Как влияет реактивное сопротивление на ток в режиме резонанса

Что такое резонанс напряжений?

Резонансные явления наблюдаются в колебательных системах, когда частота собственных колебаний элементов системы совпадает с частотой внешних (вынужденных) колебательных процессов. Данное утверждение справедливо и для цепей с циркулирующим переменным током. В таких электрических цепях при наличии определённых условий возникает резонанс напряжений, что влияет на параметры тока. Явление резонанса в электротехнике может быть полезным или вредным, в зависимости от ситуации, в которой происходит процесс.

Описание явления

Если в некой электрической цепи (см. рис. 1) имеются ёмкостные и индуктивные элементы, которые обладают собственными резонансными частотами, то при совпадении этих частот амплитуда колебаний резко возрастёт. То есть происходит резкий всплеск напряжений на этих элементах. Это может вызвать разрушение элементов электрической цепи.

Рис. 1. Резонанс в электрической цепи

Давайте рассмотрим на этом примере, какие явления будут происходить при подключении генератора переменного тока к контактам схемы. Заметим, что катушки и конденсаторы обладают свойствами, которые можно сравнить с аналогом реактивного резистора. В частности, дроссель в электрической цепи создаёт индуктивное сопротивление. Конденсатор является причиной ёмкостного сопротивления.

Индуктивный элемент вызывает сдвиг фаз, характеризующийся отставанием тока от напряжения на ¼ периода. Под действием конденсатора ток, наоборот, на ¼ периода опережает напряжение.

Другими словами, действие индуктивности противоположно действию на сдвиг фаз ёмкостного сопротивления. То есть катушки индуктивности и ёмкостные элементы по-разному воздействуют на генератор и по-своему корректируют фазовые соотношения между электрическим током и напряжением.

Формула

Общее реактивное сопротивление рассматриваемых нами элементов равно сумме сопротивлений каждого из них. С учётом противоположности действий можно записать: X_общ = X_L – X_c , где X_L = ωL – индуктивное реактивное сопротивление, выражение X_c = 1/ωC – это ёмкостное реактивное сопротивление.

На рисунке 2 изображены графики зависимости полного сопротивления цепи и связанной с ним силы тока, от реактивного сопротивления индуктивного элемента. Обратите внимание на то, как падает полное сопротивление при уменьшении реактивной сопротивляемости R_L (график б) и как при этом возрастает ток (график в).

Рис. 2. Графики зависимости параметров тока от падения реактивного сопротивления

Электрические цепи, состоящие из последовательно соединённых конденсаторов, пассивный резисторов и катушек индуктивности называют последовательными резонансными (колебательными) контурами (см. рис. 2). Существуют также параллельные контуры, в которых R, L, C элементы подключены параллельно (рис. 3).

Рис. 3. Последовательный колебательный контур Рис. 4. Параллельный колебательный контур

В режиме резонанса мощность источника питания будет рассеиваться только на активных сопротивлениях (в том числе на активном сопротивлении катушки). Для резонансных контуров характерны потери только активной мощности, которая израсходуется на поддержание колебательного процесса. Реактивная мощность на L C – элементах при этом не расходуется. Ток в резонансном режиме принимает максимальное значение:

Величину Q принято называть термином «Добротность контура». Данный параметр показывает, во сколько раз напряжение, возникшее на контактах реактивных элементов, превышает входное напряжение U электрической сети. Для описания соотношения выходного и входного напряжений часто применяют коэффициент K. При резонансе:

Формулировка

Описанное явление довольно распространено в электротехнике. Иногда с ним борются, а иногда специально создают условия для образования резонанса. Основными характеристиками всякого резонансного контура являются параметры добротности и частоты [ 1 ].

В случае, если X_L = X_c – справедливо равенство: ωL = 1/ωC , отсюда получаем:

Если ω = ω₀ – возникает резонанс напряжений. Частоты совпадают в том случае, когда индуктивное сопротивление сравняется с ёмкостным сопротивлением конденсатора. В таких случаях в цепи будет действовать только активное сопротивление R. Наличие реактивных элементов в схеме приводит к увеличению полного сопротивления цепи (Z):

где R – общее активное сопротивление.

Учитывая, что по закону Ома U = I/Z, можно утверждать, что общее напряжение в цепи зависит, в том числе, и от слагаемых индуктивного и ёмкостного сопротивлений.

Если бы в рассматриваемой схеме (рис. 1) отсутствовало активное сопротивление R, то значение полного сопротивления Z стремилось бы к 0. Следовательно, напряжение на реактивных элементах при этом возрастает до критического уровня.

Поскольку X_L и X_c зависят от частоты входного напряжения, то для возникновения резонанса следует подобрать соответствующую частоту сети, или изменять параметры катушки, либо конденсатора до тех пор, пока резонансные частоты не совпадут. Любое нарушение условий резонанса немедленно приводит к выходу системы из резонансного режима с последующим падением напряжения.

Условия наступления

Резонансные явления наступают только при наличии следующих условий:

1. Наличие минимального активного сопротивления на участке электрической цепи.
2. Равенство реактивных сопротивлений, возникших на цепочке LC.
3. Совпадение входной частоты источника питания с резонансной частотой колебательного контура.

При резонансе в контуре напряжения на его элементах могут повышаться на порядок и больше.

Примеры применения на практике

Классическим примером применения резонанса колебательных контуров является настройка радиоприёмника на частоту соответствующей радиостанции. В качестве рабочего элемента настроечного узла используется конденсатор с регулируемой ёмкостью. Вращение ручки настройки изменяет ёмкость конденсатора, а значит и резонансную частоту контура.

В момент совпадения резонансной частоты с рабочей частотой какой-либо радиостанции возникает резонанс напряжений, в результате которого резко возрастает амплитуда колебаний принятой радиоприёмником частоты. Специальные фильтры отделяют эти колебания от несущих радиочастот, а усилители усиливают полученные сигналы. В динамике появляются звуки, генерируемые передатчиком радиостанции.

Колебательные контуры, построенные на принципе последовательного соединения LC-элементов, применяются в цепях питания высокоомных нагрузок, потребляющих токи повышенного напряжения. Такие же устройства применяют в полосовых фильтрах.

Последовательный резонанс применяют при пониженных напряжениях сети. В этом случае используют реактивную энергию обмоток трансформатора, соединённых последовательно.

Конденсаторы и различные катушки индуктивности (рис. 5) входят в конструкцию практически всех аналоговых устройств. Они используются для настройки фильтров или для управления токами в отдельных узлах.

Катушки индуктивности

Важно знать, что резонансные контуры не увеличивают количество электрической энергии в цепях. Они лишь могут повышать напряжения, иногда до опасных значений. Постоянный ток не причиной резонансных явлений.

Резонанс в электрических цепях

Явление резонанса можно наблюдать в любых колебательных системах, в том числе механических и электрических. Электрический резонанс возникает при определенных условиях в электрических цепях переменного тока, содержащих индуктивности и емкости.

Изучение электрического резонанса

Изучение электрического резонанса необходимо, так как это явление широко используется в технике электросвязи, а в установках сильного тока, где его возникновение специально не предусматривается, резонанс может оказаться опасным (могут возникнуть перенапряжения и пробой изоляции).

Колебательный контур

Для того чтобы понять резонансные явления, переходные процессы в электрических цепях переменного тока, которые рассматриваются далее, важно иметь представление о процессах в колебательном контуре, состоящем из идеальных катушки и конденсатора, т. е. в контуре без потерь.
Колебательный процесс в таком контуре заключается во взаимном преобразовании электрического и магнитного полей. При этом изменяется энергия полей, поэтому колебательный процесс в контуре с количественной стороны будем, как и раньше, характеризовать изменением энергии.

Ток и напряжение в колебательном контуре

Предположим, что конденсатор с емкостью С получил от источника запас энергии

В первую часть периода (0 — T/4) конденсатор разряжается и в цепи существует ток. В это время в обособленной цепи конденсатор играет роль источника энергии (рис. 17.1, б). В начальный момент ток равен нулю, далее он увеличивается. Увеличение тока в цепи вызывает возникновение э. д. с. самоиндукции e_L и накопление энергии в магнитном поле катушки. Э. д. с. самоиндукции уравновешивает напряжение на конденсаторе:

Напряжение на конденсаторе в процессе разрядки уменьшается, поэтому вызываемый в цепи ток растет все медленнее, соответственно с этим уменьшается и э. д. с. самоиндукции, которая пропорциональна скорости изменения тока. Таким образом, к концу разрядки конденсатора () энергия электрического поля перешла в энергию магнитного ноля и накопилась в количестве

Рис. 17.1. К анализу колебательного контура

С этого момента ток начинает уменьшаться (но не прекращается), сохраняя свое направление. В следующую часть периода (от T/4 до T/2) направление тока сохраняется, потому что э. д. с. самоиндукции при уменьшении тока меняет свой знак, и роль источника энергии переходит к катушке. Уменьшающийся ток теперь является зарядным током конденсатора, заряжающегося в обратном направлении (рис. 17.1, в). Напряжение на конденсаторе увеличивается, уравновешивая теперь э. д. с. самоиндукции:

При увеличении напряжения на конденсаторе его зарядный ток уменьшается все быстрее, в результате чего э. д. с. e_L увеличивается. Таким образом, к концу зарядки конденсатора напряжение на его обкладках достигает наибольшего значения, э. д. с. самоиндукции тоже максимальна, а ток становится равным нулю. Энергия магнитного поля снова перешла в энергию электрического поля . С этого момента рост э. д. с. самоиндукции прекращается и начинается ее уменьшение. Роль источника энергии снова переходит к конденсатору. Начинается третья часть периода (от Т/2 до 3T/4). В рассматриваемом процессе конденсатор второй раз становится источником энергии. Но по сравнению с первым он имеет обратную полярность, поэтому его разрядный ток изменяет направление и далее увеличивается. Снова энергия убывает в электрическом поле и накапливается в магнитном поле (рис. 17.1, г).

В момент времени t = 3T/4 напряжение на конденсаторе и э. д. с. самоиндукции становятся равными нулю, а ток — наибольшим. В последнем отрезке времени (от 3T/4 до Т) процесс протекает в том же порядке, что и во втором, но при обратном направлении тока (рис. 17.1, д).

В момент времени t = Т конденсатор заряжен в том же направлении и тем же количеством энергии, как и при t = 0. Ток переходит через нуль к положительным значениям и далее увеличивается. Процесс повторяется в порядке, рассмотренном ранее.

Характеристики колебательного контура

Энергетический процесс в колебательном контуре имеет периодический характер с периодом Т. Колебания в электрической цепи, не связанной с источником энергии, называют собственными или свободными.
Этот процесс рассмотрен по графикам изменения тока i, напряжения u_C и э.д.с. e_L, которые приняты синусоидальными функциями времени.
Для такого предположения имеется полное основание, так как эти величины взаимно связаны соотношением

Вместе с тем ток в контуре пропорционален скорости изменения заряда конденсатора, причем он увеличивается, когда конденсатор разряжается. Следовательно,

Такая взаимная связь переменных величин говорит о синусоидальном законе изменения тока и напряжения, но при наличии сдвига фаз между ними на 90°, т. е. при


Это можно проверить:



Величину ω₀ в уравнениях тока и напряжения называют угловой частотой собственных колебаний в контуре. Найдем ее, используя равенство наибольшего количества энергии в конденсаторе и катушке:

и связь между амплитудами тока и напряжения:

Сокращая, получим

Частота собственных колебаний

Период собственных колебаний

Из равенства (17.1) вытекает еще одно важное соотношение

Величина, стоящая в знаменателе, имеет размерность сопротивления и называется волновым сопротивлением контура:

Колебательный контур с потерями энергии

Незатухающие колебания в контуре получаются в предположении, что потери энергии отсутствуют, т. е. R = 0.

Если активное сопротивление контура не равно нулю, то запас энергии в контуре сокращается (энергия превращается в тепло), амплитуды тока и напряжения с каждым периодом убывают, как показано на рис. 17.2.
Более детальное исследование колебательного контура показывает, что частота собственных колебаний зависит от активного сопротивления:

При R = 0 это выражение совпадает с (17.2).
При колебания в контуре не возникают, в чем нетрудно убедиться, подставив значение R в формулу (17.7). В этом случае процесс в контуре после подключения конденсатора к катушке является апериодическим, напряжение на конденсаторе с максимальной величины постепенно падает до нуля, а ток сначала растет, а потом тоже падает до нуля, не меняя знака (рис. 17.3).

Рис. 17.2. График изменения тока в колебательном контуре с потерями

Рис. 17.3. Апериодический разряд конденсатора на катушку индуктивности

Резонанс напряжений

При рассмотрении различных режимов электрических цепей был отмечен случай равенства реактивных сопротивлений Х_L = Х_C при последовательном соединении элементов, содержащих индуктивность и емкость.

В этом случае электрическая цепь находится в режиме резонанса напряжений, который характеризуется тем, что реактивная мощность цепи равна нулю, ток и напряжение совпадают по фазе.

Условие возникновения резонанса

Резонанс напряжений возникает при определенной для данной цепи частоте источника энергии (частоте вынужденных колебании), которую называет резонансной частотой ω_р.

При резонансной частоте, как будет показано далее, .
Режим электрической цепи при последовательном соединении участков с индуктивностью и емкостью, характеризующийся равенством индуктивного и емкостного сопротивлений, называют резонансом напряжений.
Резонанс напряжений рассмотрим, сначала на схеме идеализированной цепи (рис. 17.4, а), в которой последовательно с резистором R включены идеальные (без потерь) катушка L и конденсатор С.

Рис. 17.4. К вопросу о резонансе напряжений

Реактивные сопротивления Х_L и Х_C (рис. 17.4, б) зависят от частоты вынужденных колебаний ω:

Приравнивая реактивные сопротивления и учитывая, что ω = ω_р, получим
.
Отсюда резонансная частота

В данном случае выражение для резонансной частоты совпадает с формулой (17.3) для частоты собственных колебаний в контуре без потерь.
Основные соотношения между величинами, характеризующими режим электрической цепи и энергетические процессы. Нужно отметить, что в неразветвленной цепи обмен энергией между катушкой и конденсатором совершается через источник энергии, который восполняет потери энергии в активных сопротивлениях.

Резонансные кривые

Резонанс напряжений в цепи можно установить двумя путями: 1) изменением параметров L и С (одного из них или обоих вместе) при постоянной частоте источника или 2) изменением частоты источника энергии при постоянных L и С.

В связи с этим большой практический интерес представляют зависимости напряжений и токов на отдельных элементах цепи от частоты. Эти зависимости называют резонансными кривыми (рис. 17.4, в).

Реактивные сопротивления с изменением частоты меняются, как показано на рис. 17.4, б. При увеличении частоты Х_L увеличивается пропорционально частоте, а Х_C уменьшается по закону обратной пропорциональности.
Соответственно полное сопротивление Z цепи при резонансной частоте ω_р оказывается наименьшим, равным активному сопротивлению R; при частоте полное сопротивление увеличивается с уменьшением частоты за счет роста Х_C; при частотах полное сопротивление растет с увеличением частоты за счет роста Х_L .

Такая зависимость полного сопротивления от частоты определяет характер изменения тока при постоянном напряжении в цепи (рис. 17.4, в). При ток равен нулю, далее с увеличением частоты ток увеличивается и при достигает максимума I_р. Дальнейшее увеличение частоты ведет к постепенному уменьшению тока до нуля при Аналогично изменяется напряжение на активном сопротивлении U_R, которое пропорционально току: .

Напряжение на конденсаторе U_C при равно напряжению на зажимах источника U, так как сопротивление конденсатора что соответствует разрыву цепи на его зажимах. С ростом частоты U_C увеличивается, достигая наибольшей величины при частоте, несколько меньшей резонансной, и далее уменьшается до нуля при

Индуктивное напряжение при частоте так как сопротивление Увеличение частоты ведет к увеличению U_L, которое при частоте, несколько большей резонансной, достигает максимума, а затем уменьшается до величины напряжения источника при когда сопротивление что соответствует разрыву цепи на зажимах катушки.

При частотах, меньших резонансной, реактивное сопротивление цепи имеет емкостный характер (отрицательно), поэтому и угол сдвига фаз в цепи отрицательный. Уменьшаясь с ростом частоты, он становится равным нулю при резонансе , а затем меняет знак и увеличивается при дальнейшем увеличении частоты.

Добротность контура

При резонансе напряжений отношение напряжения на индуктивности или емкости к напряжению, приложенному к цепи (напряжению источника), равно отношению волнового сопротивления к активному. Действительно, при резонансе сопротивления реактивных элементов

Поэтому

Из этого выражения следует, что при напряжение на реактивных элементах больше напряжения источника.

Такое превышение может оказаться значительным, если реактивные сопротивления много больше активного, и изоляция катушки или конденсатора может быть пробита. На практике подобный случай возможен, если на конце кабельной линии включается приемник, обладающий индуктивностью.
В радиотехнике качество резонансного контура считается тем выше, чем больше отношение называемое добротностью контура Q:

Чем меньше мощность потерь энергии в контуре (этому соответствует меньшая величина R), тем больше добротность контура.

Большей величине добротности соответствует больший ток I_р при резонансе и более острая резонансная кривая.

На рис. 17.5 показаны две резонансные кривые тока, построенные в относительных единицах при двух величинах добротности. По горизонтальной оси отложены отношения изменяющейся частоты источника энергии к резонансной частоте ω/ω_р, а по вертикальной —отношения тока при данной частоте к току при резонансной частоте I/I_р.

Рис. 17.5. Резонансные кривые при двух значениях добротности контура

Все рассуждения о резонансе напряжений в идеализированной цепи можно распространить и на цепи, содержащие последовательно соединенные катушку и конденсатор с потерями. Как известно, реальные катушки и конденсатор могут быть представлены схемами последовательного соединения активного и реактивного сопротивлений (рис. 17.5). Активные сопротивления катушки и конденсатора можно рассматривать как часть общего активного сопротивления цепи R, тогда схема на рис. 17.4, а будет пригодна и в этом случае.

Резонанс в электрических цепях

Резонансные (колебательные) цепи:

Резонансными или колебательными цепями называются электрические цепи, в которых могут возникать явления резонанса напряжений или токов.

Резонанс представляет собой такой режим пассивной электрической цепи, содержащей индуктивности и емкости, при котором реактивное сопротивление и реактивная проводимость цепи равны нулю; соответственно равна нулю реактивная мощность на выводах цепи.

Резонанс напряжения наблюдается в электрической цепи с последовательным соединением участков, содержащих индуктивности и емкости. Неразветвленная цепь, состоящая из последовательно соединенных элементов r, L и С, рассмотренная, представляет собой один из простейших случаев такой цепи. В радиотехнике ее называют последовательным колебательным контуром.

При резонансе напряжений индуктивное сопротивление одной части цепи компенсируется емкостным сопротивлением другой ее части, последовательно соединенной с первой. В результате реактивное сопротивление и реактивная мощность на выводах цепи равны нулю.

В свою очередь резонанс токов наблюдается в электрической цепи с параллельным соединением участков, содержащих индуктивности и емкости. Один из простейших примеров такой цепи, состоящей из параллельно соединенных элементов r, L и С. В радиотехнике такую цепь называют параллельным колебательным контуром.

При резонансе токов индуктивная проводимость одной части цепи компенсируется емкостной проводимостью другой ее части, параллельно соединенной с первой. В результате реактивная проводимость и реактивная мощность на выводах цепи равны нулю.

Частоты, при которых наблюдается явление резонанса, называются резонансными частотами.

Исследование резонансных режимов в электрических цепях заключается в нахождении резонансных частот,

зависимостей различных величин от частоты или параметров L и С, а также в рассмотрении энергетических соотношений при резонансе.

Резонансные цепи очень широко применяются в электротехнике и представляют собой неотъемлемую часть всякого радиотехнического устройства. Изучению явления резонанса, свойств и частотных характеристик простейших резонансных цепей посвящена данная глава.

Последовательный колебательный контур. Резонанс напряжений

Резонансная цепь с последовательным соединением r, L и С (рис. 5-1) является простейшей цепью для изучения явления резонанса напряжений и подробно рассматривается ниже. Комплексное сопротивление такой цепи зависит от частоты:

Резонанс напряжений наступает при частоте когда

отсюда

Мгновенные энергии выражаются формулами:

Если принять

Такие зависимости называются частотными характеристиками

Максимальные значения этих энергий равны друг другу, так как

Это следует и из того, что реактивное сопротивление цепи, содержащей индуктивность и емкость, при любой схеме соединений пропорционально разности максимальных значений энергии, запасаемой в магнитном и электрическом полях:

Поэтому условию резонанса (х = 0) соответствует равенство

Мгновенные значения колеблются с удвоенной частотой около среднего значения причем происходит непрерывное перераспределение энергии магнитного и электрического полей, суммарное значение которой постоянно:

.

В рассматриваемом случае (резонанс напряжений, рис. 5-1) в цепи не происходит обмена энергии между источником и реактивными элементами цепи, а вся электрическая энергия, поступающая от источника, расходуется в сопротивлении r.

Мы уже встречались с понятием добротности индуктивной катушки и конденсатора . Умножив и разделив выражение для получим:

Здесь — максимум энергии, периодически запасаемой индуктивностью L; Р — активная мощность, расходуемая в сопротивлении при амплитуде тока

Аналогично рассуждая, т. е. умножив и разделив выражение получим:

где — максимум энергии, периодически запасаемой емкостью С, а Р— активная мощность потерь в параллельном сопротивлении r при амплитуде напряжения на емкости Следовательно, в обоих случаях добротность определяется в, зависимости от отношения максимума энергии реактивного элемента к энергии РТ, выделяемой в виде тепла за период.

В случае резонансной цепи также пользуются понятием добротности цепи, подразумевая под этим в общем случае величину

здесь — резонансная частота; — сумма максимальных значений энергии, периодически запасаемой при резонансе в индуктивных (или емкостных) элементах; Р — активная мощность на выводах цепи при резонансе.

Знак в (5-3) относится к случаю, когда число индуктивных (или емкостных) элементов превышает единицу. В рассматриваемом нами случае резонанса напряжений в цепи рис. 5-1 знак опускается.

Для схемы рис. 5-1 на основании (5-3) получаем:

где

называется характеристическим (а также волновым) сопротивлением резонансного контура.

Условимся называть относительной расстройкой частоты по отношению к резонансной
частоте контура величину

Сопротивление контура согласно (5-1) и с учетом (5-2) и (5-4)

откуда, используяполучаем:

Следовательно, полное сопротивление цепи

и угол

Ток в цепи

При частоте, близкой к резонансной, значительно меньше единицы, и поэтому приближенно

Выражения (5-7) практически достаточно точны при . При погрешность в сопротивлении z меньше 10%.

На рис. 5-2 кривые даны в относительных значениях: по оси абсцисс отложена относительная расстройка частоты по оси ординат — отношение полного сопротивления z к активному сопротивлению r (рис. 5-2, а) и угол (рис. 5-2, б).

Следует обратить внимание на то, что частотам выше резонанснойсоответствуют положительные значения расстройки а частотам ниже резонансной — отрицательные значения нулевой частотесоответствует при резонансной частоте

Полное сопротивление цепи минимально при резонансе напряжений при этом ток в цепи достигает своего максимального значения

На рис. 5-3 изображены резонансные кривые тока в относительных значениях: по оси абсцисс, как и на предыдущих графиках, отложены значения по оси ординат — отношения токов к максимальному току при резонансе:

Чем выше добротность цепи Q, тем острее резонансные кривые. Таким образом, величина Q характеризует остроту резонансной кривой («остроту настройки»); согласно (5-3) чем больше отношение максимума энергии поля реактивного элемента к количеству теплоты, рассеиваемой за один период в резонансном контуре, тем острее резонансная кривая.

Резонансные кривые были построены здесь в зависимости от относительной расстройки частоты Можно

вывести расчетные выражения и построить резонансные кривые в зависимости от или относительной частоты Следует заметить, что максимумы резонансных кривых на рис: 5-3 равны, так как по оси ординат отложено отношение Если откладывать ток I, то при разных r максимумы резонансных кривых, естественно, не совпадут в одной точке.

Полосу частот вблизи резонанса, на границах которой ток снижается домаксимального (резонансного) значения принято называть полосой пропускания резонансного контура. При токе мощность, расходуемая в сопротивлении r, равна:

т. е. составляет половину мощности, расходуемой при резонансе. Поэтому полосу пропускания характеризуют как полосу, границы которой соответствуют половине максимальной мощности. На границах полосы пропускания резонансного контура активное и реактивное сопротивления равны Это следует из условия

что дает

Соответственно и фазовый сдвиг между напряжением на выводах цепи и током составляет на нижней границе комплексное сопротивление цепи имеет емкостный характер (ток опережает напряжение) и = —45°; на верхней границе комплексное сопротивление цепи имеет индуктивный характер (ток отстает от напряжения) и = 45°.

На основании (5-8) условие для границы полосы пропускания записывается в следующем виде:

откуда

(знак минус перед корнем, получающийся в результате решения квадратного уравнения, опускается, как не имеющий смысла). Индексы 1 и 2 и соответственно знаки минус и плюс в выражении (5-9) относятся к границам ниже и выше резонанса.

По определению полоса пропускания резонансного контура находится из условия

Величина d, обратная добротности контура, называется затуханием контура.

При достаточно высокой добротности резонансного контура подкоренное выражение (5-9) может быть приравнено единице, откуда т.е. пропуская практически симметрична относительно резонансной частоты.
В радиотехнических устройствах к одному из реактивных элементов колебательного контура, например емкости, подключается нагрузка в виде сопротивления Вследствие этого возрастают потери в цепи и соответственно уменьшается добротность. Для определения добротности нагруженного контура параллельное соединение и С может быть заменено эквивалентным при резонансной частоте последовательным соединением емкости и «вносимого сопротивления» С этой целью используются условия эквивалентности цепей с последовательным и параллельным соединениями.

Так как обычно С учета того,что получаем: При этом, как отмечалось в конце емкости эквивалентных схем могут быть практически приравнены друг другу.

Таким образом, добротность нагруженного контура равна:

а затухание увеличивается на вносимое затухание

Если вносимое сопротивление значительно превышает сопротивление к, то

Внутреннее сопротивление источника э. д. с. добавляемое к сопротивлению r, влияет на добротность и полосу пропускания колебательного контура: чем больше тем ниже добротность и шире полоса пропускания

контура. Поэтому с точки зрения сокращения полосы пропускания последовательного колебательного контура выгоден источник напряжения с малым внутренним сопротивлением.

В условиях, близких к резонансу, напряжения на индуктивности и емкости могут быть весьма велики, что необходимо учитывать во избежание повреждения изоляции.

На рис. 5-4 показана векторная диаграмма тока и напряжений при резонансе. Напряжения на реактивных элементах при резонансе определяются из выражения

При Q > 1 эти напряжения превышают напряжение U — Е, приложенное к резонансному контуру. Однако значения, получаемые на основании (5-11), не являются максимальными: максимум напряжения располагается

несколько выше (правее), а максимум Uc — ниже (левее) резонансной частоты (рис. 5-5).

Напряжение на индуктивности равное нулю при = 0, с увеличением может возрастать только до тех пор, пока ток не начнет снижаться быстрее, чем возрастает . После этого спадает, стремясь, в пределе к Е. Напряжение на емкости равное при = О приложенному напряжению U = Е, увеличивается, пока ток растет быстрее, чем ; затем спадает, стремясь в пределе к нулю. Кривые пересекаются при резонансе, причем ордината точки пересечения в соответствии с (5-11) равна QE.

Эго также вытекает из анализа следующих ниже выражений, полученных с учетом (5-5) и (5-6):

Напряжение достигает максимума при

а напряжение

Пренебрегая по сравнению с единицей, получаем приближенную формулу

Возвращаясь к определению понятия добротности рассматриваемой резонансной цепи, мы видим, что наряду с формулами (5-3) и (5-4) добротность цепи характеризуется выражениями (5-10) и (5-11), а именно:

Последняя формула показывает, что добротность рассматриваемой цепи определяется как кратность перенапряжения на L и С при резонансной частоте.

Выше была рассмотрена неразветвленная электрическая цепь с последовательно соединенными r, L н С. Для исследования явления резонанса в более сложных разветвленных цепях, где резонанс напряжений может возникать на одной или нескольких частотах, наряду с аналитическим методом расчета, иллюстрированным выше, целесообразно также пользоваться методом геометрических мест.

Следует отметить, что при максимум функции наступает при т. е. в этом случае с ростом частоты непрерывно стремится к значению приложенного напряжения U — Е; максимум же функции в рассматриваемом случае имеет место при = —1, т. е. при нулевой частоте когда

Параллельный колебательный контур и резонанс токов

Явление резонанса токов удобно изучать применительно к электрической цепи с параллельно соединенными r, L и С (рис. 5-6), так как при этом можно непосредственно воспользоваться результатами, полученными в предыдущем параграфе.

Действительно, выражение для комплексной проводимости такой цепи

по своей структуре аналогично выражению (5-1), причем резонансная частота определяется согласно (5-2).

Добротность резонансной цепи на основании (5-3)

По аналогии с предыдущим выражение (5-13) приводится к виду:
Сравнивая полученный результат с (5-6), убеждаемся в том, что выражение Y/g для схемы рис. 5-6 имеет тот же вид, что и выражение для схемы рис. 5-1.

Поэтому кривые рис. 5-2 применимы и в данном случае: кривые рис. 5-2, а выражают зависимость от 6 Отношения y/g, а кривые рис. 5-2, б — зависимость угла —

Кривые рис. 5-2, а показывают, что при резонансе токов полная проводимость цепи минимальна, т. е. входное сопротивление достигает максимума.

При заданном напряжении на выводах цепи ток, идущий от источника в цепь, равен:

Этот ток достигает минимума при резонансной частоте, так как при этом

Следовательно, отношение. токов определяется из выражения

правая часть которого полностью совпадает с (5-8).

В связи с этим резонансные кривые рис. 5-3 выражают применительно к схеме рис. 5-6 зависимость

В случае резонанса токов токи в индуктивном и емкостном элементах схемы рис. 5-6 равны и противоположны по знаку:

Полученное выражение показывает, что добротность рассматриваемой цепи определяется как кратность токов в L и С по отношению к суммарному току

При Q > 1 эти токи превышают

Если параллельный колебательный контур питается от источника тока с внутренним сопротивлением то чем меньше сопротивление присоединяемое параллельно сопротивлению r, тем ниже добротность и шире полоса пропускания контура. Поэтому в отличие от последовательного колебательного контура с точки зрения сокращения. полосы пропускания параллельного колебательного контура выгоден источник тока с большим внутренним сопротивлением.

Для схемы рис. 5-6 при резонансе токов остается в силе вывод, сделанный в предыдущем параграфе о непрерывном обмене энергией между индуктивным и емкостным элементами при резонансе напряжений.

Схема рис. 5-6 является идеализированной, так как она не учитывает активных потерь в ветвях L и С. Поэтому рассмотрим другие схемы,’приняв во внимание активные сопротивления в ветвях L и С (рис. 5-7, а и б).

Условие резонанса токов для схемы рис. 5-7, а записывается в виде равенства реактивных проводимостей:

Явление резонанса возможно при этом только в случае, если подкоренное выражение (5-15) имеет положительный

знак или, что то же, величиныимеют одинаковый знак Если то цепь резонинует на любой частоте.

.
На рис. 5-8 показана векторная диаграмма при резонансе токов в цепи рис. 5-7, а. Токи в индуктивной и емкостной ветвях слагаются из активных и реактивных составляющих, причем

Чем меньше по сравнению си тем ближе

к угол фазового сдвига между при этом токи в ветвях образуют как бы один контурный ток замыкающийся в колебательном контуре

При резонансе вся цепь имеет только активную проводимость

откуда с учетом (5-14)

Для колебательного контура с малыми потерями можно пренебречь слагаемым по сравнению с и считать,

что При этом проводимость колебательного контура приближенно выразится формулой, широко распространенной в практике радиотехнических расчетов:

При (5-15)

Кроме того, если при любой

частоте (резонанс в такой цепи называют «безразличным» резонансом).

Легко убедиться в том, что и в. случае резонансной цепи с двумя параллельными ветвями (см. рис. 5-7) соблюдается условие Для этого достаточно

умножить обе части уравнения (5-14) на

Выше отмечалось, что в схеме с параллельно соединенными r, L и С (см. рис. 5-6) полная проводимость всей цепи имеет минимум при резонансной частоте.

Для схемы рис. 5-7, б нетрудно показать, что при изменении частоты о) или индуктивности L минимум полной проводимости цепи, а также минимум общего тока наступают не при резонансной частоте. В том же случае, когда переменным параметром является емкость С, проводимость и общий ток достигают минимума при резонансе токов.
Добротность параллельного колебательного контура рис. на основании (5-3) равна:

но

откуда

где резонансная частота определяется по формуле (5-15).

Часто в ветви с емкостью сопротивлением можно пренебречь. Тогда формулы значительно упрощаются.

Рассмотрим этот случай (см. рис. 5-7, б).

Резонанасная частота такого контура согласно (5-15)

а добротность цепи в соответствии с полученным выше выражением

Из сопоставления (5-16) и (5-2) видно, что при одних и тех же параметрах r, L и С резонансные частоты для схем рис. 5-1 и 5-7, б отличаются множителем

При разность резонансных частот не превышает 1%. Кроме того, выражение (5-16) показывает, что резонанс токов возможен в охеме рис. 5-7,6 только при

Общее сопротивление колебательного контура (см. рис, 5-7, б)

На основании соотношений (5-16) и (5-17) можно получить:

Учитывая также соотношения

получаем выражение для сопротивления колебательного контура:

.

При резонансной частоте

В тех случаях, когда весьма велико по сравнению с единицей выражение (5-18) упрощается:

В режиме, близком к резонансу, когданесоизмеримо меньше единицы, данное выражение заменяется приближенным:

При высокой добротности колебательного контура

Приэтом токи в ветвях

Здесь — ток, входящий в цепь.

Напряжение на выводах цепи связано с током I следующим образом:

Приближенные выражения (5-19) и (5-20) аналогичны при заданном Q выражениям(5-12) и (5-7), выведенным для цепи рис. 5-1, при условии замены напряжений токами и обратно. Поэтому кривые сопротивлений, токов и напряжений, соответствующие схеме рис. 5-1, в известном масштабе приближенно выражают проводимости, напряжения и токи в схеме рис. 5-7, б.

Следует обратить внимание на то, что в схеме рис. 5-6 мгновенная мощность в цепи при резонансе токов равна мгновенной мощности, расходуемой в сопротивлении r; в схемах с двумя параллельными ветвями (рис. 5-7) мгновенная мощность на выводах цепи отлична от мгновенной мощности, расходуемой в сопротивлениях ветвей. Например, в тот момент, когда ток, входящий в цепь, проходит через нулевое значение, мгновенная мощность на выводах цепи равна нулю; в этот момент токи в ветвях, сдвинутые по фазе относительно суммарного тока цепи, отличны от нуля и поэтому мгновенная мощность, расходуемая в сопротивлениях ветвей, также не равна нулю. Объясняется это тем, что в схемах

рис. 5-7, а и б энергия, накапливаемая реактивными элементами, периодически преобразуется частично в теплоту (в сопротивлениях ветвей), а затем вновь пополняется за счет энергии источника.
Для повышения крутизны резонансных характеристик, необходимой для более четкого разделения колебаний разных частот, в радиотехнике широко применяются двухконтурные резонансные цепи: два резонансных контура, настроенных каждый в отдельности на одну и ту же частоту, связываются индуктивно или электрически. В отличие от «одногорбой» резонансной кривой одиночного контура в связанных цепях получаются «двугорбые» кривые; например, ток в каждом контуре может иметь максимумы при двух частотах, расположенных ниже и выше резонансной частоты одиночного контура.

Частотные характеристики сопротивлений и проводимостей реактивных двухполюсников

Двухполюсником называется любая электрическая цепь или часть электрической цепи, имеющая два вывода. Ниже рассматриваются только линейные двухполюсники, т. е. такие, которые состоят из линейных элементов.

Различают двухполюсники активные и пассивные.

Активным называется двухполюсник, содержащий источники электрической энергии, которые не компенсируются взаимно внутри двухполюсника.

Пассивным называется двухполюсник, не содержащий источников электрической энергии; в случае линейного двухполюсника он может содержать источники электрической энергии, взаимно компенсирующиеся таким образом, что напряжение на его разомкнутых выводах равно нулю. Такой линейный двухполюсник относится к категории пассивных; его сопротивление, измеренное на выводах, не изменится, если источники электрической энергии внутри него заменить пассивными элементами — внутренними сопротивлениями источников э. д. с. или соответственно внутренними проводимостями источников тока. Пример двухполюсника, содержащего компенсированные источники, показан на рис. 5-9.

По числу элементов, входящих в двухполюсник, различают одноэлементный, двухэлементный и многоэлементный двухполюсники.

По характеру этих элементов двухполюсники делятся на реактивные, т. е. состоящие из индуктивностей и емкостей, и двухполюсники с потерями, содержащие активные сопротивления. Реактивные двухполюсники представляют собой идеализированные электрические системы, приближающиеся по своим свойствам к физически существующим цепям с малыми потерями.

Частотные характеристики сопротивлений или проводимостей двухполюсников, образующих электрическую цепь, предопределяют частотные и резонансные свойства цепи, т. е. зависимости амплитуд и фаз токов и напряжений от частоты.

Настоящий параграф посвящен изучению частотных характеристик пассивных реактивных двухполюсников.

Одноэлементные реактивные двухполюсники

Индуктивность и емкость представляют собой простейшие одноэлементные реактивные двухполюсники. Знак комплексного сопротивления и комплексной проводимости каждого из этих двухполюсников не зависит от частоты; этим они существенно отличаются от других, более сложных реактивных двухполюсников, содержащих неоднородные реактивные элементы, т. е. индуктивность и емкость в разных сочетаниях.

Комплексное сопротивление индуктивного элемента во всем спектре частот имеет положительный знак, а комплексная проводимость — отрицательный:

Комплексное сопротивление емкостного элемента во всем спектре частот имеет отрицательный знак, а комплексная проводимость — положительный:

В рассматриваемом случае реактивных двухполюсников комплексные сопротивления и проводимости являются мнимыми. Поэтому для сохранения знаков частотные ха-рактернстнкн сопротивлений и проводимостей удобно рисовать в прямоугольной системе координат, в которой вверх откладываются мнимые величины со знаком плюс, а вниз — со знаком минус.

Частотные характеристики построенные в прямоугольной системе координат, представляют собой прямые линии, а частотные характеристики — равнобочные гиперболы (рис. 5-10). Таким образом, кривые и аналогичны кривым

Следует заметить, что как сопротивления, так и проводимости рассматриваемых здесь одноэлементных реактивных двухполюсников возрастают (с учетом знака) по мере повышения частоты, т. е.

Это является общим свойством всех реактивных двухполюсников, а не только одноэлементных.

Двухполюсник, состоящий из последовательно или параллельно соединенных однородных элементов (индуктивностей или емкостей), относится к числу одноэлементных двухполюсников, так как последовательно или параллельно соединенные однородные элементы могут быть заменены одним эквивалентным реактивным элементом того же характера.

Двухэлементные реактивные двухполюсники

Двухэлементные двухполюсники, составленные из индуктивности и емкости, представляют собой простейшие резонансные цепи.

При последовательном соединении индуктивности и емкости алгебраически складываются комплексные сопротивления. На рис. 5-11, а жирной линией показана частотная характеристика двухполюсника, полученная в результате графического сложения кривых Она пересекает ось абсцисс при резонансной частоте (резонанс напряжений). Эта частота, при которой функция Z обращается в нуль, называется нулем данной функции; точка на оси абсцисс, которая соответствует нулю функции, обозначается кружком.

Частотная характеристика проводимости того же двухполюсника представляет собой функцию, обратную сопротивлению:

Кривая Y показана на рис. 5-11, б.

При резонансной частоте проводимость рассматриваемого двухполюсника обращается в бесконечность; эта точка носит название полюса функции Y и обозначается на чертеже крестиком

Частотные характеристики Z и Y, построенные таким образом1, соответствуют уравнениям:

и

или с учетом(5-2):

На осях ординат частотных характеристик чисто реактивных цепей откладываются мнимые значения сопротивлений и проводимостей.

В области частот ниже резонансной сопротивление емкостного элемента превышает по абсолютному значению сопротивление индуктивного элемента; при этом сопротивление двухполюсника имеет емкостный характер.

В области частот выше резонансной абсолютное значение емкостного сопротивления меньше, чем индуктивного; сопротивление двухполюсника имеет индуктивный характер.

При параллельном соединении индуктивности и емкости алгебраически складываются их комплексные проводимости. На рис. 5-12, а жирной линией показана частотная

характеристика двухполюсника, полученная в результате графического сложения

Частотная характеристика сопротивления того же двухполюсника представляет собой функцию, обратную проводимости: Z — 1/Y. Кривая Z показана на рис. 5-12, б.

Частота, при которой характеристика Y пересекает ось абсцисс (нуль функции У), а характеристика Z уходит в бесконечность (полюс функции Z), является резонансной частотой (резонанс токов).

Частотные характеристики, построенные на рис. 5-12, соответствуют уравнениям:

И

или с учетом (5-22)

В области частот ниже резонансной проводимость индуктивного элемента перекомпенсирует проводимость емкостного элемента и сопротивление двухполюсника получается, индуктивным. В области частот выше резонансной наблюдается обратное явление и сопротивление двухполюсника имеет емкостный характер.

Таким образом, в зависимости от частоты двухэлементный реактивный двухполюсник может иметь либо индуктивное, либо емкостное сопротивление. При этом, так же как и в случае одноэлементного реактивного двухполюсника, кривые Z и Y возрастают, т. е. производные от и по частоте положительны.

В отличие от сопротивлений одноэлементных двухполюсников, которые выражаются только через текущую частоту, сопротивления двухэлементных реактивных двухполюсников зависят также и от разности квадратов резонансной и текущей частот (формулы (5-21) и (5-22)1.

Как видно из выражений (5-21), для построения частотных характеристик двухполюсника, состоящего из последовательно соединенных элементов L и С, достаточно знать нуль функции Z или, что то же, полюс функции Y. Параметр L, входящий в (5-21), влияет только на выбор масштаба Z и Y по оси ординат.

Аналогично в соответствии с (5-22) для построения частотных характеристик двухполюсника, состоящего из параллельно соединенных элементов L и С, достаточно знать полюс Z или, что то же, нуль Y, причем параметр С влияет только на масштаб Z и Y.

Двухполюсники, имеющие одинаковые частотные характеристики Z или Y, эквивалентны.

Многоэлементный реактивный двухполюсник

Многоэлементный реактивный двухполюсник может быть получен в результате различных сочетаний одноэлементных и двухэлементных двухполюсников. Пользуясь частотными характеристиками, приведенными выше, можно построить частотные характеристики для трех-, четырех- и много-элементных реактивных двухполюсников. При этом одно-

родные элементы (или группы элементов с одинаковыми резонансными частотами), соединенные параллельно или последовательно, должны быть сначала заменены одним элементом (или эквивалентной группой элементов, как это, например, показано на рис. 5-13).

Такие двухполюсники будем называть «приведенными».

Из свойства положительности производной (или следует, что нули и полюсы функций Z (или Y) должны чередоваться, так как при наличии двух последовательных нулей, не разделенных полюсом, имелся бы участок характеристики с отрицательной производной.

В общем случае, если при сопротивление реактивного двухполюсника равно нулю, т. е. имеется путь для постоянного тока, то первым наступает резонанс токов, за ним следует резонанс напряжений и т. д.

В противном случае порядок расположения резонансов обратный: первым наступает резонанс напряжений, вторым — резонанс токов и т. д.

На рис. 5-14, а дана схема многоэлементного двухполюсника, а на рис. 5-14, б — соответствующая ему частотная характеристика сопротивления.

У реактивных двухполюсников сумма чисел полюсов и нулей (не считая точек на единицу меньше числа элементов данного «приведенного» двухполюсника.

Расположение нулей и полюсов, как указывалось выше, поочередное, а все ветви частотной характеристики с увеличением возрастают.

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Резонанс тока

Наглядное представление о резонансе токов дает колебательный контур, применяемый в электронных схемах. В его состав входит конденсатор с емкостью С и катушка с индуктивностью L, включенные параллельно. В процессе передачи энергии из электрического поля емкости в магнитное поле индуктивности возникают самозатухающие колебания с определенной частотой. Возникновение колебаний происходит благодаря активному сопротивлению R, препятствующему свободному прохождению тока.

Явление резонанса токов появляется в цепи, куда параллельно включены конденсатор и катушка. Их номиналы подобраны с таким расчетом, чтобы токи, протекающие по С и L, были равны. Поэтому в контуре С-L ток будет выше, чем его значение на остальных участках цепи.

Максимальное значение магнитного поля достигается при полном разряде конденсатора. Таким образом, вся энергия, накопленная конденсатором, преображается в магнитное поле индуктивности. Заряженные частицы продолжают двигаться, благодаря самоиндукции катушки.

Поскольку противоток от разряженного конденсатора уже отсутствует, он подвергается повторной зарядке, но уже с изменившейся полярностью. Это приводит к преобразованию поля катушки в заряд конденсатора и повторению всего процесса. Активная составляющая R приводит к постепенному угасанию колебаний. В этом и заключается основная суть резонанса.

Реактивные сопротивления индуктивности и емкости

Индуктивностью называется способность тела накапливать энергию в магнитном поле. Для нее характерно отставание тока от напряжения по фазе. Характерные индуктивные элементы — дросселя, катушки, трансформаторы, электродвигатели.

Емкостью называются элементы, которые накапливают энергию с помощью электрического поля. Для емкостных элементов характерно отставание по фазе напряжения от тока. Емкостные элементы: конденсаторы, варикапы.

Приведены их основные свойства, нюансы в пределах этой статьи во внимание не берутся. Кроме перечисленных элементов другие также имеют определенную индуктивность и емкость, например в электрических кабелях распределенные по его длине. Кроме перечисленных элементов другие также имеют определенную индуктивность и емкость, например в электрических кабелях распределенные по его длине

Кроме перечисленных элементов другие также имеют определенную индуктивность и емкость, например в электрических кабелях распределенные по его длине.

Практическое использование резонанса токов

Резонанс токов широко используется на практике. В случае изменения величины емкости конденсатора или индуктивности контура, становится возможной регулировка частоты свободных колебаний. Таким образом, контур может быть настроен на определенную частоту.

Природа свободных электрических колебаний, возникающих в контуре, всегда затухающая. Колебания затухают постепенно под влиянием сопротивления, которым обладают соединительные провода. Кроме того, энергия затрачивается на нагрев провода катушки индуктивности при прохождении в контуре электрического тока. Потери энергии приводят к постепенному снижению амплитуды колебаний и их окончательное затухание. Сопротивление контура оказывает непосредственное влияние на скорость затухания колебаний, связанную с потерями энергии.

Для электронных устройств очень важно иметь возможность получения незатухающих электрических колебаний с неизменной амплитудой в течение продолжительного времени. Для обеспечения этого процесса выполняется подключение к контуру генератора переменного тока

В результате, частота вынужденных колебаний не будет зависеть от емкости и индуктивности контура, а будет находится в зависимости от частоты переменного тока, вырабатываемого генератором.

Необходимо соблюдать условия, когда токи в емкости и индуктивности имели бы одинаковое значение

Это важное свойство дает возможность регулировок на любых участках электронных схем

Расчет резонансной частоты контура

Принцип работы катушки Тесла

Принцип работы конденсатора

Реактивное сопротивление конденсатора

Резонанс напряжений

Если последовательно с генератором соединить конденсатор и катушку индуктивности, то, при условии равенства их реактивных сопротивлений, возникнет резонанс напряжений. При этом активная часть Z должно быть как можно меньшей.

Стоит отметить, что индуктивность и емкость обладает только реактивными качествами лишь в идеализированных примерах. В реальных же цепях и элементах всегда присутствует активное сопротивление проводников, хоть оно и крайне мало.

При резонансе происходит обмен энергией между дросселем и конденсатором. В идеальных примерах при первоначальном подключении источника энергии (генератора) энергия накапливается в конденсаторе (или дросселе) и после его отключения происходят незатухающие колебания за счет этого обмена.

Напряжения на индуктивности и емкости примерно одинаковы, согласно закону Ома:

Где X — это Xc емкостное или XL индуктивное сопротивление соответственно.

Цепь, состоящую из индуктивности и емкости, называют колебательным контуром. Его частота вычисляется по формуле:

Период колебаний определяется по формуле Томпсона:

Так как реактивное сопротивление зависит от частоты, то сопротивление индуктивности с ростом частоты увеличивается, а у ёмкости падает. Когда сопротивления равны, то общее сопротивление сильно снижается, что отражено на графике:

Основными характеристиками контура являются добротность (Q) и частота. Если рассмотреть контур в качестве четырехполюсника, то его коэффициент передачи после несложных вычислений сводится к добротности:

А напряжение на выводах цепи увеличивается пропорционально коэффициенту передачи (добротности) контура.

При резонансе напряжений, чем выше добротность, тем больше напряжение на элементах контура будет превышать напряжение подключенного генератора. Напряжение может повышаться в десятки и сотни раз. Это отображено на графике:

Потери мощности в контуре обусловлены только наличием активного сопротивления. Энергия из источника питания берется только для поддержания колебаний.

Коэффициент мощности будет равен:

Эта формула показывает, что потери происходят за счет активной мощности:

Принцип действия резонансных токов

Наглядное представление о резонансе токов дает колебательный контур, применяемый в электронных схемах. В его состав входит конденсатор с емкостью С и катушка с индуктивностью L, включенные параллельно. В процессе передачи энергии из электрического поля емкости в магнитное поле индуктивности возникают самозатухающие колебания с определенной частотой. Возникновение колебаний происходит благодаря активному сопротивлению R, препятствующему свободному прохождению тока.

Явление резонанса токов появляется в цепи, куда параллельно включены конденсатор и катушка. Их номиналы подобраны с таким расчетом, чтобы токи, протекающие по С и L, были равны. Поэтому в контуре С-L ток будет выше, чем его значение на остальных участках цепи.

Принцип работы такого контура заключается в следующем. При подаче питания конденсатор накапливает определенную величину заряда, равную номинальному напряжению источника тока. После этого источник отключается, а конденсатор замыкается в цепь контура, чтобы на катушку пошел разряд. Ток проходит по ней, тем самым вызывает генерацию магнитного поля. В результате создается электродвижущая сила самоиндукции, направленная навстречу току.

Максимальное значение магнитного поля достигается при полном разряде конденсатора. Таким образом, вся энергия, накопленная конденсатором, преображается в магнитное поле индуктивности. Заряженные частицы продолжают двигаться, благодаря самоиндукции катушки.

Поскольку противоток от разряженного конденсатора уже отсутствует, он подвергается повторной зарядке, но уже с изменившейся полярностью. Это приводит к преобразованию поля катушки в заряд конденсатора и повторению всего процесса. Активная составляющая R приводит к постепенному угасанию колебаний. В этом и заключается основная суть резонанса.

Применение на практике резонанса

Рассмотрим, какая польза и вред резонанса токов и напряжений. Наибольшую пользу явления резонанса принесли в радиопередающей аппаратуре. Простыми словами, а схеме приемника установлены катушка и конденсатор , подключенные к антенне. С помощью изменения индуктивности (например, перемещая сердечник) или величины емкости (например, воздушным переменным конденсатором) вы настраиваете резонансную частоту. В результате чего напряжение на катушке повышается и приемник ловит определенную радиоволну.

Вред эти явления могут на нести в электротехнике, например, на кабельных линиях. Кабель представляет собой распределенную по длине индуктивность и емкость, если на длинную линию подать напряжение в режиме холостого хода (когда на противоположном от источника питания конце кабеля нагрузка не подключена). Поэтому есть опасность того, что произойдет пробой изоляции, во избежание этого подключается нагрузочный балласт. Также аналогичная ситуация может привести к выходу из строя электронных компонентов, измерительных приборов и другого электрооборудования – это опасные последствия возникновения этого явления.

Описание явления

Если в некой электрической цепи (см. рис. 1) имеются ёмкостные и индуктивные элементы, которые обладают собственными резонансными частотами, то при совпадении этих частот амплитуда колебаний резко возрастёт. То есть происходит резкий всплеск напряжений на этих элементах. Это может вызвать разрушение элементов электрической цепи.

Давайте рассмотрим на этом примере, какие явления будут происходить при подключении генератора переменного тока к контактам схемы. Заметим, что катушки и конденсаторы обладают свойствами, которые можно сравнить с аналогом реактивного резистора. В частности, дроссель в электрической цепи создаёт индуктивное сопротивление. Конденсатор является причиной ёмкостного сопротивления.

Резонансная частота

При подаче на два КК (параллельного и последовательного) переменного напряжения с изменяющейся частотой их реактивные сопротивления C и L будут меняться. Изменения происходят следующим образом:

• с увеличением f – ёмкостное сопротивление уменьшается, а индуктивное увеличивается;
• с уменьшением f – ёмкостное сопротивление увеличивается, а индуктивное уменьшается.

Частота, при которой реактивные сопротивления обоих элементов контура равны, называется резонансной.

Важно! При fрез сопротивление параллельного КК будет максимальным, а последовательного КК – минимальным. Резонансная частота формула, которой имеет вид:. Резонансная частота формула, которой имеет вид:

Резонансная частота формула, которой имеет вид:

• L – индуктивность, Гн;
• C – ёмкость, Ф.

Подставляя известные значения ёмкости и индуктивности в формулу резонансной частоты колебательного контура любой конфигурации, можно рассчитать этот параметр.

Для определения периода колебаний КК и частоты резонанса можно воспользоваться онлайн калькулятором на соответствующем портале в сети. Профессиональная программа имеет несложный интерфейс.

Пример интерфейса онлайн калькулятора LC-контура

Резонанс напряжений

Если в цепи синусоидального тока с последовательно соединенными конденсатором ёмкостью и катушкой с сопротивлением и индуктивностью (рис. 9.16 а) равны реактивные сопротивления, то в цепи наступает резонанс напряжений. Равенство реактивных сопротивлений является условием резонанса напряжений.

тогда частота резонанса определяется выражением

Резонанс напряжений имеет место в неразветвленной цепи с и тогда, когда частота вынужденных колебаний (частота источника) , будет равна частоте собственных колебаний резонансного контура .

Следовательно, добиться резонанса напряжений можно изменением частоты источника или изменением параметров колебательного контура или , т.е. изменением частоты собственных колебаний .

Полное сопротивление цепи (рис. 9.16 а) при резонансе напряжений определяется по формуле: , так как, .

Ток в неразветвленной цепи при резонансе напряжений максимальный:

Реактивные сопротивления при резонансе напряжений равны между собой, т. е.

Таким образом, реактивные сопротивления при резонансе напряжений равны (каждое) волновому сопротивлению , которое называют характеристическим сопротивлением:

Напряжения на индуктивности и на емкости при резонансе напряжений равны между собой, так как равны сопротивления.

Данное равенство определяет название «резонанс напряжений» Так как и изменяются в противофазе, то напряжение в резонансном режиме равно напряжению на активном сопротивлении , т. е. , что видно на векторной диаграмме (рис. 9.16 б).

На резонансных кривые чётко просматриваются значения этих параметров при частоте резонанса (рис. 9.17).

Резонанс токов в цепи параллельным включением катушки и конденсатора (в различных ветвях) возникает при равенстве реактивных проводимостей в ветвях: или .

Данное выражение является условием резонанса током в разветвленных цепях синусоидального тока.

Полная проводимость при этом условии

Ток в неразветвленной части цепи при резонансе токов имеет минимальную величину:

Реактивные токи в ветвях при резонансе токов равны между собой

Это равенство и определяет название «резонанс токов».

Векторная диаграмма при резонансе токов (рис. 9.18). Реактивные токи находятся в противофазе, поэтому ток в неразветвленной части цепи при резонансе токов равен активному току , и совпадает по фазе с напряжением, т. е. , a . Следовательно, вся мощность цепи при резонансе токов является активной : .

Частота при резонансе токов определяется:

Эта страница взята со страницы лекций по предмету теоретические основы электротехники (ТОЭ):

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Схема замещения конденсатора с параллельным соединением элементов

Схема замещения реальной катушки с параллельным соединением элементов

Схема замещения реальной катушки с параллельным соединением элементов

Проводимость, расчет электрических цепей методом проводимостей

Резонанс

Если схема с конденсатором, катушкой и резистором возбуждается напряжением, постоянно меняющимся во времени с определенной частотой, то также изменяются реактивные сопротивления: индуктивное и емкостное. Амплитуда и частота выходного сигнала будет изменяться по сравнению с входным.

Частота вращения: формула

Индуктивное сопротивление прямо пропорционально частоте:

а емкостное сопротивление обратно пропорционально этому показателю:

X(C) = 1/(2π x f x C).

Важно! На более низких частотах индуктивное сопротивление незначительное, а емкостное будет высоким и сможет создавать практически разомкнутый контур. На высоких частотах картина обратная

При конкретной комбинации конденсатора и катушки схема становится резонансной, или настроенной, имеющей частоту колебаний, при которой индуктивное сопротивление идентично емкостному. И они компенсируют друг друга.

Следовательно, в цепи остается исключительно активное сопротивление, противостоящее протекающему току. Созданные условия получили наименование резонанса колебательного контура. Фазовый сдвиг между током и напряжением отсутствует.

Резонанс LC-цепи

Для расчета резонансной частоты колебательного контура учитывается следующее условие:

Следовательно, 2π x f x L = 1/(2πx f x C).

Отсюда получается формула резонансной частоты:

Расчет резонансной частоты, индуктивности и емкости можно сделать на онлайн калькуляторе, подставив конкретные значения.

Скорость, с которой рассеивается энергия от LC-схемы, должна быть такой же, как энергия, подаваемая на схему. Устойчивые, или незатухающие, колебания производятся электронными схемами генераторов.

LC-цепи используются либо для генерации сигналов на определенной частоте, либо для выделения частотного сигнала из более сложного. Они являются ключевыми компонентами многих электронных устройств, в частности радиооборудования, используемого в генераторах, фильтрах, тюнерах и частотных микшерах.

Виды резонансных явлений

Удельное сопротивление меди

Рассматриваемые эффекты по-разному проявляются в газовой среде и в твердых телах. Они способны возникать в электрической цепи с реактивными компонентами. При определенных условиях резонансное воздействие разрушит кирпичный дом или разорвет стенки прочного котла паровой машины. Правильное использование этого явления помогает улучшить помехозащищенность радиоаппаратуры, успешно решать другие практические задачи.

Механический резонанс

Для вычисления параметров механической системы можно продолжить изучение маятника. Естественное движение качелей замедляется трением функциональных компонентов, сопротивлением воздуха. Чтобы предотвратить затухание колебаний нужно приложить внешнюю силу (F). Максимальную эффективность обеспечит совпадение частот. Ниже показан алгоритм расчета механического резонанса.

Период (Т) определяется формулой T = 2π√(L/g), где g – константа ускорения свободного падения (≈9,8м/с2). Собственная частота конструкции v = 1/T. Если добавить определение второго закона Ньютона (прямую пропорциональность импульса системы от силы и времени (Δt) воздействия), частоту можно выразить как:

• N – количество импульсов;
• m – суммарная масса груза.

Так как энергия в замкнутом контуре сохраняется (идеальный пример без потерь), допустимо использовать следующие пропорции:

(m*v2)/2 = m*g*h = m*g*L*(1-cos α).

Из этих сочетаний простыми преобразованиями получают две формулы для расчетов:

• N = (m/(F* Δt)) * √(2*g*L*(1-cos α));
• t (общее время для выполнения N колебаний) = N*T = (2π*m*L)/(F* Δt)) * √(2*(1-cos α)).

Подставив определенные исходные значения, вычисляют периодичность необходимых резонансных колебаний:

• m=100кг;
• F = 10Н;
• L = 200 см;
• Δt = 1 с;
• N = 34;
• t = 96;
• T = 2,8 с.

Электрический колебательный контур

Явление резонанса может наблюдаться в цепях переменного тока при совпадении частот источника питания (сигнала) и реактивных компонентов контура. В этом случае можно рассматривать электрическое сопротивление, как аналог сил трения в механической системе.

Для создания необходимых условий можно применить параллельное соединение типовых элементов (R, L и C). Если обеспечить равенство импедансов реактивных составляющих, на определенной частоте суммарное значение токов в соответствующих цепях будет больше, по сравнению с током источника питания. Графика на рисунке демонстрирует векторное представление электрических параметров. В этом режиме наблюдается равномерное распределение энергетического баланса колебательного процесса, который поддерживают конденсатор и катушка индуктивности.

Для вычислений нужно уточнить влияние каждого компонента. Емкость создает препятствие прохождению тока, определяемое формулой:

• Xc – сопротивление;
• f – частота;
• С – емкость.

Индуктивная составляющая определяется следующим образом:

Полное сопротивление контура:

Z = √R2 + (2π*f*L — 1/(2π*f*C)2.

При равенстве реактивных компонентов несложно сделать вывод о том, что 2π*f*L = 1/2π*f*C. Частоту, на которой появится резонанс, вычисляют по формуле:

Fрезонанса = 1/2π * √ (L*C).

Условия резонанса напряжений в последовательном контуре

Сложные колебательные структуры

Если применить трансформатор для образования связи между двумя колебательными контурами, расчет усложняется. Для создания необходимых условий обеспечивают равенство реактивных составляющих.

Резонансные кривые связанных контуров

Рисунок демонстрирует изменение полосы пропускания при разных значениях коэффициента (К), определяющего передачу напряжения. При увеличении этого параметра выше критического уровня (K>Ккр) образуется двугорбая кривая. Максимальная ширина полосы пропускания обеспечивается при К = 0,7*Кмакс. Дальнейшее усиление связи формирует провал в средней части.

Нелинейные системы

Если отсутствуют симметричные реакции на сторонние воздействия, резонансные явления проявляются особым образом. В частности, наличие в цепи катушки с ферритовым сердечником существенно усложняет точный расчет. В подобных материалах магнитные свойства определяются нелинейным распределением элементарных компонентов.

Что такое резонанс?

Определение явления по ТОЭ: электрический резонанс происходит в электрической цепи при определенной резонансной частоте, когда некоторые части сопротивлений или проводимостей элементов схемы компенсируют друг друга. В некоторых схемах это происходит, когда импеданс между входом и выходом схемы почти равен нулю, и функция передачи сигнала близка к единице. При этом очень важна добротность данного контура.

Соединение двух ветвей при резонансе

1. Составляющие реактивных ветвей тока равны между собой IPC = IPL, противофаза образовывается только при равенстве чистой активной энергии на входе;
2. Ток в отдельных ветках, превышает весь ток определенной цепи, при этом ветви совпадают по фазе.

Иными словами, резонанс в цепи переменного тока подразумевает специальную частоту, и определяется значениями сопротивления, емкости и индуктивности. Существует два типа резонанса токов:

1. Последовательный;
2. Параллельный.

Для последовательного резонанса условие является простым и характеризуется минимальным сопротивлением и нулевой фазе, он используется в реактивных схемах, также его применяет разветвленная цепь. Параллельный резонанс или понятие RLC-контура происходит, когда индуктивные и емкостные данные равны по величине, но компенсируют друг друга, так как они находятся под углом 180 градусов друг от друга. Это соединение должно быть постоянно равным указанной величине. Он получил более широкое практическое применение. Резкий минимум импеданса, который ему свойствен, является полезным для многих электрических бытовых приборов. Резкость минимума зависит от величины сопротивления.

Схема RLC (или контур) является электрической схемой, которая состоит из резистора, катушки индуктивности, и конденсатора, соединенных последовательно или параллельно. Параллельный колебательный контур RLC получил свое название из-за аббревиатуры физических величин, представляющих собой соответственно сопротивление, индуктивность и емкость. Схема образует гармонический осциллятор для тока. Любое колебание индуцированного в цепи тока, затухает с течением времени, если движение направленных частиц, прекращается источником. Этот эффект резистора называется затуханием. Наличие сопротивления также уменьшает пиковую резонансную частоту. Некоторые сопротивление являются неизбежными в реальных схемах, даже если резистор не включен в схему.

Как используется

Резонансные токи используются сегодня в некоторых фильтрующих системах, радиотехнике, электричестве, радиостанциях, асинхронных двигателях, высокоточных электрических сварных установках, колебательных генераторных электрических контурах и высокочастотных приборах. Нередко, когда они применяются, чтобы снизить генераторную нагрузку.

Обратите внимание! Простейшая цепь, где наблюдаются они, это параллельного вида колебательный контур. Такие контуры используются в современном промышленном индукционном котловом оборудовании и улучшают показатели КПД

Резонансное явление напряжения – вещь достаточно интересная и заслуживает внимания. Резонанс возможен только в индуктивных ёмкостных цепях. В линиях, где активное сопротивление велико, это явление невозможно.

Подведём итог, коротко дав ответы по данной теме:

Где возможно возникновение резонанса?

Ответ: в индуктивных ёмкостных схемах.

При каких условиях?

Ответ: реактивные сопротивления должны быть равны.

Как ликвидировать резонанс?

Ответ: Поменять частоту, добавить активное сопротивление.

Надеемся, теперь вам понятно, что это за явление, условия для его появления и практическое использование.

Резонансные режимы в цепи. Резонанс напряжения, резонанс

Реактивные сопротивления и проводимости отдельных участков цепи могут быть положительными (индуктивные элементы) и отрицательными (емкостные элементы). Поэтому возможны такие сочетания этих элементов, когда входное реактивное сопротивление или входная реактивная проводимость всей цепи равны нулю. При этом ток и напряжение на входе цепи совпадают по фазе и эквивалентное сопротивление всей цепи является активным. Такие режимы цепи называются резонансными.

Резонанс напряжений. На рис.2.7 приведена цепь, включающая последовательно соединенные активное сопротивление, индуктивность и емкость. При построении векторных диаграмм этой цепи рассмотрен режим, когда индуктивное и емкостное сопротивления одинаковы по величине (рис.2.10). Напряжения на индуктивности и емкости полностью компенсируют друг друга. Ток в цепи совпадает по фазе с входным напряжением. В электрической цепи наступает режим резонанса напряжения.

Ток в резонансном режиме достигает максимума, так как полное сопротивление zцепи имеет минимальное значение:

Условие возникновения резонанса: .

Частоту называют резонансной частотой:

Из (2.46) следует, что режима резонанса можно добиться следующими способами:

1) изменением частоты;

2) изменением индуктивности;

3) изменением емкости.

В резонансном режиме входное напряжение равно падению напряжения в активном сопротивлении. На индуктивности и емкости схемы могут возникнуть напряжения, значительно превышающие напряжение на входе цепи, если реактивные сопротивления значительно превышают активное сопротивление. Напряжение на индуктивности при резонансе равно напряжению на емкости:

Отношение Q называют добротностью контура.

Добротность показывает, во сколько раз напряжения на реактивных элементах превышают входное напряжение в резонансном режиме. В радиотехнических цепях добротность составляет несколько сотен. Резонансные свойства характеризуют также величиной обратной добротности , называемой затуханием контура.

Волновое сопротивление контура или характеристическое сопротивление определяет отношение напряжения на реактивных элементах в резонансном режиме к величине тока:

При резонансе напряжений малые количества энергии, поступающие от источника и компенсирующие потери энергии в активном сопротивлении, достаточны для поддержания незатухающих колебаний относительно больших количеств энергии магнитного и электрического полей. Покажем, что при резонансе в любой момент времени суммарная энергия магнитного и электрического полей остается постоянной:

Пусть ток в резонансном контуре , тогда напряжение на емкости отстает по фазе от тока на 90 0 .

Суммарная энергия магнитного и электрического полей (2.47) равна:

Если в схеме (рис.2.10) величина ЭДС и параметры R, L, C неизменны, но меняется частота , то изменяется реактивное сопротивление X и, следовательно, полное сопротивление угол . Зависимости параметров двухполюсника (действительной и мнимой части входного сопротивления или входной проводимости) от частоты называют частотными характеристиками.

при трех характерных значениях частоты принимает предельные значения, равные нулю, либо бесконечности (рис.2.21).

При , при , при имеет место резонанс напряжений и X=0. Аргумент функции, при котором она принимает бесконечное значение, называется полюсом функции, а аргумент, при котором она принимает нулевое значение, называется нулевым значением. Отметим, что в момент резонанса происходит изменение характера реактивного сопротивления: при реактивное сопротивление имеет емкостной характер, а при — индуктивный характер.

Рис. 2.21

Величина действующего тока в цепи и напряжения на индуктивности и емкости также зависят от изменения частоты:

Зависимости действующих значений тока и напряжений на элементах цепи при изменении частоты называют резонансными кривыми. Резонансные характеристики , , приведены на рис.2.23.

Напряжение на емкости при стремится к U, а при стремится к нулевому значению, напряжение на индуктивности при равно нулю, при стремится к U. При резонансной частоте и взаимно компенсируются, ток цепи максимален, напряжение источника приложено к активному сопротивлению.

Рис. 2.22

Из рис. 2.22 видно, что максимум напряжения на индуктивности и максимум напряжения на емкости имеют место при частотах не равных резонансной частоте. Максимум имеет место при частоте меньшей , а максимум при частоте большей .

В электроэнергетических устройствах влияние резонанса, как правило, нежелательное, так как при резонансе напряжения на индуктивных и емкостных элементах могут значительно превышать номинальные значения. Такие явления могут возникать при подключении к зажимам синхронного генератора или трансформатора длинной линии передачи или кабеля, не замкнутых на приемник нагрузки. Генератор и трансформатор имеют индуктивное сопротивление, а линия или кабель обладают емкостью и индуктивностью. При отсутствии нагрузки на конце линии затухание такой цепи очень мало и возникают перенапряжения, если частота близка к резонансной.

Явление резонанса напряжений широко используется в радиопередающих и радиоприемных устройствах.

Резонанс токов. На рис.2.11 приведена цепь, включающая параллельно соединенные активное сопротивление, идеальная индуктивность и емкость. При построении векторных диаграмм этой цепи рассмотрен режим, когда реактивная проводимость цепи (рис.2.14). При этом индуктивный и емкостный токи, направленные в противоположные стороны, полностью компенсируют друг друга. Ток в неразветвленной части схемы совпадает по фазе с напряжением. В электрической цепи наступает режим резонанса токов.

Из условия возникновения резонанса тока получим формулу для резонансной частоты тока:

Полученное выражение для резонансной частоты совпадает с (2.46). Резонанса токов можно добиться изменением частоты, изменением индуктивности либо емкости.

В режиме резонанса тока полная (входная) проводимость цепи — минимальна, а полное сопротивление — максимально. Ток в неразветвленной части схемы в резонансном режиме имеет минимальное значение, в отличие от резонанса напряжений, когда ток имеет максимальное значение. В идеализированном случае при R = 0,

Ток в неразветвленной части цепи I = 0. Такая схема называется фильтр — пробкой.

При резонансе токов возможны режимы, когда токи через индуктивность и емкость значительно превосходят ток в неразветвленной части схемы. Превышение токов в реактивных элементах над током в неразветвленной части схемы имеет место при условии

Величина имеет размер проводимости и называется волновой проводимостью контура.

Добротность контура Q при резонансе токов определяет кратность превышения тока в индуктивности и емкости над током в неразветвленной части схемы :

Величина обратная добротности является затуханием контура.

Энергетические процессы при резонансе токов аналогичны энергетическим процессам при резонансе напряжений. Малые количества энергии, поступающие от источника и компенсирующие потери энергии в активном сопротивлении, достаточны для поддержания незатухающих колебаний относительно больших количеств энергии магнитного и электрического полей. Суммарная энергия магнитного и электрического полей при резонансе токов также в любой момент времени остается постоянной.

Частотные характеристики проводимостей ветвей с индуктивностью , с емкостью и входной проводимости приведены на рис. 2.23.

Рис. 2.23

При , при , при имеет место резонанс токов и b=0. В момент резонанса происходит изменение характера входной проводимости: при входная проводимость имеет индуктивный характер, а при — емкостной характер.

Резонансные характеристики , , при неизменном входном токе (I = const) и неизменных величинах активного сопротивления, индуктивности и емкости (R = const, L=const, C = const) определяются выражениями

и приведены на рис. 2.24.

При сопротивление индуктивности равно нулю и весь ток протекает через катушку , . При сопротивление конденсатора стремится к нулю и ток проходит только через конденсатор , . При частоте резонанса , токи в индуктивности и конденсаторе взаимно компенсируются, входной ток равен току через активное сопротивление . Максимумы токов через индуктивность и емкость не совпадают с максимумом напряжения при резонансной частоте . Максимум имеет место при частоте меньшей , а максимум при частоте большей .

Рис. 2.24

В энергетике процесс уменьшения угла сдвига фаз между напряжением на приемнике и током, потребляемым из сети, называют компенсацией угла сдвига фаз. Входное сопротивление большинства промышленных предприятий имеет индуктивный характер вследствие массового использования асинхронных двигателей. Для уменьшения величины потребляемого тока за счет компенсации его реактивной составляющей и соответственно потерь электроэнергии в сети, параллельно приемнику энергии включают батареи конденсаторов. Экономически выгодно подключать конденсаторы на возможно более высокое напряжение, так как ток через конденсаторы пропорционален напряжению . Компенсация угла сдвига фаз обычно выполняется до значения коэффициента мощности cos = 0,9 0,95.