Как обозначается скорость в астрономии

Астрономия. Основные формулы

Высота светила в верхней кульминации — h = 90° – φ + δ.

Высота светила в нижней кульминации — h = φ + δ – 90°.

Закон Снеллиуса преломления света

Формула сферического зеркала

Формула тонкой линзы

Увеличение телескопа

Проницающая сила телескопа — m = 2,1 + 5 lgD (мм).

Угловое разрешение телескопа

Закон Планка — E = hν

Освещенность — Е = Φ/S.

Освещенность и звездная величина

Закон Вина

Продольный эффект Доплера

Продольный эффект Доплера (релятивистский случай)

Закон всемирного тяготения

Ускорение свободного падения на поверхности Земли — g = 9,78 • (1 + 0,0053 sin φ).

Напряженность гравитационного поля внутри однородной Земли

Преобразования Галилея

Преобразования Лоренца

Релятивистский эффект замедления времени

Релятивистский эффект уменьшения продольных размеров

Релятивистская масса тела

Кинетическая энергия

Потенциальная энергия в поле тяжести

Закон сохранения энергии в поле тяжести

Первая космическая скорость

Вторая космическая скорость

Большая полуось орбиты

Малая полуось орбиты

Третий закон Кеплера

Уравнение Мещерского

Формула Циолковского

Радиус геостационарной орбиты

Поворот при гравитационном маневре

Правило Тициуса-Боде — а = 0,1•(3•2 n–2 + 4) а.е.

Абсолютная звездная величина — M = m + 5 – 5 lg R.

Скорость света

Ско́рость све́та в вакууме — абсолютная величина скорости распространения электромагнитных волн в вакууме [2] . В физике традиционно обозначается латинской буквой «c» (произносится как [це]). Скорость света в вакууме — фундаментальная постоянная, не зависящая от выбора инерциальной системы отсчёта (ИСО). Она относится к фундаментальным физическим постоянным, которые характеризуют не просто отдельные тела или поля, а свойства пространства-времени в целом. По современным представлениям, скорость света в вакууме — предельная скорость движения частиц и распространения взаимодействий.

Содержание

В вакууме (пустоте)

Наиболее точное измерение скорости света 299 792 458 ± 1,2 м/с на основе эталонного метра было проведено в 1975 году. На данный момент считают, что скорость света в вакууме — фундаментальная физическая постоянная, по определению, точно равная 299 792 458 м/с , или 1 079 252 848,8 км/ч . Точность значения связана с тем, что с 1983 года метр в Международной системе единиц (СИ) определён, как расстояние, которое проходит свет в вакууме за промежуток времени, равный 1 / 299 792 458 секунды [3] . Для решения школьных задач и разного рода оценок, не требующих большой точности, обычно используют значение 300 000 000 м/с ( 3×10 8 м/с ).

В природе со скоростью света распространяются (в вакууме):

• собственно, видимый свет и другие виды электромагнитного излучения (радиоволны, рентгеновские лучи, гамма-кванты и др.);
• предположительно — гравитационные волны.

Массивные частицы могут иметь скорость, приближающуюся почти вплотную к скорости света, но всё же не достигающую её точно. Например, околосветовую скорость имеют массивные частицы, полученные на ускорителе или входящие в состав космических лучей.

В современной физике считается хорошо обоснованным утверждение, что причинное воздействие не может переноситься со скоростью, большей скорости света в вакууме (в том числе посредством переноса такого воздействия каким-либо физическим телом).

Хотя в принципе движение каких-то объектов со скоростью, большей скорости света в вакууме, вполне возможно, однако это могут быть, с современной точки зрения, только такие объекты, которые не могут быть использованы для переноса информации с их движением (например — солнечный зайчик в принципе может двигаться по стене со скоростью большей скорости света, но никак не может быть использован для передачи информации с такой скоростью от одной точки стены к другой) [4] . (Подробнее см. Сверхсветовое движение, также соответствующий раздел данной статьи ниже).

В прозрачной среде

Скорость света в прозрачной среде — скорость, с которой свет распространяется в среде, отличной от вакуума. В среде, обладающей дисперсией, различают фазовую и групповую скорость.

Фазовая скорость связывает частоту и длину волны монохроматического света в среде ( λ = c/ν ). Эта скорость обычно (но не обязательно) меньше c . Отношение фазовой скорости света в вакууме к скорости света в среде называется показателем преломления среды. Групповая скорость света в равновесной среде всегда меньше c . Однако в неравновесных средах она может превышать c . При этом, однако, передний фронт импульса все равно движется со скоростью, не превышающей скорости света в вакууме. В результате сверхсветовая передача информации остаётся невозможной.

Арман Ипполит Луи Физо на опыте доказал, что движение среды относительно светового луча также способно влиять на скорость распространения света в этой среде.

История измерений скорости света

Античные учёные, за редким исключением, считали скорость света бесконечной [5] . В Новое время этот вопрос стал предметом дискуссий. Галилей и Гук допускали, что она конечна, хотя и очень велика, в то время как Кеплер, Декарт и Ферма по-прежнему отстаивали бесконечность скорости света.

Первую оценку скорости света дал Олаф Рёмер (1676). Он заметил, что когда Земля и Юпитер находятся по разные стороны от Солнца, затмения спутника Юпитера Ио запаздывают по сравнению с расчётами на 22 минуты . Отсюда он получил значение для скорости света около 220 000 км/с  — неточное, но близкое к истинному. Спустя полвека открытие аберрации позволило подтвердить конечность скорости света и уточнить её оценку.

Сверхсветовое движение

Из специальной теории относительности следует, что превышение скорости света физическими частицами (массивными или безмассовыми) невозможно, так как это нарушило бы фундаментальный принцип причинности — в некоторых инерциальных системах отсчёта оказалась бы возможной передача сигналов из будущего в прошлое. Однако теория не исключает для гипотетических частиц, не взаимодействующих с обычными частицами, движение в пространстве-времени со сверхсветовой скоростью.

Гипотетические частицы, движущиеся со сверхсветовой скоростью, называются тахионами. Математически движение тахионов описывается преобразованиями Лоренца как движение частиц с мнимой массой. Чем выше скорость этих частиц, тем меньше энергии они несут, и наоборот, чем ближе их скорость к скорости света, тем больше их энергия — так же, как и энергия обычных частиц, энергия тахионов стремится к бесконечности при приближении к скорости света. Это самое очевидное следствие преобразования Лоренца, не позволяющее массивной частице (как с вещественной, так и с мнимой массой) достичь скорости света — сообщить частице бесконечное количество энергии просто невозможно.

Следует понимать, что, во-первых, тахионы — это класс частиц, а не один вид частиц, и во-вторых, никакое физическое взаимодействие не может распространяться быстрее скорости света. Из этого следует, что тахионы не нарушают принцип причинности — с обычными частицами они никак не взаимодействуют, а разность их скоростей также не достигает скорости света.

Обычные частицы, движущиеся медленнее света, называются тардионами. Тардионы не могут достичь скорости света, а только лишь сколь угодно близко подойти к ней, так как при этом их энергия становится неограниченно большой. Все тардионы обладают массой, в отличие от безмассовых частиц, называемых люксонами. Люксоны в вакууме всегда движутся со скоростью света, к ним относятся фотоны, глюоны и гипотетические гравитоны.

В планковской системе единиц скорость света в вакууме равна 1, то есть свет проходит 1 единицу планковской длины за единицу планковского времени.

C 2006 года появляются сообщения о том, что в так называемом эффекте квантовой телепортации взаимодействие распространяется быстрее скорости света. Например, в 2008 г. исследовательская группа доктора Николаса Гизена (Nicolas Gisin) из университета Женевы, исследуя разнесённые на 18 км в пространстве запутанные фотонные состояния, якобы показала, что «взаимодействие между частицами осуществляется со скоростью, примерно в сто тысяч раз большей скорости света». Ранее также обсуждался так называемый парадокс Хартмана — сверхсветовая скорость при туннельном эффекте. Анализ этих и подобных результатов показывает, что они не могут быть использованы для сверхсветовой передачи какого-либо несущего информацию сообщения или для перемещения вещества [6] .

В результате обработки данных эксперимента OPERA [7] , набранных с 2008 по 2011 год в лаборатории Гран-Сассо совместно с ЦЕРН, было зафиксировано статистически значимое указание на превышение скорости света мюонными нейтрино [8] . Сообщение об этом сопровождалось публикацией в архиве препринтов [9] . Полученные результаты специалисты подвергли сомнению, поскольку они не согласуются не только с теорией относительности, но и с другими экспериментами с нейтрино [10] . В марте 2012 года в том же тоннеле были проведены независимые измерения, и сверхсветовых скоростей нейтрино они не обнаружили [11] [12] . В мае 2012 года OPERA провела ряд контрольных экспериментов и пришла к окончательному выводу, что причиной ошибочного предположения о сверхсветовой скорости стал технический дефект (плохо вставленный разъём оптического кабеля) [13] .

В культуре

В фантастическом рассказе «Светопреставление» Александр Беляев описывает ситуацию, когда скорость света снижается до нескольких метров в секунду.

Космические скорости

Любой предмет, будучи подброшенным вверх, рано или поздно оказывается на земной поверхности, будь то камень, лист бумаги или простое перышко. В то же время, спутник, запущенный в космос полвека назад, космическая станция или Луна продолжают вращаться по своим орбитам, словно на них вовсе не действует сила притяжения нашей планеты. Почему так происходит?

На нашей Земле всемирное тяготение воздействует на любое материальное тело. Тогда логично будет предположить, что есть некая сила, нейтрализующая действие гравитации. Эту силу принято называть центробежной.

Центробежную силу легко ощутить привязав на один конец нитки небольшой груз и раскрутив его по окружности. При этом чем больше скорость вращения тем сильнее натяжение нити, а чем медленнее вращаем мы груз тем больше вероятность, что он упадет вниз.

Траектория полета космических кораблей

Таким образом мы вплотную приблизились к понятию «космическая скорость». Простыми словами — это скорость, позволяющая любому объекту преодолеть тяготение небесного тела и их системы. Космические скорости используются для характеристики типа движения космического аппарата в сфере действия небесных тел: Солнца, Земли и Луны, других планет и их естественных спутников, а также астероидов и комет.

Это также значит, что космическая скорость есть у каждого объекта, который движется по орбите. Размер и форма орбиты космического объекта зависят от величины и направления скорости, которую данный объект получил на момент выключения двигателей, и высоты, на которой произошло данное событие.

Космическая скорость (первая v1, вторая v2, третья v3 и четвёртая v4) — это минимальная скорость, при которой какое-либо тело в свободном движении сможет:

• v1 — стать спутником небесного тела (то есть способность вращаться по орбите вокруг небесного тела и не падать на его поверхность);
• v2 — преодолеть гравитационное притяжение небесного тела и начать двигаться по параболической орбите;
• v3 — покинуть при запуске планету, преодолев притяжение Звезды;
• v4 — при запуске из планетной системы объект покинул Галактику.

Космические скорости могут быть рассчитаны для любого удаления от центра Земли. Однако в космонавтике часто используются величины, рассчитанные конкретно для поверхности шаровой однородной модели Земли радиусом 6371 км.

Первая космическая скорость

Первая космическая скорость или Круговая скорость V1 — скорость, которую необходимо придать объекту без двигателя, пренебрегая сопротивлением атмосферы и вращением планеты, чтобы вывести его на круговую орбиту с радиусом, равным радиусу планеты.

Иными словами, первая космическая скорость — это минимальная скорость, при которой тело, движущееся горизонтально над поверхностью планеты, не упадёт на неё, а будет двигаться по круговой орбите.

Формула

где G — гравитационная постоянная (6,67259·10−11 м³·кг−1·с−2), — первая космическая скорость. Подставляя численные значения (для Земли M = 5,97·1024 кг, R = 6 378 км), найдем

7,9 км/с

Первую космическую скорость можно определить через ускорение свободного падения —

Вторая космическая скорость

Вторая космическая скорость (параболическая скорость, скорость убегания) — наименьшая скорость, которую необходимо придать объекту (например, космическому аппарату), масса которого пренебрежимо мала относительно массы небесного тела (например, планеты), для преодоления гравитационного притяжения этого небесного тела.

Предполагается, что после приобретения телом этой скорости оно не получает негравитационного ускорения (двигатель выключен, атмосфера отсутствует).

Вторая космическая скорость определяется радиусом и массой небесного тела, поэтому она своя для каждого небесного тела (для каждой планеты) и является его характеристикой:

• для Земли вторая космическая скорость равна 11,2 км/с. Тело, имеющее около Земли такую скорость, покидает окрестности Земли и становится спутником Солнца.
• для Солнца вторая космическая скорость составляет 617,7 км/с.
• для Луны скорость убегания равна 2,4 км/с , несмотря на то, что в действительности для удаления тела на бесконечность с поверхности Луны необходимо преодолеть притяжение Земли, Солнца и Галактики.

Параболической вторая космическая скорость называется потому, что тела, имеющие вторую космическую скорость, движутся по параболе.

Формула

Для получения формулы второй космической скорости удобно обратить задачу — спросить, какую скорость получит тело на поверхности планеты, если будет падать на неё из бесконечности. Очевидно, что это именно та скорость, которую надо придать телу на поверхности планеты, чтобы вывести его за пределы её гравитационного влияния .

Третья космическая скорость

Третья космическая скорость — минимально необходимая скорость тела без двигателя, позволяющая преодолеть притяжение Солнца и в результате уйти за пределы Солнечной системы.

Только на космических кораблях, которым доступны такие скорости, принципиально могут быть осуществлены пилотируемые межзвёздные перелёты к планетным системам других звёзд.

Взлетая с поверхности Земли и наилучшим образом используя орбитальное движение планеты космический аппарат может достичь третей космической скорости уже при 16,6 км/с относительно Земли, а при старте с Земли в самом неблагоприятном направлении его необходимо разогнать до 72,8 км/с.

Здесь для расчёта предполагается, что космический аппарат приобретает эту скорость сразу на поверхности Земли и после этого не получает негравитационного ускорения (двигатели выключены и сопротивление атмосферы отсутствует). Если к тому же учесть притяжение других планет, которое может как ускорить, так и притормозить аппарат, то диапазон возможных значений 3-й космической скорости станет еще больше.

При наиболее энергетически выгодном старте скорость объекта должна быть сонаправлена скорости орбитального движения Земли вокруг Солнца. Орбита такого аппарата в Солнечной системе представляет собой параболу.

Четвёртая и пятая космическая скорости

Четвёртая космическая скорость — минимально необходимая скорость тела без двигателя, позволяющая преодолеть притяжение галактики Млечный Путь. Она используется довольно редко.

Четвёртая космическая скорость не постоянна для всех точек Галактики, а зависит от расстояния до центральной массы.

Для нашей галактики таковой является объект Стрелец A*, сверхмассивная чёрная дыра.

По грубым предварительным расчётам в районе нашего Солнца четвёртая космическая скорость составляет около 550 км/с. Значение сильно зависит не только (и не столько) от расстояния до центра галактики, а от распределения масс вещества по Галактике, о которых пока нет точных данных, ввиду того что видимая материя составляет лишь малую часть общей гравитирующей массы, а все остальное — скрытая масса.

Ещё реже в некоторых источниках встречается понятие «пятая космическая скорость». Это скорость, позволяющая добраться до иной планеты звездной системы вне зависимости от разности плоскостей эклиптики планет. Например, для Солнечной системы и, конкретно, для Земли, чтобы орбита межпланетного перелета была перпендикулярной к земной орбите, нужна скорость запуска 43,6 километра в секунду.

Основные формулы школьного курса астрономии

Решение задач по астрономии формирует у школьников навыки самостоятельной работы с дополнительной литературой, целенаправленного поиска и получения необходимой информации, позволяет углубить и расширить знания по прикладным вопросам астрономии, являющимся неотъемлемой частью предмета. При решении задач можно пользоваться любыми астрономическими таблицами и необходимыми формулами.

Задачи по астрономии носят не только качественный, оценочный характер. Умение решать расчетные задачи предполагает знание астрономических формул.

Предлагаемая подборка формул поможет в работе учителя и при подготовке учеников к контрольным и олимпиадным мероприятиям.

Просмотр содержимого документа
«Основные формулы школьного курса астрономии»

1. Теоретическая разрешающая способность телескопа:

, где λ – средняя длина световой волны (5,5·10 -7 м), D – диаметр объектива телескопа, или , где D – диаметр объектива телескопа в миллиметрах.

2. Увеличение телескопа:

, где F – фокусное расстояние объектива, f – фокусное расстояние окуляра.

3. Высота светил в кульминации:

высота светил в верхней кульминации, кульминирующих к югу от зенита ( ):

, где  – широта места наблюдения,  – склонение светила;

высота светил в верхней кульминации, кульминирующих к северу от зенита ( ):

, где  – широта места наблюдения,  – склонение светила;

высота светил в нижней кульминации:

, где  – широта места наблюдения,  – склонение светила.

4. Астрономическая рефракция:

приближенная формула для вычисления угла рефракции, выраженного в секундах дуги (при температуре +10°C и атмосферном давлении 760 мм. рт. ст.):

, где z – зенитное расстояние светила (для z

, где  – прямое восхождение какого-либо светила, t – его часовой угол;

среднее солнечное время (местное среднее время):

T_m=T_+, где T_ – истинное солнечное время,  – уравнение времени;

, где  – долгота пункта с местным средним временем T_m, выраженная в часовой мере, T₀ – всемирное время в этот момент;

, где T₀ – всемирное время; n – номер часового пояса (для Гринвича n=0, для Москвы n=2, для Красноярска n=6);

или

6. Формулы, связывающие сидерический (звездный) период обращения планеты T с синодическим периодом ее обращения S:

для верхних планет:

;

для нижних планет:

, где T_ – звездный период обращения Земли вокруг Солнца.

7. Третий закон Кеплера:

, где Т₁ и Т₂ – периоды обращения планет, a₁ и a₂ – большие полуоси их орбиты.

8. Закон всемирного тяготения:

, где m₁ и m₂ – массы притягивающихся материальных точек, r – расстояние между ними, G – гравитационная постоянная.

9. Третий обобщенный закон Кеплера:

, где m₁ и m₂ – массы двух взаимно притягивающихся тел, r – расстояние между их центрами, Т – период обращения этих тел вокруг общего центра масс, G – гравитационная постоянная;

для системы Солнце и две планеты:

, где Т₁ и Т₂ – сидерические (звездные) периоды обращения планет, М – масса Солнца, m₁ и m₂ – массы планет, a₁ и a₂ –большие полуоси орбит планет;

для систем Солнце и планета, планета и спутник:

, где M – масса Солнца; m₁ – масса планеты; m₂ – масса спутника планеты; Т₁ и a₁ – период обращения планеты вокруг Солнца и большая полуось ее орбиты; Т₂ и a₂ – период обращения спутника вокруг планеты и большая полуось его орбиты;

.

10. Линейная скорость движения тела по параболической орбите (параболическая скорость):

, где G – гравитационная постоянная, M – масса центрального тела, r – радиус-вектор избранной точки параболической орбиты.

11. Линейная скорость движения тела по эллиптической орбите в избранной точке:

, где G – гравитационная постоянная, M – масса центрального тела, r – радиус-вектор избранной точки эллиптической орбиты, a – большая полуось эллиптической орбиты.

12. Линейная скорость движения тела по круговой орбите (круговая скорость):

, где G – гравитационная постоянная, M – масса центрального тела, R – радиус орбиты, v_p – параболическая скорость.

13. Эксцентриситет эллиптической орбиты, характеризующий степень отклонение эллипса от окружности:

, где c – расстояние от фокуса до центра орбиты, a – большая полуось орбиты, b – малая полуось орбиты.

14. Связь расстояний перицентра и апоцентра с большой полуосью и эксцентриситетом эллиптической орбиты:

, , , где r_П – расстояния от фокуса, в котором находится центральное небесное тело, до перицентра, r_А – расстояния от фокуса, в котором находится центральное небесное тело, до апоцентра, a – большая полуось орбиты, e – эксцентриситет орбиты.

15. Расстояние до светила (в пределах Солнечной системы):

, где R_ – экваториальный радиус Земли, ρ₀– горизонтальный параллакс светила, выраженный в секундах дуги,

или , где D₁ и D₂ – расстояния до светил, ρ₁ и ρ₂ – их горизонтальные параллаксы.

16. Радиус светила:

, где ρ – угол, под которым с Земли виден радиус диска светила (угловой радиус), R_ – экваториальный радиус Земли, ρ₀– горизонтальный параллакс светила.

17. Расстояние до звезд:

в парсеках: , где  – годичный параллакс звезды, выраженный в радианах;

в астрономических единицах: , где  – годичный параллакс звезды, выраженный в секундах дуги;

в километрах: , где  – годичный параллакс звезды, выраженный в секундах дуги, a – средний радиус (большая полуось) земной орбиты.

18. Связь блеска звезды и ее звездной величины (формула Погсона):

, где I₁ – освещенность, создаваемая звездой, звездная величина которой равна m₁, и I₂ – освещенность, создаваемая другой звездой, звездная величина которой равна m₂.

19. Абсолютная звездная величина:

, где m – видимая звездная величина, R – расстояние до звезды в парсеках.

20. Закон Стефана–Больцмана:

ε=σT 4 , где ε – энергия, излучаемая в единицу времени с единицы поверхности, Т – температура (в кельвинах), а σ – постоянная Стефана–Больцмана.

21. Закон Вина:

, где λ_max – длина волны, на которую приходится максимум излучения абсолютно черного тела (в сантиметрах), Т – абсолютная температура в кельвинах.

22. Закон Хаббла:

, где v – лучевая скорость удаления галактики, c – скорость света, Δλ – доплеровское смещение линий в спектре, λ – длина волны источника излучения, z – красное смещение, r – расстояние до галактики в мегапарсеках, H – постоянная Хаббла, равная 75 км / (сМпк).