Алгебра логики
АЛГЕБРА ЛОГИКИ — система алгебраич. методов решения логич. задач, а также совокупность задач, решаемых такими методами. А. л. в узком смысле слова алгебраич. (табличное, матричное) построение классич. логики высказываний, в котором рассматриваются… … Философская энциклопедия
алгебра логики — АЛГЕБРА ЛОГИКИ исторически первая форма математической (символической) логики, сложившаяся к последней трети 19 в. К ее созданию привела аналогия между решением алгебраических уравнений и выводом следствий из посылок, а также то, что… … Энциклопедия эпистемологии и философии науки
алгебра логики — булева алгебра — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом Синонимы булева алгебра EN logical algebra … Справочник технического переводчика
АЛГЕБРА ЛОГИКИ — система алгебраических методов решения логических задач и совокупность таких задач; в узком смысле табличное, матричное построение логики высказываний, определяющее логические операции над ними … Большой Энциклопедический словарь
АЛГЕБРА ЛОГИКИ — раздел математической логики, изучающий строение сложных логических высказываний и способы установления их истинности с помощью алгебраических методов. В формулах А. л. переменные являются логическими или двоичными, т. е. принимающими только два… … Большая политехническая энциклопедия
Алгебра логики — Не следует путать с булевой алгеброй. Алгебра логики (алгебра высказываний) раздел математической логики, в котором изучаются логические операции над высказываниями[1]. Чаще всего предполагается (т. н. бинарная или двоичная логика, в… … Википедия
алгебра логики — система алгебраических методов решения логических задач и совокупность таких задач. * * * АЛГЕБРА ЛОГИКИ АЛГЕБРА ЛОГИКИ, система алгебраических методов решения логических задач и совокупность таких задач; в узком смысле табличное, матричное… … Энциклопедический словарь
алгебра логики — logikos algebra statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. algebra of logic vok. Algebra der Logik, f; logische Algebra, f rus. алгебра логики, f pranc. algèbre logique, f … Automatikos terminų žodynas
АЛГЕБРА ЛОГИКИ — раздел математической логики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логич. значений (истинности пли ложности), и логич. операций над ними. А. л. возникла в сер. 19 в. в трудах Дж. Буля (см. [1], [2]) и развилась затем в работах Ч … Математическая энциклопедия
АЛГЕБРА ЛОГИКИ — раздел матем. логики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логич. значений (истинности или ложности), и логич. операции над ними. В А. л. принято отождествлять истинность высказывания с числом 1, а ложность с числом О (А = 1 и С … Большой энциклопедический политехнический словарь
Джордж Буль Отец булевой алгебры
Чистая математика была открыта Булем в работе, которую он назвал «Законы мышления».
Все механизмы, шестеренки, вакуумные лампы и печатные платы — все это еще не компьютер.
Важны также разработки Паскаля и Лейбница, о которых мы вам уже рассказали, и Бэббиджа, о достижениях которого мы расскажем в следующей главе. Эти разработки требовали первоначальной теории логики для того, чтобы, в конечном счете, вдохнуть жизнь в машины, которые «думают».
Расширив общий метод Лейбница, сформулированный на 188 лет раньше, в котором все истинные причины были сведены к виду вычислений, английский математик Д. Буль в 1854 году заложил основу того, что мы сегодня знаем как математическую логику, опубликовав работу «Исследование законов мышления».
В этой работе, изданной, когда ему было 39 лет, Буль свел логику к чрезвычайно простому типу алгебры, алгебры логики высказываний, которая представляла собой систему символов и правил, применяемую к различным объектам (числам, буквам, предложениям).
Его теория логики, основанная на трех основных действиях — AND (и), OR (или), NOT (не), — должна была стать в XX веке основой для разработки переключающих телефонных линий и проекта ЭВМ. Так же, как и идеями Лейбница, булевой алгеброй пренебрегали в течение многих лет после того, как она была создана.
Важность работы, признанной логиком де Морганом, современником Буля, заключалась в следующем: «Символические процессы алгебры, созданные как инструменты числового вычисления, компетентно выражают каждый закон мысли и обладают грамматикой и словарем всего того, что содержит систему логики. Мы это и не предполагали, пока это не было доказано в „Законах мышления“».
Джордж Буль родился 2 ноября 1815 года в Линкольне (Англия), в семье бедного башмачника. Хотя он был современником Ч. Бэббиджа, но происходил не из привилегированного класса, как Бэббидж.
Выходец из слоя общества, дети которого фактически были лишены посещения университета, Джордж должен был заниматься самостоятельно.
Хотя промышленная революция уже произошла в Англии, знание древних языков было показателем уровня образования джентльмена. Конечно, никакой латинский или греческий не преподавали в школе, которую посещал Буль. Буль сам изучил греческий и латинский, пользуясь поддержкой малообразованного отца, и в возрасте 12 лет сумел перевести оду Хорейса на английский язык. Ничего не понимая в качестве техники перевода, гордый отец Буля все-таки напечатал его в местной газете. Некоторые специалисты заявляли, что 12-летний мальчик не мог сделать такой перевод, другие отмечали серьезные технические дефекты перевода. Решив совершенствовать свои знания латинского и греческого, Буль провел следующие два года в серьезном изучении этих языков, и снова без чьей-либо помощи.
Хотя этих знаний было недостаточно, чтобы превратиться в истинного джентльмена, такая тяжелая работа дисциплинировала его и способствовала классическому стилю созревавшей булевой прозы.
Известно, что его отец оставил школу после трех лет обучения, и в то же время удивительно, что Буль получил раннее математическое образование от своего отца, который был самоучкой в этой области.
В возрасте 16 лет для Буля стало необходимостью начать трудовую жизнь, чтобы помочь своим родителям. Получив работу «младшего учителя», или ассистента учителя в начальной школе, Буль должен был провести 4 года, преподавая в двух различных школах.
Всегда думая о перспективе занимаемого места в жизни, Буль начал рассматривать несколько путей, открытых для него. Его первоначальное преподавание было всегда на уровне, однако он не считал это профессией, хотя она и была почетна. Буль стал священнослужителем.
Когда он не преподавал, то проводил время в серьезном изучении французского, немецкого и итальянского языков, в подготовке к церковной жизни. Неудачи, бедность его семейства еще раз разрушили планы Буля; родители убеждали его отказаться от религиозной жизни ввиду их ухудшающегося финансового положения.
Отзывчивый, как всегда, к советам родителей, Буль решил открыть собственную школу. Ему было 20 лет. Преподавая, Буль считал себя также студентом и приступил к изучению полного курса высшей математики. Он проштудировал «Математические начала» Ньютона, «Аналитическую механику» Лагранжа, труды Лапласа и других авторов.
Свои математические исследования Буль начал с разработки операторных методов анализа и теории дифференциальных уравнений, а затем подобно де Моргану, с которым к этому времени подружился, занялся математической логикой.
В своей первой основной работе «Математический анализ логики, являющийся опытом исчисления дедуктивного рассуждения» 1847 года Буль отчетливо показал так называемое количественное истолкование объектов логики и необходимость нового подхода к решению проблем логики.
Этот подход требовал изменения и расширения символического языка алгебры: выбора символики, операций и законов, определяющих эти операции и отражающих специфику объектов исследования, — т. е. по существу создания нового исчисления. Буль писал: «Те, кто знаком с настоящим состоянием символической алгебры, отдают себе отчет в том, что обоснованность процессов анализа зависит не от интерпретации используемых символов, а только от законов их комбинирования. Каждая интерпретация, сохраняющая предложенные отношения, равно допустима, и подобный процесс анализа может, таким образом, при одной интерпретации представлять решение вопроса, связанного со свойствами чисел, при другой — решение геометрической задачи и при третьей — решение проблемы динамики или статики. Необходимо подчеркнуть фундаментальность этого принципа».
С публикацией «Математического анализа…» взгляды и блестящая интуиция этого тихого, простого человека стали ясны его друзьям — математикам, которые советовали ему поступить в Кембридж, для получения общепринятого математического образования.
Буль неохотно отверг эти предложения, потому что его родные полностью существовали на его заработок. Не жалуясь на особенности своего обучения от случая к случаю, Буль, наконец, получил небольшой перерыв в 1849 году, когда его назначили профессором математики в недавно открытом Королевском колледже.
Это назначение позволило ему посвятить больше времени «Законам мышления…» — второй его основной работе, которую он непрерывно оттачивал и усовершенствовал в течение еще 5 лет, до публикации в 1854 году.
Как писал Буль в первом параграфе книги: «Цель данного трактата:
? исследовать фундаментальные законы тех действий разума, с помощью которых выполняются рассуждения;
? выразить их в символическом языке исчислений и на этой основе создать науку логики и построить метод;
? сделать этот метод непосредственно основой общего метода для выражения теории вероятностей;
? наконец, получить различные элементы истины;
? оценить в рамках решения этих вопросов некоторое вероятное сообщение».
И далее: «Теперь фактически исследования следующих страниц показывают логику, в практическом аспекте, как систему процессов, проведенных при помощи символов, имеющих определенную интерпретацию и подчиненных законам, основанным на этой единственной интерпретации. Но в то же самое время они показывают эти законы как идентичные по форме с законами общих символов алгебры, с одним единственным дополнением, viz».
Другими словами, в общей алгебре не выполняется, например: что каждый х тождественно равен своему квадрату — но это истина в булевой алгебре. Согласно Булю, х 2 = х для любого х в его системе. В числовой системе это уравнение имеет единственное решение «О» и «1». В этом заключается важность двоичной системы для современных компьютеров, логические части которых эффективно реализуют двоичные операции.
Кроме логики, булева алгебра имеет два других важных применения. Булева алгебра применяется в натуральной алгебре. Принимая также во внимание идею «количества элементов» в множестве, булева алгебра стала основой для теории вероятностей.
Несмотря на большое значение булевой алгебры во многих других областях математики, необычайная работа Буля в течение многих лет считалась странностью. Как и Бэббидж, Буль был человеком, опередившим свое время. Это произошло раньше, чем Альфред Уайтхед и Бертран Рассел опубликовали свой трехтомник «Принципы математики» (1910–1913), в котором рассматривались вопросы формальной логики.
Заслуживает внимания и то, что на достижения Буля частично опирались математические открытия, к тому времени появившиеся в Англии, в том числе и идеи Бэббиджа. Математики обратили внимание на идею Бэббиджа о математических операциях и величинах, использующихся в них. Идея стала возможной благодаря группе британских специалистов в области алгебры, к которым принадлежал и Буль.
Буль продемонстрировал, что логика может сводиться к очень простым алгебраическим системам, после чего для Бэббиджа и его последователей стало возможным создание механических устройств, которые могли решать необходимые логические задачи.
Через год после опубликования «Законов мышления…» Буль женился на Мэри Эверест, племяннице профессора греческого языка Королевского колледжа. Счастливый брак длился в течение девяти лет, вплоть до безвременной кончины Джорджа Буля. 8 декабря 1864 года, в возрасте 49 лет, почитаемый и известный, он умер от воспаления легких.
Буль был человеком последовательным и дисциплинированным, тем не менее, он широко демонстрировал собственное видение мира в своих утверждениях. Это мощное сочетание интеллекта и интуиции в Джордже Буле воплотилось в различных математических идеях. В заключение очерка об отце булевой алгебры хотелось бы коротко рассказать о семье Буля.
Как уже упоминалось, жена Буля была племянницей Джорджа Эвереста, в 1841 году завершившего в Индии грандиозные по масштабам работы.
В честь его заслуг высочайшая вершина мира Джомолунгма в Гималаях одно время даже именовалась Эверестом. Сама Мэри, в отличие от жен многих других математиков, понимала научные идеи своего мужа и своим вниманием и участием подвигала его на продолжение исследований. После его смерти она написала несколько сочинений и в последнем из них — «Философия и развлечения алгебры», — опубликованном в 1909 году, пропагандировала математические идеи Джорджа.
У четы Булей было пять дочерей. Старшая, Мэри, вышла замуж за Ч. Хинтона — математика, изобретателя и писателя-фантаста — автора широко известной повести «Случай в Флатландии», где описаны некие существа, живущие в плоском двухмерном мире. Из многочисленного потомства Хинтонов трое внуков стали учеными: Говард — энтомологом, а Вильям и Джоан — физиками. Последняя была одной из немногих женщин-физиков, принимавших участие в работе над атомным проектом в США.
Вторая дочь Булей, Маргарет, вошла в историю как мать крупнейшего английского механика и математика, иностранного члена Академии наук СССР Джеффри Тэйлора. Третья, Алисия, специализировалась в исследовании многомерных пространств и получила почетную ученую степень в Гронингенском университете. Четвертая, Люси, стала первой в Англии женщиной-профессором, возглавившей кафедру химии.
Но наиболее известной из всех дочерей Булей стала младшая, Этель Лилиан, вышедшая замуж за ученого — эмигранта из Польши Войнича. Войдя в революционную эмигрантскую среду, она написала прославивший ее на весь мир роман «Овод». За ним последовало еще несколько романов и музыкальных произведений, а также перевод на английский язык стихотворений Тараса Шевченко. Войнич скончалась в Нью-Йорке в возрасте 95 лет, немного не дожив до столетия со дня смерти своего знаменитого отца математика Джорджа Буля.
Читайте также
Джордж
Джордж На грузовом судне, идущем в Африку, я познакомилась и подружилась с мальчуганом — звали его Джордж, он путешествовал с матерью и юной тетушкой. Однажды днем, на палубе, мальчик отошел от мамы и подошел ко мне; они провожали его глазами. Он объявил, что завтра день его
«Буль» французский — «буль» российский!
«Буль» французский — «буль» российский! В середине XIX века в дворянских особняках начинает появляться мебель, выполненная в технике «буль». Такая мебель изготавливается с применением черного дерева или же его имитации. А украшается она замысловатым орнаментальным
ДЖОРДЖ РУК
ДЖОРДЖ РУК Три столетия опорой британского могущества являлся Гибралтар — порт и крепость на пути из Атлантического океана в Средиземное море. Овладел этой важнейшей базой Д. Рук.Английский военно?морской деятель, Д. Рук (1650–1709) отличился в ходе двух англо?голландских
ДЖОРДЖ ДЬЮИ
ДЖОРДЖ ДЬЮИ Победа над испанской эскадрой, подчинившая Соединенным Штатам Филиппины, сделала Дьюи знаменитым. Собственно, со сражения в Манильском заливе началось создание великой морской державы Соединенных Штатов Америки.Джордж Дьюи родился 26 декабря 1837 года в
БУЛЬ ДЖОРДЖ (1815 г. – 1864 г.)
БУЛЬ ДЖОРДЖ (1815 г. – 1864 г.) В процессе становления науки все большую роль для карьеры будущих ученых приобретало качество образования, получаемого в детстве. Самоучек, добившихся научного признания, становилось все меньше и меньше. Но в первой половине XIX в. такие случаи
Происшествие с нетрезвой Буль-Буль
Происшествие с нетрезвой Буль-Буль Все новое по-прежнему вызывало у Бабура неослабевающий интерес. В Баджауре он потешался над ужимками обезьянок с желтоватым мехом и белыми мордочками, которых местные жители называли бандарами. Он обнаружил, что они умеют жонглировать
Глава I. Джордж Вашингтон: «отец-основатель» N 1
Глава I. Джордж Вашингтон: «отец-основатель» N 1 22 февраля 1982 г. США отметили 250 лет со дня рождения Джорджа Вашингтона.У Джорджа Вашингтона есть основания считаться не просто одним из «отцов-основателей» США, но «отцом-основателем» N 1. Он был главнокомандующим
Джордж Гордон Байрон. Полное имя Байрон Джордж Ноэл Гордон (22.01.1788 – 19.04.1824)
Джордж Гордон Байрон. Полное имя Байрон Джордж Ноэл Гордон (22.01.1788 – 19.04.1824) Английский поэт.Поэмы «Паломничество Чайльд-Гарольда», «Шильонский узник», «Гяур», «Корсар», «Лара» и др.; сатирико-нравоописательная эпопея «Дон Жуан»; философская, любовная и политическая
Клод Шеннон Автор теории информации и практического воплощения булевой алгебры
Клод Шеннон Автор теории информации и практического воплощения булевой алгебры В наше время идеи Шеннона играют важную роль почти во всех системах, хранящих, обрабатывающих или передающих информацию в цифровой форме, от лазерных дисков до компьютеров, от машин до
13. Юного Тита Манлия отец отправил в деревню Юного Давида отец отправил на отдаленное пастбище
13. Юного Тита Манлия отец отправил в деревню Юного Давида отец отправил на отдаленное пастбище Секст Аврелий Виктор говорит, что отец отправил Тита Манлия В ДЕРЕВНЮ [96], с. 194. По-видимому, это произошло в то время, когда Тит Манлий был ещё мальчиком или юношей, поскольку
Джордж Буль – отец математической логики
2 ноября 1815 года родился выдающийся английский математик и логик Джордж Буль. Одним из главных успехов в его жизни стало создание в середине XIX века математической логики – раздела математики, который строится на применении формальных математических методов для решения логических задач.
Можно сказать, любовь к математике у учёного была с рождения. Отец Джорджа Буля, простой ремесленник Джон Буль, глубоко интересовался наукой. Увлечение математикой пришло к выдающемуся учёному в подростковом возрасте, и именно тогда Джордж Буль решил посвятить всю свою жизнь этой науке. С юных лет был помощником учителя в частной школе в Донкастере, а затем и сам стал преподавать.
Джордж Буль по праву считается отцом математической логики. Его именем назван раздел математической логики — булева алгебра (алгебра логики). В 1848 году была опубликована статья Джорджа Буля по началам математической логики — «Математический анализ логики, или опыт исчисления дедуктивных умозаключений», а в 1854 году появилась главная его работа — «Исследование законов мышления, на которых основаны математические теории логики и вероятностей». В этих трудах говорилось о возможности изучения свойств математических операций, осуществляемых не только над числами. Ученый рассуждал о символическом методе, который он применял как к изучению дифференцирования и интегрирования, так и к логическому выводу и теоретико-вероятностным рассуждениям. Именно он построил один из разделов формальной логики в виде некоторой «алгебры», аналогичной алгебре чисел, но не сводящейся к ней. А также создал своеобразную алгебру – систему обозначений и правил, применяемую к различного рода объектам — от чисел до предложений. Использование этой системы позволяло закодировать высказывания (утверждения, истинность или ложность которых требовалось доказать) с помощью символов своего языка, а затем управлять ими, как математическими числами. Основными операциями булевой алгебры представлены: конъюнкция (И), дизъюнкция (ИЛИ), отрицание (НЕ).
После смерти Джорджа Буля его систему стали применять для описания электрических переключателей схем. Говоря простым языком, ток в цепи может либо протекать, либо отсутствовать, подобно тому, как утверждение может быть либо истинным, либо ложным. Спустя несколько десятилетий ученые решили объединить созданный Джорджем Булем математический аппарат с двоичной системой счисления для описание двух состояний: утверждение истинно — утверждение ложно, лампочка горит — лампочка не горит, заложив тем самым основы для разработки цифрового электронного компьютера.
Вклад в развитие логики: Дж. Буль, О. де Морган, Г. Фреге, Ч. Пирс
Джордж Буль (1815-1864) считается основоположником математической логики как самостоятельной дисциплины. Благодаря его работам логика «перестала зависеть от породившего её естественного языка» [1], обрела свой алфавит, свою орфографию и свою грамматику. Появилась возможность не только устно её выражать, но и записывать на бумаге в виде символов, формул, а также преобразовывать по чётко сформулированным правилам.
Главные работы на эту тему:
«Математический анализ логики» (1847) – С неё начались размышления о логике не «извне», а «изнутри».
«Логическое исчисление» (1848).
«Исследование законов мысли» (1854) – В ней показано, как при помощи символических алгебраических методов можно строить логические конструкции и как определить вероятность события, связанного с заданными вероятностями совокупности событий. Вот пара аксиом из этой работы:
«A true idea ought to agree with its own object», что дословно переводится как «истинная идея должна согласовываться со своим собственным объектом».
«Things which have nothing in common cannot be understood by means of each other; or the conception of the one does not involve the conception of the other» [2] – «Вещи, которые не имеют ничего общего, не могут быть поняты посредством друг друга; или понятие одного не включает в себя понятие другого».
Дж. Буль создал новый вид алгебры. Сейчас её так и называют — «булева алгебра», а формулировка «булева переменная» вошла в обиход программистов, операторов и многих пользователей ЭВМ. В современности его исследования относят к области кибернетики.
Работу Буля высоко оценил английский математик Огастес де Морган (1806-1871). Он хотел также сблизить математику и логику. Его главные работы на данную тему:
«Формальная логика или исчисление выводов необходимых и возможных» (1847) – В ней были изложены элементы логики высказываний и логики классов, дана первая развитая система алгебры отношений. При чём некоторые положения из неё даже опередили Дж. Буля.
«Тригонометрия и двойная алгебра» (1849) – Благодаря идее символической алгебры на исчисление комплексных величин они, в свою очередь, были строго обоснованы не только геометрически, но и алгебраически.
«Бюджет парадоксов» (1872).
«Заметки о вероятностях и об их применимости к исследованию рисков для жизни и работе страховых компаний» (1838) – Первое изображение нормального распределения вероятностей.
Многие Моргана называют подлинным основоположником логического анализа отношений. В честь его имени были названы логические правила, связывающие пары логических операций при помощи логического отрицания – законы де Моргана.
Убеждение, значение, истина и реальность, а не индивидуальное сознание
С 1867 года начали публиковаться работы Чарльза Сандерс Пирса (1839-1914) по логике. А уже в 1876-1878 годах были опубликованы две его популярных статьи: «Закрепление верования» и «Как сделать ясными наши идеи», в которых были описаны идеи, составившие ядра прагматизма и семиотики. В настоящее время благодаря этим работам он считается отцом (основоположником) этого учения.
Он считал, что любое правильное рассуждение является дедуктивным, индуктивным, гипотетическим или же оно совмещает одновременно несколько из этих свойств. Индукция, по его мнению, «есть увеличение широты без изменения глубины – посредством увеличения информации, в которой убеждены». Дедукция, если кратко, — логические рассуждения, направленные от общего к частному.
«Знание приходит к нам через наблюдение. Некая часть навязывается нам извне и, по всей видимости, оказывается производной Природного ума; некая часть приходит из глубин ума, видимого нам изнутри, — ума, который мы эгоистически именуем таким несогласованным словосочетанием, как «наш ум» [3]. То есть для вывода сути нужны три элемента: связывание, наблюдение и суждение, что то, над чем наблюдали, согласно с правилом в связанных данных. Цель знаков (цель мысли) – дать выражение истине.
Сводимость математики к логике
Фреге Готтлоб (1848-1925) также относится к основоположникам современной математизированной логики. Как комментировали Б. В. Бирюкова и З. А. Кузичева: главный замысел в его работах – подвести под математику (исключая геометрию) строгий логический базис. Он следовал Лейбницевой установке на логизацию науки, а также частично принимал учения Иммануила Канта о природе математики и её суждений, вне зависимости от опыта.
Революционный вклад в логику и философию языка внесло его сочинение «Исчисление понятий» (1879). Можно сказать, что он изобрёл и аксиоматизировал логику предикатов. Что, в свою очередь, позволило решить средневековую проблему множественной общности. А также определил различия между значением и смыслом – ввёл понятие семантического треугольника (треугольника Фреге).
«Цель, к которой устремлена наука, это истина. Когда наш ум приходит к признанию чего-либо истинным, мы судим, выносим своё суждение, а когда это суждение высказываем, мы утверждаем его» [4]. Независимо от нашего признания, истина всегда остаётся истиной.
Список использованных источников:
Бирюков Б. В. Жар холодных чисел и пафос бесстрастной логики.
Буль Дж. Исследование законов мышления. – London: Walter and Maberly, Cambridge: MacMillan and Co 1854.-424с., [212] с.
Пирс Ч.С. – Начала прагматизма. Том 2. Логические основания теории знаков. – СПб.: Лаборатория метафизических исследований философского факультета СПбГУ; Алетейя, 2000. – 352с.
Фреге Г. Логика и логическая семантика: Сборник трудов. – М.: Аспект Пресс, 2000.-512с., [287] с.