Как преобразовать звезду в треугольник

Звезда в треугольник

Любые сложные электрические цепи можно упростить. Один из методов — эквивалентное преобразование звезды в треугольник. При этом в электрической схеме уменьшается количество узлов или количество ветвей. Преобразование треугольника в звезду возможно только для пассивных элементов, т.е. для потребителей электрической энергии.

Определение соединения сопротивлений звездой

Если соединение трех сопротивлений имеет общий узел и имеет внешний вид трехлучевой звезды, то такое соединение сопротивлений называется звездой.

Способ соединения трех сопротивлений, находящихся в пассивных ветвях (ветвь не содержит источник ЭДС), при котором все 3 сопротивления имеют одну общую точку, называется звездой.

Ветви, составляющие звезду сопротивлений называются лучами.

В курсе теоретических основ электротехники обычно принято электрические элементы цепи изображать горизонтально и вертикально. Так что схема ниже так же является соединением звездой.

Определение соединения сопротивлений треугольником

Если три сопротивления соединены так, что образуют собою стороны треугольника, то такое соединение сопротивлений называют треугольником сопротивлений.

Причина использования преобразования звезды в треугольник

При выполении расчета сложной электрической цепи иногда необходимо выполнить упрощение (свертку, преобразование) схемы. Обычно для этого ищут сначала последовательное или параллельное соединений сопротивлений. Если таких соединений не находят то выполняют экивалентное преобразование звезды в треугольник, если в электрической цепи есть соединение сопротивлений звездой.

Если в электрической цепи нашли соединение сопротивлений звездой, то между концами лучей подставляем сопротивления в виде треугольника.

Удаляем соединение звездой. Получается эквивалентное преобразование звезды в треугольник.

Формулы для расчета эквивалентного преобразования звезды в треугольник

Пример преобразования

Для приведенной электрической цепи необходимо выполнить экивалентное преобразование звезды R1 -R2 -R3 в треугольник R12 — R23 — R31.

Дорисовываем три сопротивления R12, R23, R31 к концам лучей сопротивлений R1, R2 и R3.

Удаляем сопротивления R1, R2 и R3. Параметры эквивалентных сопротивлений R12, R23, R31 рассчитываем по формулам.

№7 Эквивалентное преобразование треугольника и звезды сопротивлений.

Пусть требуется рассчитать цепь, показанную на рис. 7.1, а.

Рис. 7.1 — Преобразования электрической цепи

Расчет можно осуществить одним из описанных выше методов. Но так как в цепи имеется только один источник питания, наиболее простым было бы использование закона Ома. Однако попытка определения общего сопротивления цепи оказывается безрезультатной, так как здесь мы не находим ни последовательно, ни параллельно соединенных сопротивлений. Решить задачу помогает преобразование треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду.

Треугольник и звезда сопротивлений имеют вид, показанный на рис. 7.2.

Рис. 7.2 — Треугольник и звезда сопротивлений

Если при замене одной из этих схем другой не изменяются потенциалы одноименных точек и подтекающие к ним токи, то во внешней цепи также не произойдет никаких изменений. В этом случае говорят, что схемы эквивалентны.

Можно показать, что условием эквивалентности являются следующие уравнения:

а) при преобразовании треугольника в звезду:

б) при преобразовании звузды в треугольник:

Например, сопротивление звезды R1, присоединенное к узлу 1, получается перемножением сопротивлений R12 и R31 треугольника, присоединенных к этому же узлу, и делением полученного произведения на сумму всех сопротивлений треугольника.

При обратном преобразовании сопротивление треугольника R12, лежащее между узлами 1 и 2, равно сумме сопротивлений звезды R1 и R2, присоединенных к этим узлам, плюс их произведение, деленное на сопротивление третьего луча звезды R3.

Пример 1.3. Рассчитать токи в цепи, изображенной на рис. 1.12, а, при следующих числовых значениях ее параметров: Е = 660 В, R1 = 20 Ом, R2 = 30 Ом, R3 = 5 Ом, R4 = 20 Ом, R5 = 50 Ом.

а) Решение преобразованием треугольника в звезду.

Теперь общее сопротивление цепи легко находится:

Ток, протекающий по источнику (одинаковый в заданной и преобразованной схемах), равен:

Токи в паралельных ветвях:

Возвращаемся к исходной схеме (рис. 7.1, а):

Ток в пятой ветви находим из первого закона Кирхгофа: I5 = I1–I3 = 26–28 = –2 A. Знак минус говорит о том, что действительное направление тока I5 противоположно указанному на схеме.

б) Решение преобразованием звезды в треугольник.

Преобразуем звезду, образуемую в схеме на рис. 7.1, а сопротивлениями R1, R5 и R3, в эквивалентный треугольник (рис. 7.1, в).

Определяем сопротивления треугольника:

Теперь рассчитываем преобразованную цепь. Сначала находим эквивалентные сопротивления участков ac и cd:

Затем определяем общее сопротивление и токи:

Возвращаемся к исходной схеме:

Рекомендуем подставить в приведенные формулы числовые значения параметров цепи и сравнить результаты вычислений с полученными в примере 1.3а.

Основы электротехники и электроники: Курс лекций , страница 7

Вернемся к схеме на Рис. 9.2. Здесь эквивалентное сопротивление двух параллельных ветвей:

Ток, втекающий в узел, – это, несомненно, . Согласно правилу параллельного разброса:

Теперь находим составляющие токов, создаваемых источником ЭДС. Для этого удаляем из схемы источник тока. Так как внутреннее сопротивление источника тока бесконечно велико, на его месте (между точками a и b) оставляем разрыв (Рис. 9.4).

Цепь на Рис. 9.4 – это одноконтурная цепь. Здесь

С другой стороны, ток можно найти по закону Ома:

Наконец, находим реальные токи (см. Рис. 9.1):

Метод наложения не может использоваться для расчета мощности, поскольку мощность пропорциональна не току, а квадрату тока.

Заметим также, что метод наложения применим только к линейным цепям.

10. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЗВЕЗДЫ В ТРЕУГОЛЬНИК И ТРЕУГОЛЬНИКА В ЗВЕЗДУ

Соединение трех сопротивлений, имеющее вид трехлучевой звезды (Рис. 10.1а), называют звездой, а соединение трех сопротивлений, при котором они образуют стороны треугольника (Рис. 10.1б), называют треугольником. В узлах 1, 2, 3 звезда и треугольник соединяются с остальной частью схемы (не показанной на рисунках).

Токи, подтекающие к узлам 1, 2, 3, имеют обозначения . Потенциалы узлов 1, 2 и 3 – .

Часто при расчетах электрических цепей необходимо преобразовывать треугольник в звезду или звезду в треугольник. Если преобразование выполнить таким образом, что потенциалы узлов 1, 2, 3 и токи, подтекающие к этим узлам, останутся неизменными, то вся внешняя схема «не заметит» произведенной замены. Формулы преобразований получим из законов Ома и Кирхгофа.

Для звезды по первому закону Кирхгофа:

Здесь и далее знак над током означает, что формула относится к звезде.

Но, с другой стороны, из закона Ома получаем соотношения:

Подставим (10.2) в (10.1) и найдем :

Так как в треугольнике нет узла 0, исключим потенциал этого узла из соотношений (10.2). Для этого подставляем (10.3) в (10.2) и, в частности, для тока получим выражение:

Для треугольника по первому закону Кирхгофа:

Здесь и далее знак над током означает, что формула относится к треугольнику.

Так как токи, подтекающие извне к звезде и треугольнику, равны, приравняем и из (10.4) и (10.5). Проделаем эту операцию и для других токов и после преобразований получим:

Из выражений (10.6-10.8) получаются формулы сопротивлений при преобразовании звезды в треугольник:

Из полученных формул выводятся обратные, для преобразования треугольника в звезду:

Чтобы запомнить и правильно использовать формулы (10.9-10.14), можно порекомендовать следующий прием.

При преобразовании звезды в треугольник установить два пальца в те узлы, к которым будет подсоединяться ветвь треугольника. Искомое сопротивление ветви треугольника будет равно сумме сопротивлений лучей звезды, подходящих к пальцам, плюс произведение этих сопротивлений, деленное на сопротивление оставшегося луча.

При преобразовании треугольника в звезду установить один палец в тот узел, к которому будет подсоединяться луч звезды. Искомое сопротивление луча звезды – это произведение сопротивлений ветвей, подходящих к пальцу, деленное на сумму сопротивлений всех трех ветвей треугольника.

Если сопротивления всех ветвей звезды или треугольника равны, такие звезда и треугольник называются симметричными. Сопротивления ветвей эквивалентных симметричных звезды и треугольника связаны соотношением, которое можно вывести из (10.9-10.14):

Решить задачу (Рис. 10.2).

Преобразуем звезду R₄, R₅, R₆ в эквивалентный треугольник R_ab, R_bc, R_ac (Рис. 10.3).

Рассчитываем параметры треугольника:

Сворачиваем сопротивления параллельных ветвей:

Сворачиваем все сопротивления в одно эквивалентное:

Находим ток по закону Ома:

11. СВЕРТКА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ВЕТВЕЙ В ОДНУ ЭКВИВАЛЕНТНУЮ

Пусть несколько параллельных ветвей (с источниками и без) располагаются между ветвями a и b (Рис. 11.1 а). При этом извне в узел a втекает ток I, а из узла b этот же ток вытекает. Заменим эти параллельные ветви одной эквивалентной, содержащей ЭДС E_экв и сопротивление R_экв (Рис. 11.1 б).

Для этого запишем уравнения по первому закону Кирхгофа и закону Ома для параллельных ветвей:

Преобразование треугольник/звезда: что за сценой?

Преобразования треугольник/звезда позволяют нам заменить часть схемы другой схемой, которая, хотя и эквивалентна в поведении, но может значительно упростить анализ общей схемы. Здесь мы узнаем, откуда берутся эти преобразования.

Зачем?

Когда мы начали изучать электронику, резисторы были соединены либо последовательно, либо параллельно, и мы научились заменять такие комбинации их эквивалентными сопротивлениями, часто с целью уменьшения всей сети сопротивлений до единственного эквивалентного сопротивления, видимого из источника питания. После этого появились схемы (рисунок 1), которые содержали резисторы, которые не были ни последовательными, ни параллельными, но их всё же можно было убрать, тщательно определяя и сокращая фрагменты схемы в правильном порядке. Обратите внимание, что R₁ не параллелен и не последователен ни с R₂ , ни с R₃ , но путем объединения R₂ последовательно с R₄ , и объединяя R₃ последовательно с R₅ , мы можем затем объединить эти два эквивалентных сопротивления параллельно и, наконец, объединив результат последовательно с R₁ , получить полное сопротивление, видимое источнику питания, которое, используя закон Ома, поможет получить общий ток источника питания.

Рисунок 1

Но теперь мы подошли к схемам (рисунок 2), где нет никаких пар резисторов, которые включены последовательно или параллельно, – похоже, мы зашли в тупик. Одним из способов анализа этой схемы является использование закона напряжений Кирхгофа (второй закон) и закона токов Кирхгофа (первый закон) для получения алгебраических уравнений, которые мы можем решить для напряжений и токов. Хотя этот подход будет работать всегда (для этой и большинства других типов схем), он может быть довольно громоздким. Мы могли бы смириться с этим как с ценой возможности анализа этих более сложных схем, но иногда мы можем избежать оплаты этого счета, изменяя или «преобразовывая» фрагменты схемы, чтобы превратить ее в нечто, что мы можем уменьшить, используя только правила последовательного/параллельного объединения.

Рисунок 2

Для простоты мы будем рассматривать только цепи постоянного тока с резисторами, но эти принципы применимы к любой линейной системе переменного или постоянного тока. Кроме того, чтобы сфокусировать обсуждение на преобразованиях, мы найдем только общий ток, поставляемый источником напряжения, что означает, что мы стремимся свести всю сеть резисторов в единое эквивалентное сопротивление.

Давайте рассмотрим эти две схемы немного подробнее (рисунок 3). Мы видим, что единственная разница между ними заключается в том, что находится внутри пунктирных окружностей. В каждом случае цепь в окружности имеет три контакта, которые пересекают окружность для взаимодействия с остальной частью схемы. В левой цепи (рисунок 3(a)) резисторы подключены к контактам в конфигурации «треугольник» (в англоязычной литературе, конфигурация «delta», «дельта», названная в честь заглавной греческой буквы Δ). А в правой цепи резисторы подключены в конфигурации «звезда» (в англоязычной литературе, конфигурация «wye», «уай», названная в честь заглавной английской буквы Y, хотя в схеме она перевернута).

Рисунок 3

Теперь представьте, что резисторы внутри пунктирной окружности в левой цепи помещены в черный ящик, этот ящик удален из схемы и заменен другим черным ящиком, который заставляет схему вести себя точно так же. Далее представьте, что, когда вы открываете, этот новый ящик он содержит три резистора, расположенных как в правой цепи. Кто бы ни придумал второй черный ящик, он очень тщательно выбрал значения резисторов так, чтобы эти два блока были неразличимы для остальной части схемы: мы знаем, как анализировать правую схему, и теперь мы знаем, что когда мы это делаем, результаты можно применить к левой схеме, потому что они эквивалентны. Вот зачем выполнять преобразования «треугольник→звезда» и «звезда→треугольник».

Основные соотношения

Чтобы определить уравнения, связывающие резисторы в цепи, соединенной треугольником, с резисторами в цепи, соединенной звездой, нам ничего не нужно, кроме наших надежных формул для последовательных/параллельных соединений (и немного алгебры). Идея заключается в выравнивании эквивалентных сопротивлений между соответствующими парами контактов при отключенном оставшемся контакте (рисунок 4)

Рисунок 4

Выполнив это для эквивалентного сопротивления между контактами B-C, мы получим:

\[R_B + R_C = \frac \left( R_ + R_ \right) > + R_ + R_>\]

Если мы повторим этот процесс для каждой другой пары контактов по очереди, мы получим еще два аналогичных уравнения, и любое из них даст нам необходимую нам информацию (при условии, что мы распознаем задействованную симметрию).

Частный случай: симметричные схемы

Если сопротивления в каждом плече цепи, соединенной треугольником или звездой, равны, такая цепь считается «симметричной». Это означает, что

\[R_Y = R_A = R_B = R_C\]

Комбинация этого условия с соотношением из предыдущего раздела сразу приводит к уравнению преобразования для случая симметрии.

Это гораздо более значительный результат, чем может показаться на первый взгляд, и причина довольно проста – когда инженеры проектируют схемы с соединениями треугольник или звезда, они часто стараются сделать эти схемы симметричными. Хотя, конечно, это не всегда возможно, и поэтому мы должны иметь возможность разобраться с общим случаем, когда схема не симметрична.

Общий случай преобразования треугольник→звезда

Для преобразования треугольник/звезда нам дана известная схема, соединенная треугольником, и мы хотим найти значения для эквивалентной схемы, соединенной звездой, – поэтому мы пытаемся найти < R_A , R_B , R_C > для заданных < R_AB , R_BC , R_AC >.

Мы начнем с того, что запишем наши основные соотношения из первоначального вида в несколько более компактной форме, определив новую величину, R_ΔS , которая равна сумме сопротивлений всех резисторов в цепи, соединенной треугольником.

Затем мы делаем перестановку нашего соотношения для получения вида линейного алгебраического уравнения с неизвестными < R_A , R_B , R_C >.

Поскольку у нас есть три неизвестных, нам нужно еще два уравнения. Они получаются из эквивалентных сопротивлений, видимых при рассмотрении двух других пар контактов. Выполнив это (или используя симметрию) мы получаем

Сложив эти два уравнения вместе и вычтя наше первое уравнение, мы получим

Мы можем решить систему уравнению для двух других неизвестных сопротивлений (или использовать симметрию), чтобы получить

Эти отношения могут быть обобщены очень компактно. Сопротивление, подключенное к каждому узлу в эквивалентной цепи, соединенной звездой, равно произведению сопротивлений, подключенных к соответствующему узлу в цепи, соединенной треугольником, деленному на сумму сопротивлений всех резисторов в треугольнике. Обычно это выражается формулой, такой как

• R_N – резистор, подключенный к контакту N в схеме «звезда»;
• R_N1 и R_N2 – резисторы, подключенные к контакту N в схеме «треугольник»

Общий случай преобразования звезда→треугольник

Для преобразования звезда→треугольник нам дана известная схема, соединенная звездой, и мы хотим найти значения для эквивалентной схемы, соединенной треугольником. Следовательно, мы пытаемся найти < R_AB , R_BC , R_AC > для заданных < R_A , R_B , R_C >.

Это не так просто, как в случае преобразования треугольник→звезда потому, что неизвестные сопротивления перемножаются вместе, делая результирующие уравнения нелинейными. К счастью, мы можем обойти это неудобство, рассмотрев отношения сопротивлений резисторов в каждой цепи. Например, взяв отношение R_A к R_B , мы получаем

Другими словами, отношение сопротивлений резисторов, подключенных к любым двум контактам в схеме звезда, равно отношению сопротивлений резисторов, соединяющих те же самые два контакта с третьим контактом в схеме треугольник. Следовательно, два других соотношения будут следующими

Вооружившись этим, мы могли бы вернуться к нашим основным соотношениям и продолжить работу с ними, но в качестве отправной точки проще использовать одно из отношений из общего случая преобразования треугольник→звезда.

\[R_ = R_A \left( \over R_> + \over R_ > + 1 \right)\]

Два других выражения получаются аналогично (или согласно симметрии):

Эти выражения могут быть обобщены очень компактно. Сопротивление, подключенное между каждой парой узлов в эквивалентной схеме, соединенной треугольником, равно сумме сопротивлений двух резисторов, подключенных к соответствующим узлам в схеме, соединенной звездой, плюс произведение сопротивлений этих двух резисторов, деленное на сопротивление третьего резистора.

Общий способ выразить это состоит в том, чтобы поместить правую часть под общим знаменателем, а затем отметить, что числитель в каждом выражении является суммой произведений каждой пары сопротивлений в цепи, соединенной звездой, а знаменатель – это сопротивление, подключенное к третьему контакту.

\[R_P = R_A R_B + R_B R_C + R_A R_C\]

Пример

Давайте поработаем с задачей, показанной на рисунке 5. Прежде чем мы начнем, давайте определим ожидаемый ответ, чтобы у нас была хорошая проверка того, является ли наш окончательный ответ правильным. Для этого рассмотрим роль мостового резистора 150 Ом. Этот резистор служит для уменьшения общего сопротивления, обеспечивая путь между левой и правой сторонами цепи. Следовательно, самое высокое эффективное сопротивление будет иметь место, если этот резистор будет удален полностью, и в этом случае полное сопротивление будет равно параллельной комбинации левой и правой сторон, что приведет к

С другой стороны, наименьшее общее сопротивление было бы получено путем уменьшения мостового резистора до прямого короткого замыкания, и в этом случае общее сопротивление было бы равно параллельной комбинации двух верхних резисторов, включенной последовательно с параллельной комбинацией двух нижних резисторов, что приведет к

Теперь мы ЗНАЕМ, что наш ответ ДОЛЖЕН быть между этими двумя предельными значениями. Во многих случаях простой анализ границ, такой как этот, приводит к ответу, который «достаточно хорошо» подходит для данной цели, но давайте предположим, что это не так. Используя приведенные выше уравнения преобразования треугольник→звезда, мы сначала определяем сумму сопротивлений резисторов треугольника.

А затем находим значение R₁ , перемножив сопротивления двух резисторов, которые подключены к верхнему контакту, и разделив это произведение на сумму всех трех сопротивлений.

Повторим это же для R₂ .

Мы могли бы повторить это еще раз для R₃ , но давайте, вместо этого, определим R₃ , используя свойства отношений.

Теперь, когда у нас есть все сопротивления для эквивалентной схемы звезда, мы можем очень легко определить общее сопротивление.

Поскольку это значение находится между нашими минимальной и максимальной границами, мы полностью уверены, что это правильный ответ, или, даже если мы допустили ошибку, наш ответ довольно близок к правильному. Поэтому суммарный ток равен

Заключение

Теперь мы увидели, что преобразования треугольник/звезда полезны, и, что более важно, увидели, как их можно легко выполнить, используя не более чем концепцию эквивалентных сопротивлений с использованием последовательных/параллельных комбинаций резисторов. Это может хорошо вам помочь, поскольку дает вам возможность вывести эти формулы на лету, если когда-нибудь возникнет в них необходимость, и у вас не будет подходящего справочного материала. Но что еще более важно, это должно служить для более прочного закрепления фундаментальных понятий в наборе инструментов, который хранится у вас в голове, позволяя вам использовать в своей работе еще более эффективные навыки анализа цепей.

В конце мы должны принять к сведению распространенное заблуждение, заключающееся в том, что преобразования треугольник↔звезда являются ЕДИНСТВЕННЫМ способом анализа цепей, которые нельзя уменьшить другими способами. В действительности, хотя эти преобразования могут сделать нашу жизнь проще, они не обязательны, поскольку ЛЮБОЙ контур, который можно проанализировать с их помощью, также можно проанализировать с помощью правил Кирхгофа, либо напрямую, либо с помощью одного из более формализованных методов их применения, включая метод контурных токов или метод узловых напряжений, а также с методиками, такими как эквивалентная схема Тевенина.