Содержание
Расчет стержня на изгиб с кручением
Совместное действие изгибающего и крутящего моментов в сечении балки, стержня, бруса, вала на практике встречается гораздо чаще, чем «чистый» изгиб и «чистое» кручение указанных элементов конструкций и машин. Часто к воздействию моментов добавляется.
. сжатие или растяжение. В итоге получаем сложно нагруженную деталь. Как рассчитать такую деталь на прочность.
Об общем взгляде на тему прочностных расчетов, о статическом изгибе и изгибе при ударе можно прочитать в трех весьма популярных у читателей блога статьях. Для этого нужно перейти по ссылкам и посмотреть здесь, тут, и еще вот здесь.
Чаще всего рассматриваемому виду нагружения подвержены валы, поэтому примеры решения задачи на изгиб с кручением для валов широко распространены в Сети. Реже рассматриваются примеры стержней и балок с ломаной осью. Исполняя часто роль кронштейнов, такие стержни используются повсеместно.
В статье, предлагаемой вашему вниманию, представлен пример расчета на изгиб с кручением стержня постоянного круглого сечения с ломаной осью. Разобравшись с алгоритмом решения этой задачи и поняв суть, вы сможете решать любые подобные задачи для стержней разных форм при различных схемах нагрузок.
Изгиб с кручением стержня с ломаной осью. Расчет в Excel.
Для выполнения несложных расчетов запускаем программу MS Excel. Выполнить расчет также можно в программе Calc из свободно распространяемых пакетов Apache OpenOffice или LibreOffice.
Задача:
Найти диаметр сечения стержня по третьей теории прочности — теории наибольших касательных напряжений.
Исходные данные:
Имеется консольный стержень круглого сечения из стали марки Ст3, закрепленный в точке 4, согнутый на 90 градусов в разных плоскостях в точках 2 и 3 и состоящий в результате из трех прямых участков: 1-2, 2-3 и 3-4.
На стержень действуют внешние нагрузки:
В точке 1 приложена сила F = qa
Между точками 2 и 3 действует равномерно распределенная нагрузка q
В точке 3 приложен момент M = qa 2
«Базовый» линейный размер a =0,4 м
Величина распределенной нагрузки q =200 Н/м
1. Так как стержень подвергается совместному воздействию изгиба и кручения, то в качестве предельно допустимого напряжения для стали Ст3 примем [σ] =0,58 [σт] =145 Н/мм 2 и запишем
в ячейку D3: 145
Расчетная схема к задаче и эпюры моментов, действующих в различных сечениях стержня, показаны на рисунке, расположенном ниже. (Далее мы детально рассмотрим, как эти эпюры строятся.)
Результаты расчетов, этап №1:
На этом этапе программа Excel нам не понадобится. Мы будем составлять уравнения моментов, действующих в различных сечениях стержня, решать их в общем виде (без числовых значений) и строить эпюры.
Обратите внимание на то, как меняются направления осей координат в точках изгибов!
Начинаем рассмотрение схемы с точки 1, постепенно двигаясь через точки 2 и 3 к заделке 4.
1. Участок 1-2
На первый участок стержня оказывает воздействие только сила F . Сила F параллельна оси x и не создает вокруг нее момента! Сила F перпендикулярна оси y и создает вокруг нее момент! Сила F хотя и перпендикулярна оси z , но не создает вокруг нее момента потому, что линия действия силы пересекает ось z !
Mx ( z1 )=0
При z1 = a /2: My (1)= q * a *( a /2- a /2)=0
При z1 =0: My (2)= q * a *( a /2-0)= qa 2 /2
Mz( z1 )=0
Теперь мы имеем все данные для построения эпюр моментов на первом участке стержня 1-2.
2. Участок 2-3
На второй участок оказывают воздействие сила F и распределенная нагрузка q . Сила F растягивает участок стержня 2-3 вдоль оси z и создает постоянный момент вокруг оси y равный F * a /2. Распределенная нагрузка q противодействует этому моменту. Вокруг оси z на втором участке нагрузки моментов не создают.
My ( z2 )= F * a /2+ q *( a — z2 ) 2 /2= q * a * a /2- q *( a — z2 ) 2 /2
При z2 = a : My (2)= q * a * a /2- q *( a — a ) 2 /2= qa 2 /2
При z2 =0: My (3)= q * a * a /2- q *( a -0) 2 /2=0
Mz ( z2 )=0
Все данные для построения эпюр моментов на втором участке стержня 2-3 получены.
3. Участок 3-4
На третий участок стержня оказывают воздействие и сила F и распределенная нагрузка q и момент M . Сила F изгибает участок стержня 3-4 вокруг оси x и создает постоянный момент вокруг оси z равный F * a /2. Распределенная нагрузка q изгибает третий участок стержня 3-4 вокруг оси y и создает постоянный момент вокруг оси z равный q * a * a /2. Момент M действует вокруг оси z в одном направлении с моментом от распределенной нагрузки q , и вместе они противодействуют моменту от силы F .
Mx ( z3 )= F *( a — z3 )= q * a *( a — z3 )
При z3 = a : Mx (3)= q * a *( a — a )=0
При z3 =0: Mx (4)= q * a *( a -0)= qa 2
При z3 = a : My (3)= q * a *( a — a )=0
При z2 =0: My (4)= q * a *( a -0)= qa 2
Mz ( z3 )= M + q * a * a /2- F * a /2= q * a 2 + q * a 2 /2- q * a 2 /2= qa 2
Данные для построения эпюр моментов на третьем участке стержня 3-4 получены.
Результаты расчетов, этап №2:
При проведении анализа эпюр моментов становится очевидным, что наиболее нагруженным сечением стержня, подверженного изгибу с кручением, является сечение в точке 4. В этой точке действуют максимальные моменты вокруг каждой из трех осей!
Вычислим вручную значения моментов в опасном сечении и запишем в соответствующие ячейки листа программы – продолжим ввод исходных данных в расчет в Excel.
2. Изгибающий момент Mx = Mx (4)= qa 2 =200*0,4 2 =32,000 в Н*м запишем
в ячейку D4: 32,000
3. Изгибающий момент My = My (4)= qa 2 =200*0,4 2 =32,000 в Н*м впишем
в ячейку D5: 32,000
4. Крутящий момент Mz = Mz (4)= qa 2 =200*0,4 2 =32,000 в Н*м занесем
в ячейку D6: 32,000
5. Эквивалентный момент M э в Н*м по третьей теории прочности вычислим
в ячейке D8: =(D6^2+D7^2+D8^2)^0,5 =55,426
Mэ =( Mx 2 + My 2 + Mz 2 ) 0,5
6. Расчет диаметра сечения круглого стержня d в мм выполним
в ячейке D9: =(32*D10*1000/ПИ()/D5)^(1/3) =15,732
d ≥((32* Mэ )/(π* [σ] )) (1/3)
Расчет в Excel завершен, мы решили задачу расчета стержня на изгиб с кручением – определили размеры сечения круглого стержня по третьей теории прочности.
Замечание.
В конце статьи хочу обратить ваше внимание на один очень важный момент. Формула для определения диаметра стержня несколькими строками выше была получена из следующих зависимостей:
Mэ =( Mx 2 + My 2 + Mz 2 ) 0,5
Mэ / W0-0 ≤ [ σ]
W0-0 =π* d 3 /32
Здесь W0-0 – это осевой момент сопротивления сечения стержня относительно нейтральной оси! А нейтральная ось – это ось, вокруг которой происходит реальный изгиб, то есть линия, на которой нормальные напряжения равны нулю и меняют свой знак.
Угол наклона нейтральной оси 0-0 к оси x можно вычислить по формуле:
α =arctg( My / Mx ) (В нашем примере: α =45°)
Вышеприведенные формулы справедливы лишь для стержней круглого сечения!
Расчет стержней с иными формами сечения – прямоугольником, квадратом, уголком, швеллером выполняется по такому же алгоритму, но по другим конечным формулам!
Однако, это, возможно, тема будущей статьи.
Надеюсь, мое повествование было внятным и не слишком для вас утомительным.
Для получения информации о выходе новых статей и для скачивания рабочих файлов программ предлагаю вам подписаться на анонсы в окне, расположенном в конце статьи или в окне вверху страницы.
Уважаемые читатели, просьба вопросы, отзывы, и замечания оставлять в комментариях внизу страницы.
Построение эпюр в программе Excel.
ПОМОЩЬ В РЕШЕНИИ КУРСОВЫХ, ДИПЛОМНЫХ И ДРУГИХ СТУДЕНЧЕСКИХ РАБОТ:https://a24.club/order-authors/2733823?ref=df02e13df3a86e12
Электронные и аудио книги https://www.litres.ru/stiven-hoking/?lfrom=798031852&utm_campaign=eml_2418824&utm_medium=eml_&utm_source=link_0005&from=email&pin=798031852&ticket=9742764161&utm_urg=131906129
1) Построение эпюр в программе Excel
2) Вывод формул для построение криволинейной эпюры от распределенной нагрузки
3) Подробная инструкция
Видео Построение эпюр в программе Excel. канала ФИЗМАТ