Как строить изображение в сферическом зеркале

Построение в сферическом зеркале

Для уже введённого нами сферического зеркала существует два условно разных типа задач:

задачи на построение в сферическом зеркале
задачи на формулу для сферического зеркала

Первый тип задач основан на фактическом построении хода лучей от источника и поиска пересечения отражённых от зеркала лучей. Рассмотрим ряд изображений, полученных от точечного источника, который будем помещать на различных расстояниях от зеркала. Напомним, для сферического зеркала существует 3 просчитанных траектории хода луча (рис. 1).

Сферическое зеркало (общее)

Рис. 1. Сферическое зеркало (общее)

синий. Луч, проходящий через фокус, отражаясь от зеркала, проходит параллельно главной оптической оси (свойство фокуса),
зелёный. Луч, падающий на главный оптический центр сферического зеркала, отражается под тем же углом (законы отражения),
красный. Луч, идущий параллельно главной оптической оси, после отражения проходит через фокус (свойство фокуса).

И помним о том, что точка пересечения двух любых отражённых лучей является изображением предмета ().

Введём обозначения: пусть — фокусное расстояние (расстояние от оптического центра зеркала до фокуса), — расстояние от предмета до зеркала, — расстояние от изображения до зеркала. Проанализируем ход лучей при различных положениях источника:

(источник находится очень далеко от сферического зеркала). В этом случае, мы можем считать, что все лучи от источника идут параллельно друг другу (рис. 2). Пустим два луча параллельно главной оптической оси.

Сферическое зеркало (источник в бесконечности)

Рис. 2. Сферическое зеркало (источник в бесконечности)

Т.к. все лучи, идущие параллельно главной оптической оси, после отражения проходят через фокус, то точка фокуса и является точкой пересечения отражённый лучей, тогда она же и есть изображение источника (точечное, действительное).

(источник находится за двойным фокусным расстоянием) (рис. 3).

Сферическое зеркало (предмет за двойным фокусом)

Рис. 3. Сферическое зеркало (предмет за двойным фокусом)

Воспользуемся ходом луча, идущего параллельно главной оптической оси (отражается в фокус) и идущего через фокус (отражается параллельно главной оптической оси). Для визуализации изображения введём описание предмета через стрелку. Точка пересечения отразившихся лучей — изображение (уменьшенное, действительное, перевёрнутое). Положение — между фокусом и двойным фокусом.

(источник находится ровно в двойном фокусе) (рис. 4).

Сферическое зеркало (предмет в двойном фокусе)

Рис. 4. Сферическое зеркало (предмет в двойном фокусе)

Воспользуемся ходом луча, идущего параллельно главной оптической оси (отражается в фокус) и идущего через фокус (отражается параллельно главной оптической оси). Точка пересечения отразившихся лучей — изображение (того же размера, действительное, перевёрнутое). Положение — ровно в двойном фокусе.

(источник между фокусом и двойным фокусом) (рис. 5).

Сферическое зеркало (предмет между фокусом и двойным фокусом)

Рис. 5. Сферическое зеркало (предмет между фокусом и двойным фокусом)

Воспользуемся ходом луча, идущего параллельно главной оптической оси (отражается в фокус) и идущего через фокус (отражается параллельно главной оптической оси). Точка пересечения отразившихся лучей — изображение (увеличенное, действительное, перевёрнутое). Положение — за двойным фокусом.

(источник находится ровно в фокусе сферического зеркала) (рис. 6).

Сферическое зеркало (предмет в фокусе)

Рис. 6. Сферическое зеркало (предмет в фокусе)

Воспользуемся ходом луча, идущего параллельно главной оптической оси (отражается в фокус) и падающего в главный оптический центр зеркала (отражается под углом падения). В этом случае, оба отражённых луча оказались параллельными друг другу, т.е. точка пересечения отражённых лучей отсутствует. Это говорит о том, что изображения нет.

(источник находится между фокусом и главным оптическим центром) (рис. 7).

Сферическое зеркало (предмет перед фокусом)

Рис. 7. Сферическое зеркало (предмет перед фокусом)

Воспользуемся ходом луча, идущего параллельно главной оптической оси (отражается в фокус) и падающего в главный оптический центр зеркала (отражается под углом падения). Однако отражённые лучи расходятся, т.е. сами отражённые лучи не пересекутся, зато могут пересечься продолжения лучей. Точка пересечения продолжений отразившихся лучей — изображение (увеличенное, мнимое, прямое). Положение — за зеркалом.

Таким образом, часть фраз, присутствующих в задаче и характеризующих изображение (его величину, мнимость/действительность, расположение и т.д.), может намекать на конкретный рисунок и облегчать построение и решение самой задачи. Достаточно часто численные данные в таких задачах берутся из рисунков, на которых расстояния заданы в виде пропорций (рисунок по клеточкам).

Второй тип задач — задачи с числовыми значениями расстояний , — и . Для сферического зеркала выводится соотношение:

где
- — фокусное расстояние,
- — расстояние от предмета до зеркала,
- — расстояние от изображения до зеркала.
Такого типа задачи решаются геометрически и самой формулой (1).

Вывод: задачи со сферическими зеркалами, в целом, разделяются на два огромных класса: задачи на построение (логика вышеописанных рисунков) и задачи на формулу для сферического зеркала, которые можно определить по наличию численных значений для параметров, входящих в уравнение (1).

Физика. 11 класс

§ 18. Вогнутые и выпуклые сферические зеркала. Построение изображений

Каждое утро, умываясь, вы смотрите в плоское зеркало и видите свое четкое отражение в нем. Но поверхность зеркала может быть не только плоской, но и искривленной. Параллельные лучи света, отражаясь от искривленной поверхности, не останутся параллельными. Но отражаются они упорядоченно и могут как сходиться, так и расходиться (рис. 111).

Самый простой пример искривленной отражающей поверхности – сферическая поверхность. Зеркало с такой поверхностью называют сферическим.

Различают два типа сферических зеркал: вогнутые, если зеркальной является внутренняя поверхность сферы (рис. 112, а), и выпуклые, если — внешняя (рис. 112, б).

Основные характеристики сферических зеркал.

Рассмотрим основные характеристики сферических зеркал на примере вогнутого зеркала (рис. 113). Центр сферы O называется оптическим центром зеркала, его радиус R — радиусом зеркала. Вершина шарового сегмента P называется полюсом зеркала. Прямая линия OP, проходящая через оптический центр и полюс зеркала, называется главной оптической осью. Любая прямая, например прямая OM, проходящая через оптический центр O и поверхность зеркала (за исключением его главной оптической оси), называется побочной оптической осью.

Так как поверхность зеркала сферическая, то из ее геометрических свойств следует, что любая оптическая ось перпендикулярна поверхности зеркала. Поэтому луч, идущий по направлению к зеркалу по какой-либо из оптических осей, отразившись от зеркала, пойдет по той же самой оптической оси, но уже в обратном направлении.

В отличие от плоских зеркал, в которых изображение точечного источника всегда является точечным, в сферических зеркалах такое свойство выполняется только в случае, когда пучок падающих на зеркало лучей можно считать параксиальным (приосевым) (от греч. παρα — возле и лат. axis — ось). Это означает, что он состоит из лучей, образующих малые углы с оптической осью и находящихся на небольших расстояниях h по сравнению с радиусом кривизны R зеркала (h<<R).

В плоских зеркалах изображение точечного источника всегда является точечным. Сферические зеркала дают неискаженные изображения только в том случае, если предмет достаточно мал и лучи распространяются вблизи главной оптической оси.

Если направить пучок лучей, параллельных главной оптической оси сферического зеркала, то все они пересекут главную оптическую ось в одной и той же точке (см. рис. 113, б). Рассмотрим луч KM, параллельный главной оптической оси OP (см. рис. 113, б). OM— нормаль к поверхности зеркала. Следовательно KMO=α, угол является углом падения. По закону отражения света луч, падающий на сферическое зеркало, и луч отраженный составляют с радиусом зеркала одинаковые углы α и лежат с ним в одной плоскости KMO = OMF. После отражения от зеркала луч пройдет через точку F на главной оптической оси (рис. 114, а). Так как треугольник ΔOMF равнобедренный, то OF=MF. Если расстояние h<<R, то FP≈MF. Следовательно, F≈PF≈FO=R/2.

Если направить пучок лучей параллельно главной оптической оси вогнутого сферического зеркала, то все они пересекут главную оптическую ось в одной и той же точке на расстоянии F=R/2 (рис. 113, 114, а). Аналогичные построения можно сделать и для выпуклого зеркала (рис. 114, б).
Только в отличие от вогнутого зеркала пересекаться в фокусе будут не лучи, а их продолжения. Эта точка находится на главной оптической оси на расстоянии от полюса зеркала — в мнимом фокусе.

Точка F (см. рис. 113, 114) называется главным фокусом зеркала. Расстояние PF = F от вершины зеркала до фокуса называется фокусным расстоянием. Фокусное расстояние зеркала равно половине радиуса его кривизны. Плоскость, проходящая через главный фокус F линзы перпендикулярно главной оптической оси, называется фокальной.
Из свойства обратимости оптических лучей следует, что луч, идущий от источника и проходящий через фокус F, после отражения пойдет параллельно главной оптической оси.
При падении пучка параллельных лучей под углом к главной оптической оси лучи после отражения пересекут побочную оптическую ось в точке называемой побочным фокусом F′ (рис. 115).

Построение изображений в сферических зеркалах

Для построения изображения любой точки в сферическом зеркале достаточно построить ход двух любых лучей в зеркале и найти их точку пересечения. Естественно, что для этого следует выбрать лучи, построить ход которых в зеркале проще всего.
Как правило, для построений выбирают один из четырех стандартных (характерных) лучей (рис. 116):
- луч (1) — через центр зеркала — отраженный луч пойдет по тому же направлению в обратную сторону;
- луч (2) — параллельный главной оптической оси — отраженный луч проходит через главный фокус;
- луч (3) — через главный фокус — отраженный луч проходит параллельно главной оптической оси;
- луч (4) — падающий на зеркало в его полюсе — отраженный луч идет симметрично главной оптической оси.
Характеристики изображений

Если предмет AB (см. рис. 116, 117) перпендикулярен главной оптической оси в вогнутом сферическом зеркале, то его изображение будет также перпендикулярно этой оси. Поэтому достаточно построить изображение только точки B. Из свойств обратимости светового луча следует, что предмет AB и его изображение A₁B₁ можно поменять местами. Если предмет находится за оптическим центром зеркала, то изображение предмета — действительное, обратное и уменьшенное — находится между главным фокусом и центром зеркала (рис. 117).
Если предмет находится между фокусом и оптическим центром зеркала (см. рис. 117), то изображение A₁B₁ предмета — действительное, обратное и увеличенное — находится за центром зеркала.

Если предмет находится между полюсом зеркала и его фокусом, то изображение A₁B₁ предмета — мнимое, прямое и увеличенное — находится за зеркалом (рис. 118, а).
Построим изображение предмета AB в выпуклом зеркале (рис. 118, б).
Изображение в таком зеркале всегда получается прямым, мнимым, уменьшенным.
Все возможные изображения предметов в сферических зеркалах построены на рисунке 119.
Поскольку вогнутые зеркала фокусируют любое электромагнитное излучение, то они находят широкое применение в радиолокации, радиосвязи, радиоастрономии, в телевидении. В частности, вогнутые зеркала применяют в телескопах — приборах для наблюдения звезд, галактик.

Чертеж первого прожектора был составлен Леонардо да Винчи в Атлантическом кодексе.

Первый прожектор был построен в 1779 г. русским механиком И.П. Кулибиным.

В настоящее время широко применяются светодиодные прожекторы (рис. 120). Они имеют рекордно низкое потребление электроэнергии, большой ресурс работ, небольшой вес, большую компактность и могут работать в широком температурном диапазоне

Первый зеркальный телескоп-рефлектор был построен в 1668 г. И. Ньютоном (рис. 121).

Современные телескопы-рефлекторы имеют зеркала большого диаметра. Так диаметр главного зеркала телескопа Маунт-Паломарской обсерватории в США — 5 м, а диаметр телескопа специальной обсерватории на Северном Кавказе в России — 6 м.

Как строить изображение в сферическом зеркале

Простейшим оптическим устройством, способным создавать изображение предмета, является плоское зеркало . Изображение предмета, даваемое плоским зеркалом, формируется за счет лучей, отраженных от зеркальной поверхности. Это изображение является мнимым, так как оно образуется пересечением не самих отраженных лучей, а их продолжений в «зазеркалье» (рис 3.2.1).

Вследствие закона отражения света мнимое изображение предмета располагается симметрично относительно зеркальной поверхности. Размер изображения равен размеру самого предмета.

Сферическим зеркалом называют зеркально отражающую поверхность, имеющую форму сферического сегмента. Центр сферы, из которой вырезан сегмент, называют оптическим центром зеркала . Вершину сферического сегмента называют полюсом . Прямая, проходящая через оптический центр и полюс зеркала, называется главной оптической осью сферического зеркала. Главная оптическая ось выделена из всех других прямых, проходящих через оптический центр, только тем, что она является осью симметрии зеркала.

Сферические зеркала бывают вогнутыми и выпуклыми . Если на вогнутое сферическое зеркало падает пучок лучей, параллельный главной оптической оси, то после отражения от зеркала лучи пересекутся в точке, которая называется главным фокусом зеркала. Расстояние от фокуса до полюса зеркала называют фокусным расстоянием и обозначают той же буквой . У вогнутого сферического зеркала главный фокус действительный. Он расположен посередине между центром и полюсом зеркала (рис 3.2.2).

Следует иметь в виду, что отраженные лучи пересекаются приблизительно в одной точке только в том случае, если падающий параллельный пучок был достаточно узким (так называемый параксиальный пучок ).

Главный фокус выпуклого зеркала является мнимым. Если на выпуклое зеркало падает пучок лучей, параллельных главной оптической оси, то после отражения в фокусе пересекутся не сами лучи, а их продолжения (рис 3.2.3).

Фокусным расстояниям сферических зеркал приписывается определенный знак: для вогнутого зеркала для выпуклого где – радиус кривизны зеркала.

Изображение какой-либо точки предмета в сферическом зеркале можно построить с помощью любой пары стандартных лучей:
- луч , проходящий через оптический центр зеркала; отраженный луч идет по той же прямой;
- луч , идущий через фокус зеркала; отраженный луч идет параллельно главной оптической оси;
- луч , падающий на зеркало в его полюсе; отраженный луч симметричен с падающим относительно главной оптической оси.
- луч , параллельный главной оптической оси; отраженный луч проходит через фокус зеркала.
На рис 3.2.4 перечисленные выше стандартные лучи изображены для случая вогнутого зеркала. Все эти лучи проходят через точку , которая является изображением точки . Все остальные отраженные лучи также проходят через точку . Ход лучей, при котором все лучи, вышедшие из одной точки, собираются в другой точке, называется стигматическим . Отрезок является изображением предмета . Аналогичны построения для случая выпуклого зеркала.

Положение изображения и его размер можно также определить с помощью формулы сферического зеркала :
- и – для действительных предметов и изображений;
- и – для мнимых предметов и изображений.
Для случая, изображенного на рис 3.2.4, имеем:

(зеркало вогнутое); (действительный предмет).

По формуле сферического зеркала получаем: следовательно, изображение действительное.

Если бы на месте вогнутого зеркала стояло выпуклое зеркало с тем же по модулю фокусным расстоянием, мы получили бы следующий результат:

Линейное увеличение сферического зеркала Γ определяется как отношение линейных размеров изображения ‘ и предмета .

Величине ‘ удобно приписывать определенный знак в зависимости от того, является изображение прямым () или перевернутым (). Величина всегда считается положительной. При таком определении линейное увеличение сферического зеркала выражается формулой, которую можно легко получить из рис 3.2.4:

В первом из рассмотренных выше примеров – следовательно, изображение перевернутое, уменьшенное в 2 раза. Во втором примере – изображение прямое, уменьшенное в 4 раза.

A. Построение изображения

Построение изображения предмета в сферических зеркалах

От любой точки предмета, расположенного перед зеркалом, падает бесконечное множество лучей — расходящийся световой пучок. Для построения изображения этой точки достаточно выбрать только два каких-либо луча, но лучше такие, ход которых после зеркала заранее известен. К таким лучам относятся (рис. 16.16): 1 — луч, параллельный главной оптической оси. Отраженный луч (или продолжение отраженного луча) проходит через главный фокус; 2 — луч, проходящий через главный фокус (или его продолжение проходит через главный фокус), отраженный луч идет параллельно главной оптической оси; 3 — луч (или его продолжение), проходящий через центр О зеркала. Отраженный луч возвращается в противоположном направлении вдоль той же прямой; 4 — луч, проходящий через полюс, после отражения пойдет симметрично относительно главной оптической оси зеркала.

Если предмет плоский, то достаточно построить изображение его крайних точек. На рисунках 16.17—16.19 приведены построения изображений для разных положений предмета АВ перед зеркалом. Как видно, если предмет расположен на расстоянии d>R (рис. 16.17) (дальше центра вогнутого зеркала), то образуется перевернутое, действительное, уменьшенное изображение предмета. Если F<d<R (рис. 16.18), то изображение в вогнутом зеркале перевернутое, действительное, увеличенное. Если d<F (рис. 16.19), то изображение прямое, мнимое, увеличенное.

В выпуклом зеркале (рис. 16.20) изображение всегда мнимое, прямое, уменьшенное.

С учетом правила знаков можно записать формулу сферического зеркала для случаев, изображенных на рисунках 16.17 и 16.18\[\frac<1> + \frac<1> = \frac<1>;\] на рисунке 16.19\[\frac<1> — \frac<1> = \frac<1>;\] на рисунке 16.20\[\frac<1> + \frac<1> = -\frac<1>;\]

Для построения изображения точечного предмета А (рис. 16.21), расположенного на главной оптической оси, из этого предмета направляют на зеркало любой луч AM, проводят параллельно этому лучу побочную оптическую ось ON и фокальную плоскость, находят побочный фокус F’ (точка пересечения побочной оптической оси с фокальной плоскостью). Отраженный луч пройдет через побочный фокус F’ и пересечет главную оптическую ось в точке A₁ которая и является изображением точки А.

Литература

Аксенович Л. А. Физика в средней школе: Теория. Задания. Тесты: Учеб. пособие для учреждений, обеспечивающих получение общ. сред, образования / Л. А. Аксенович, Н.Н.Ракина, К. С. Фарино; Под ред. К. С. Фарино. — Мн.: Адукацыя i выхаванне, 2004. — С. 464-465.
Похожие публикации: