение минимально.

Проделав не очень сложные математические операции (подробнее см. статью про квадратичную зависимость ), можно вычислить параметры a и b :

Как видно из формулы, параметр a представляет собой отношение ковариации и дисперсии , поэтому в MS EXCEL для вычисления параметра а можно использовать следующие формулы (см. файл примера лист Линейная ):

= КОВАР(B26:B45;C26:C45)/ ДИСП.Г(B26:B45) или

Также для вычисления параметра а можно использовать формулу = НАКЛОН(C26:C45;B26:B45) . Для параметра b используйте формулу = ОТРЕЗОК(C26:C45;B26:B45) .

И наконец, функция ЛИНЕЙН() позволяет вычислить сразу оба параметра. Для ввода формулы ЛИНЕЙН(C26:C45;B26:B45) необходимо выделить в строке 2 ячейки и нажать CTRL + SHIFT + ENTER (см. статью про формулы массива, возвращающими несколько значений ). В левой ячейке будет возвращено значение а , в правой – b .

Примечание : Чтобы не связываться с вводом формул массива потребуется дополнительно использовать функцию ИНДЕКС() . Формула = ИНДЕКС(ЛИНЕЙН(C26:C45;B26:B45);1) или просто = ЛИНЕЙН(C26:C45;B26:B45) вернет параметр, отвечающий за наклон линии, т.е. а . Формула = ИНДЕКС(ЛИНЕЙН(C26:C45;B26:B45);2) вернет параметр, отвечающий за пересечение линии с осью Y, т.е. b .

Вычислив параметры, на диаграмме рассеяния можно построить соответствующую линию.

Еще одним способом построения прямой линии по методу наименьших квадратов является инструмент диаграммы Линия тренда . Для этого выделите диаграмму, в меню выберите вкладку Макет , в группе Анализ нажмите Линия тренда , затем Линейное приближение .

Поставив в диалоговом окне галочку в поле «показывать уравнение на диаграмме» можно убедиться, что найденные выше параметры совпадают со значениями на диаграмме.

Примечание : Для того, чтобы параметры совпадали необходимо, чтобы тип у диаграммы был Точечная, а не График . Дело в том, что при построении диаграммы График значения по оси Х не могут быть заданы пользователем (пользователь может указать только подписи, которые не влияют на расположение точек). Вместо значений Х используется последовательность 1; 2; 3; … (для нумерации категорий). Поэтому, если строить линию тренда на диаграмме типа График , то вместо фактических значений Х будут использованы значения этой последовательности, что приведет к неверному результату (если, конечно, фактические значения Х не совпадают с последовательностью 1; 2; 3; …).

СОВЕТ : Подробнее о построении диаграмм см. статьи Основы построения диаграмм и Основные типы диаграмм .

Применение метода наименьших квадратов в Excel

Метод наименьших квадратов в Microsoft Excel

Метод наименьших квадратов представляет собой математическую процедуру построения линейного уравнения, которое бы наиболее точно соответствовало набору двух рядов чисел. Целью применения данного способа является минимизация общей квадратичной ошибки. В программе Excel имеются инструменты, с помощью которых можно применять данный метод при вычислениях. Давайте разберемся, как это делается.

Использование метода в Экселе

Метод наименьших квадратов (МНК) является математическим описанием зависимости одной переменной от второй. Его можно использовать при прогнозировании.

Включение надстройки «Поиск решения»

Для того, чтобы использовать МНК в Экселе, нужно включить надстройку «Поиск решения», которая по умолчанию отключена.

  1. Переходим во вкладку «Файл».

Переход во вкладку Файл в Microsoft Excel

Кликаем по наименованию раздела «Параметры».

Переход в раздел параметры в Microsoft Excel

В открывшемся окне останавливаем выбор на подразделе «Надстройки».

Переход в подраздел надстройки в Microsoft Excel

Переход к надстройкам Excel в Microsoft Excel

  • Открывается небольшое окошко. Ставим в нём галочку около параметра «Поиск решения». Жмем на кнопку «OK».
  • Включение поиска решения в Microsoft Excel

    Теперь функция Поиск решения в Excel активирована, а её инструменты появились на ленте.

    Условия задачи

    Опишем применение МНК на конкретном примере. Имеем два ряда чисел x и y, последовательность которых представлена на изображении ниже.

    Переменные числа в Microsoft Excel

    Наиболее точно данную зависимость может описать функция:

    При этом, известно что при x=0 y тоже равно 0. Поэтому данное уравнение можно описать зависимостью y=nx.

    Нам предстоит найти минимальную сумму квадратов разности.

    Решение

    Перейдем к описанию непосредственного применения метода.

      Слева от первого значения x ставим цифру 1. Это будет приближенная величина первого значения коэффициента n.

    Значение коэффициента n в Microsoft Excel

    Справа от столбца y добавляем ещё одну колонку – nx. В первую ячейку данного столбца записываем формулу умножения коэффициента n на ячейку первой переменной x. При этом, ссылку на поле с коэффициентом делаем абсолютной, так как это значение меняться не будет. Кликаем по кнопке Enter.

    Значение nx в Microsoft Excel

    Используя маркер заполнения, копируем данную формулу на весь диапазон таблицы в столбце ниже.

    Копирование формулы в Microsoft Excel

    В отдельной ячейке высчитываем сумму разностей квадратов значений y и nx. Для этого кликаем по кнопке «Вставить функцию».

    Переход в мастер функций в Microsoft Excel

    В открывшемся «Мастере функций» ищем запись «СУММКВРАЗН». Выбираем её и жмем на кнопку «OK».

    Мастер функций в Microsoft Excel

    Открывается окно аргументов. В поле «Массив_x» вводим диапазон ячеек столбца y. В поле «Массив_y» вводим диапазон ячеек столбца nx. Для того, чтобы ввести значения, просто устанавливаем курсор в поле и выделяем соответствующий диапазон на листе. После ввода жмем на кнопку «OK».

    Ввод аргументов функции в Microsoft Excel

    Переходим во вкладку «Данные». На ленте в блоке инструментов «Анализ» жмем на кнопку «Поиск решения».

    Переход в поиск решения в Microsoft Excel

    Открывается окно параметров данного инструмента. В поле «Оптимизировать целевую функцию» указываем адрес ячейки с формулой «СУММКВРАЗН». В параметре «До» обязательно выставляем переключатель в позицию «Минимум». В поле «Изменяя ячейки» указываем адрес со значением коэффициента n. Жмем на кнопку «Найти решение».

    Поиск решения методом наименьшего квадрата в Microsoft Excel

  • Решение будет отображаться в ячейке коэффициента n. Именно это значение будет являться наименьшим квадратом функции. Если результат удовлетворяет пользователя, то следует нажать на кнопку «OK» в дополнительном окне.
  • Подтверждение результата в Microsoft Excel

    Как видим, применение метода наименьших квадратов довольно сложная математическая процедура. Мы показали её в действии на простейшем примере, а существуют гораздо более сложные случаи. Впрочем, инструментарий Microsoft Excel призван максимально упростить производимые вычисления.

    Мы рады, что смогли помочь Вам в решении проблемы.

    Помимо этой статьи, на сайте еще 11905 инструкций.
    Добавьте сайт Lumpics.ru в закладки (CTRL+D) и мы точно еще пригодимся вам.

    Отблагодарите автора, поделитесь статьей в социальных сетях.

    Опишите, что у вас не получилось. Наши специалисты постараются ответить максимально быстро.

    Ссылка на основную публикацию