Уравнение состояния идеального газа
Математическая запись универсального газового закона проста:
pV = nRT *
Она содержит основные характеристики поведения газов: p, V и T — соответственно давление, объем и абсолютная температура газа (в градусах Кельвина), R — универсальная газовая постоянная, общая для всех газов, а n — число, пропорциональное числу молекул или атомов газа (так называемое число молей газа — см. Закон Авогадро).
Чтобы понять, как работает этот закон, давайте представим, что температура газа постоянна. В этом случае в правой части уравнения получается константа. Значит, произведение давления и объема при неизменной температуре оказывается неизменным. Повышение давления сопровождается уменьшением объема, и наоборот. Это не что иное, как закон Бойля—Мариотта — одна из первых экспериментально полученных формул, описывающих поведение газов. С другой стороны, при постоянном давлении (например, внутри воздушного шарика, где давление газа равно атмосферному) повышение температуры сопровождается увеличением объема. А это — закон Шарля, другая экспериментальная формула поведения газов. Закон Авогадро и закон Дальтона также являются следствиями универсального газового закона.
Этот закон представляет собой то, что в физике принято называть уравнением состояния вещества, поскольку он описывает характер изменения свойств вещества при изменении внешних условий. Строго говоря, этот закон в точности выполняется только для идеального газа. Идеальный газ представляет собой упрощенную математическую модель реального газа: молекулы считаются движущимися хаотически, а соударения между молекулами и удары молекул о стенки сосуда — упругими, то есть не приводящими к потерям энергии в системе. Такая упрощенная модель очень удобна, поскольку позволяет обойти очень неприятную трудность — необходимость учитывать силы взаимодействия между молекулами газа. И это себя оправдывает, поскольку в природных условиях поведение большинства реальных газов практически не отличается от поведения идеального газа — отклонения в поведении практически всех природных газов, например атмосферного азота и кислорода, от поведения идеального газа не превышают 1%. Это позволяет ученым спокойно включать уравнение состояния идеального газа даже в весьма сложные теоретические расчеты. Например, астрономы при моделировании горячих звезд обычно считают вещество звезды идеальным газом и весьма точно прогнозируют давления и температуры внутри них. (Заметьте, что вещество внутри звезды ведет себя как идеальный газ, хотя его плотность несопоставимо выше плотности любого вещества в земных условиях. А дело в том, что вещество звезды состоит из полностью ионизированных ядер водорода и гелия — то есть из частиц значительно меньшего диаметра, чем диаметр атомов земных газов.) В будущем, по мере совершенствования теоретических методов, возможно, будут выведены более точные уравнения для описания состояния реальных газов с учетом их характеристик на молекулярном уровне.
* Эта формула была получена в 1874 году Д. И. Менделеевым путем объединения закона Авогадро и общего газового закона (pV/ T = const), сформулированного в 1834 году Б. П. Э. Клапейроном. Поэтому этот закон (в Европе, по крайней мере) принято называть законом Менделеева—Клапейрона. По существу, этот закон позволил ввести все ранее сделанные эмпирические заключения о характере поведения газов в рамки новой молекулярно-кинетической теории. (Примечание переводчика)
Термодинамика: основные законы и формулы
Физическая дисциплина «Термодинамика», имеющая дословный перевод с греческого как θέρμη — «тепло», δύναμις — «сила», занимается изучением общих характеристик макросистем и обращения энергии внутри них. Эту науку относят к феноменологическому типу, хотя опирается она на факты, полученные опытным путем.
Термодинамическая система, рассматриваемая в данном ракурсе, имеет конкретные характеристики, не применимые к единичным атомам и молекулам. К ним относят температуру, энергию, объем, концентрацию растворов, давление.
Определение таких параметров происходит по формулам термодинамики.
Основные формулы термодинамики
Особенностью термодинамики является то, что ее постулаты не касаются взаимодействия отдельных единиц (атомов, молекул), как в молекулярной физике. Предметом изучения предстают общие взаимопревращения энергии, образование теплоты, теплопередача и совершение работы.
Исходя из этого, выделяют основные формулы термодинамики, к которым относятся:
- Уравнение Менделеева-Клайперона: \(PV=(m/M)*RT\) . Его смысл — в изменениях трех входящих величин, которые направлены на характеристику состояния идеального газа.
- Количество вещества, обозначаемое буквой \(ν\) . \(\nu=N/NA=m/\mu\)
Величина, выражающая, сколько одинаковых структурных компонентов (единиц) находится в веществе.
Первое начало термодинамики
Согласно первому закону термодинамики, \(Q\) (количество внутренней теплоты), которое получил газ извне, расходуется на совершение работы \(А\) и изменение внутренней энергии \(U\) . Формула закона: \(Q=\Delta U+A\) .
На практике газ может быть нагрет либо охлажден. Однако в данном случае рассматривается изотермический процесс, в котором один из характеризующих параметров остается неизменным.
Если процесс изотермичен, в химии включается закон Бойля-Мариота. В нем говорится, что давление газа соотносится к изначальному объему, при стабильной температуре, обратно пропорционально.
Когда процесс происходит при неизменном объеме, говорят об изохорности. Здесь вступает в действие закон Шарля. В обозначенных условиях то тепло, которое поступило к газу, расходуется на изменение внутренней энергии. Другими словами, \(P\) пропорционально \(T\) .
Протекание процессов в идеальном газе при неизменном давлении носит характер изобарного. Здесь действует закон Гей-Люссака, который выражается уравнением:
\(Q=\Delta U=p\Delta V\)
Полная формулировка закона гласит: полученное тепло при изобарном процессе расходуется на совершение работы газом, а также изменяет его внутреннюю энергию.
Часть процессов происходят изолированно от внешней среды. Газ не получает дополнительной энергии. Такая ситуация носит название адиабатной и математически записывается: \(Q=0\) . Работа \(А\) в таком случае выражается: \(A=-\Delta U.\)
Уравнение идеального газа в термодинамике
Молекулы идеального газа постоянно движутся. От того насколько велика скорость их движения, зависит общее состояние газа, а также величина его воздействия, например, на стенки сосуда. Поэтому одним из основных уравнений термодинамики является Клайперона-Менделеева:
В уравнении \(m\) — единица массы газа, \(M\) — его молекулярная масса, \(R\) — универсальная величина, называемая газовой постоянной. Ее значение = 8,3144598. Измеряется в Дж/(моль*кг).
В основе термодинамики лежат и другие газовые постоянные, например, число Авогадро, постоянная Больцмана. Таким образом, \(R=kNA.\)
Из уравнения Клайперона-Менделеева можно также вычислить массу. Она будет равна произведению плотности на объем: \(m=\rho V\) .
Основное уравнение молекулярно-кинетической теории (МКТ)
Решение части задач зависит от знания особенностей взаимосвязи между давлением газа и характеристикой кинетической энергии его молекул. Математическое выражение такой зависимости носит название основного уравнения МКТ:
В данном выражении кинетическая энергия обозначена буквой \(Е\) , а концентрация молекул — \(n\) . Каждую из этих величин физики можно найти исходя из соответствующих формул, после чего уравнение для молекулярно-кинетической теории (МКТ) приобретает вид:
Формула теплоемкости и главная формула КПД в термодинамике
Когда теплообмен проявляется передачей телу определенного количества теплоты, его энергия, как и температура, меняются.
То количество теплоты, обозначаемое \(Q\) , которое понадобится для того, чтобы 1 кг определенного вещества нагреется на 1 К, носит определение теплоемкости вещества и обозначается с.
Математическое выражение относительно переданного количества теплоты выглядит формулой:
Измеряется величина в Дж/(кг∙К).
При t2⟩t1, количество теплоты со знаком плюс, следовательно, вещество нагревается. Если наоборот, то Q — со знаком минус, и вещество остывает.
В физике, характеризуя свойства вещества, говорят о его теплоемкости. Это имеет значение, например, при выборе стройматериалов или сырья для изготовления нагревательных приборов. Теплоемкость равна произведению массы на удельную теплоемкость данного тела:
Учитывая, что в величине теплоемкости уже отражена масса, то сокращенная формула для определения \(Q\) выглядит так:
С другой стороны, то количество теплоты, которое отдает источник, можно высчитать по формуле:
В выражении буквой \(P\) обозначается мощность нагревателя, а \(t\) — время их контакта.
Конструкция, состоящая из нагревателя, тела-реципиента теплоты и охладителя, носит название тепловой машины. В качестве примера рассматривается двигатель внутреннего сгорания. Как и любой механизм, она имеет такую характеристику, как КПД — коэффициент полезного действия. Для его расчета применяется формула:
Внутренняя энергия одноатомного и двухатомного идеального газа
Характерной особенностью идеального газа является отсутствие у его составляющих частей потенциальной энергии. Вся внутренняя энергия — это сумма кинетических энергий всех молекул. Она является величиной, прямо пропорциональной температуре идеального газа:
В этом уравнении:
Исходя из приведенных формул, величина кинетической энергии поступательного движения идеального газа должна определяться исходя из выражения:
Поступательное движение характеризуется тремя степенями свободы. На каждую из них приходится одна треть общей кинетической энергии.
Двух- и более атомные молекулы газа характеризуются степенями свободы, касающимися вращательного движения.
Если обозначить число молекул в одном киломоле за \(Nμ\) , то внутренняя энергия идеального газа будет измеряться по формуле:
В формуле \(i\) — число степеней свобод.
Если газ одноатомный, \(i=3\) , двуатомный — 5, трех- и более — 6.
Задачи на термодинамику характеризуют распространенные физические процессы, поэтому часть включаются в программы экзаменов. Если для их решения не хватает времени, можно обратиться за помощью в Феникс.Хелп. На профильном сайте вам помогут справиться с любой, даже запутанной задачей, экономя ваши время и силы.
Уравнение Клапейрона-Менделеева (уравнение состояния идеального газа).
Уравнение Клапейрона-Менделеева (1834 г) устанавливает связь между объемом V, давлением P и абсолютной температурой Т для газа:
n – число молей газа ;
T – абсолютная температура газа, К;
R – универсальная газовая постоянная 8,314 Дж/моль×K.
Если объём газа выражен в литрах, то уравнение Клапейрона-Менделеева записывается в виде:
Уравнение Клапейрона-Менделеева
Идеальный газ — это газ, в котором пренебрегают взаимодействием молекул газа между собой.
Идеальными считают разреженные газы. Особенно близкими к идеальным считают гелий и водород.
Идеальный газ — это упрощенная математическая модель, которая широко применяется для описания свойств и поведения реальных газов при атмосферном давлении и комнатной температуре.
Давление, объем и температура — это основные параметры состояния системы, и они связаны друг с другом. Соотношение, при котором определяется данная связь, называется уравнением состояния данного газа.
Существует эквивалентная макроскопическая формулировка идеального газа — это такой газ, который одновременно будет подчиняться закону Бойля-Мариотта и Гей-Люссака, то есть:
p V = c o n s t * T
В представленном выше уравнении состоянии газа под const подразумевается количество молей.
Свойства классического и квазиклассического идеального газа описываются уравнением состояния идеального газа, которое называется уравнением Менделеева-Клапейрона, ниже представлена формула Менделеева-Клапейрона.
p V = m M R T = n R T , где m — масса газа, M — молярная масса газа, R = 8 , 314 Д ж / ( м о л ь * К ) — универсальная газовая постоянная, T — температура (К), n — количество молей газа.
Таким образом давление и объем прямо пропорциональны количеству молей и температуре.
Также уравнение Клапейрона-Менделеева можно записать в ином виде:
p V = N k T , где N — это количество молекул газа массой m , k = 1 , 38 * 10 — 23 Д ж / К — постоянная Больцмана, которая определяет «долю» газовой постоянной, приходящуюся на одну молекулу и определяется по формуле:
N = m N A M , где
N A = 6 . 02 * 10 23 м о л ь — 1 ; — это постоянная Авогадро.
Какое значение имеет универсальная газовая постоянная
Универсальная газовая постоянная (R) — это величина, которая является константой, численно равная работе расширения одного моля идеального газа в изобарном процессе при увеличении температуры на 1 K.
Значение данной константы находится как произведение постоянной Больцмана ( k = 1 , 38 * 10 — 23 Д ж / К ) на число Авогадро ( N A = 6 . 02 * 10 23 м о л ь — 1 \) . Таким образом универсальная газовая постоянная принимает следующее значение: R = 8 , 314 Д ж / ( м о л ь * К ) .
Постоянную Больцмана используют в формулах, описывающих изучаемое явление или поведение рассматриваемого объекта с микроскопической точки зрения, тогда как универсальная газовая постоянная более удобна при расчетах, касающихся макроскопических систем, когда число частиц задано в молях.
Связь с другими законами состояния идеального газа
С помощью уравнения состояния идеального газа можно исследовать процессы, в которых масса и один трех макропараметров (давление, температура или объем) — остаются неизменными.
Количественные зависимости между двумя параметрами газа при фиксированном третьем параметре называют газовыми законами, которые связывают эти параметры.
Изопроцессы — это термодинамические процессы, во время протекания которых количество вещества и один из макропараметров состояния: давление, объем, температура или энтропия — остается неизменным.
В зависимости от того, какой параметр остается неизменным различают разные процессы, которые выражаются законами, являющимися следствием уравнения состояния газа:
- изотермический процесс (T=const);
- изохорный процесс (V=const);
- изобарный процесс (p=const).
Изотермический процесс (T=const)
Процесс изменения состояния термодинамической системы при постоянной температуре называют изотермическим.
Для поддержания температуры газа постоянной необходимо, чтобы он мог обмениваться теплотой с большой системой — термостатом. Им может служить атмосферный воздух, если температура его заметно не меняется на протяжении всего процесса.
Согласно уравнению Клапейрона-Менделеева, в любом состоянии с неизменной температурой произведение давления газа на объем одно и то же, то есть постоянно:
Этот закон был открыт экспериментально английским ученым Бойлем и несколько позднее французским ученым Мариоттом. Именно поэтому он называется закон Бойля-Мариотта.
Закон Бойля-Мариотта справедлив для любых газов, а также для смеси газов (например, для воздуха).
Зависимость давления газа от объема при постоянной температуре изображается графической кривой — изотермой. Изотерма для различных температур представлена в координатах pV на рис.1. и представляет собой гиперболу.
Рис.1. Изотерма в pV — координатах.
Изохорный процесс (V=const)
Процесс изменения состояния термодинамической системы при постоянном объеме называют изохорным.
Из уравнения состояния следует, что отношение давлений газа данной массы при постоянно объеме равно отношению его абсолютных температур:
p 1 p 2 = T 1 T 2
Газовый закон был установлен экспериментально в 1787 г. французским физиком Ж. Шарлем и носит название закона Шарля: давление данной массы газа при постоянном объеме прямо пропорционально абсолютной температуре.
Так, если в качестве одного из состояний газа выбрать состояние газа при нормальных условиях, тогда
p = p 0 T T 0 = p 0 γ T
Коэффициент γ называют температурным коэффициентом давления газа. Он одинаков для всех газов.
Зависимость давления газа от температуры при постоянном объеме изображается графически прямой, которая называется изохорой (Рис.2).
Рис.2 Изображение изохоры в pT-координатах.
Изобарный процесс (p=const)
Процесс изменения состояния термодинамической системы при постоянном давлении называют изобарным.
Из уравнения Клапейрона-Менделеева вытекает, что отношение объемов газа данной массы при постоянном давлении равно отношению его абсолютных температур.
V 1 V 2 = T 1 T 2
Если в качестве второго состояния газа выбрать состояние при нормальных условиях (нормальном атмосферном давлении, температуре таяния льда) следует:
V = V 0 T T 0 = V 0 α T
Этот газовый закон был установлен экспериментально в 1802 г французским ученым Гей-Люссаком.
Закон Гей-Люссака: объем данной массы газа при постоянном давлении прямо пропорционален абсолютной температуре.
Коэффициент α называют температурным коэффициентом объемного расширения газов.
Зависимость объема газа от температуры при постоянном давлении изображается графической прямой, которая называется изобарой (Рис.3).
Рис. 3. Изобара в VT-координатах.
Использование универсального уравнения для решения задачи
В реальности проводятся различные физико-химические процессы. Рассмотрим каким образом уравнение состояния идеального газа и законы, связанные с ним находят применение для решения физических и химических задач.
Определить давление кислорода в баллоне объемом 1 м 3 при температуре t = 27 C o . Масса кислорода 1 кг.
Так как в уравнении даны объем и температура — два из трех макроскопических параметров, а третий (давление) нужно определить, то мы можем использовать уравнение Клапейрона-Менделеева:
p V = n R T = m M R T
Не забываем перевести температуру в Кельвины:
T = t + 273 = 27 + 273 = 300 K
Молярная масса кислорода известна из таблицы Менделеева:
M ( O 2 ) = 2 * 16 = 32 г / м о л ь = 32 * 10 — 3 к г / м о л ь
Выразим из уравнения состояния давления и поставим все имеющиеся данные:
p = n R T V = m R T M V = 1 * 8 . 31 * 300 32 * 10 — 3 * 1 = 77 . 906 П а = 78 к П а
Ответ: p = 78 кПа.
Каким может быть наименьший объем баллона, содержащего кислород массой 6,4 кг, если его стенки при t = 20 C o выдерживают p = 1568 Н / с м 2 ?
Используем уравнение Менделеева-Клапейрона, из которого выражаем объем кислорода, который нужно найти:
p = n R T V = m R T M V
Молярная масса кислорода предполагается равной:
M ( O 2 ) = 2 * 16 = 32 г / м 3
Не забываем перевести температуру в Кельвины:
T = t + 273 = 20 + 273 = 293 K
Переводим давление: p = 15680000 Па
Выражаем из уравнения Клапейрона-Менделеева объем и подставляем значения, данные в условиях задачи:
V = n R T p = m R T M p = 6 . 4 * 8 . 31 * 293 15680000 * 32 * 10 — 3 = 3 . 1 * 10 — 2 м 3 = 31 л .
Используя уравнение состояния идеального газа, доказать, что плотность любого газа равна половине плотности водорода ( ρ Н 2 ) , взятого при тех же условиях, умноженной на относительную молекулярную массу этого газа M_r, то есть ρ = ρ Н 2 * M r 2 .
Согласно уравнению Менделеева-Клапейрона:
p = n R T V = m R T M V
Плотность — это величина, характеризующая массу некоторого объема и находится по формуле:
ρ = m V и л и V = m ρ
Тогда p m ρ = n R T = m R T M
Откуда выражаем плотность газа:
Для водорода эта формула запишется следующим образом:
ρ H 2 = p M H 2 R T
По условию задачи водород и любой другой газ находятся при одинаковых условиях, откуда следует, что:
ρ H 2 M H 2 = p R T
Поставим последнее выражение в выражение для плотности любого газа:
ρ = M * ρ H 2 M H 2
Молярная масса водорода, исходя из таблицы Менделеева равна 2 г/моль и тогда. Молекулярная масса численно равная молярной и представляет собой массу молекулы в атомных единицах, поэтому в дальнейшем мы совершили переход к молекулярной массе.
ρ = M r * ρ H 2 2
Вывод: плотность любого газа равна половине плотности водорода ( ρ Н 2 ) , взятого при тех же условиях, умноженной на относительную молекулярную массу этого газа M_r, то есть ρ = ρ Н 2 * M r 2 .
Рассмотрим несколько задач на законы, связанные с уравнение Клапейрона-Менделеева, то есть на изотермические, изохорные, изобарные процессы.
При уменьшении давления газа в 2,5 раза его объем увеличился на 12 л. Какой объем занимал газ в начальном состоянии, если температура на протяжении всего процесса оставалась постоянной?
По условию задачи температура в ходе всего процесса оставалась постоянной, откуда следует, что у нас изотермический процесс, и мы можем воспользоваться для решения законом Бойля-Мариотта.
p 1 V 1 = p 2 V 2 , г д е p 1 – давление газа в начальном состоянии (до расширения), V 1 — объем газа в начальном состоянии, p 2 = p 1 2 . 5 — давление газа в конечном состоянии (после расширения), V 2 = V 1 + ∆ V — объем газа в конечном состоянии.
Откуда можем найти начальный объем:
p 1 V 1 = p 1 2 . 5 ( V 1 + ∆ V ) = p 1 2 . 5 V 1 + p 1 2 . 5 ∆ V
V 1 ( p 1 — p 1 2 . 5 ) = p 1 2 . 5 ∆ V
p 1 2 . 5 V 1 ( 2 . 5 — 1 ) = p 1 2 . 5 ∆ V
V 1 = ∆ V 1 , 5 = 8 л
Ответ: первоначальный объем газа был равен 8 л.
Газ находится в баллоне при температуре 400 К. До какой температуры нужно нагреть газ, чтобы его давление увеличилось в 1,5 раза?
Так как нагревание газа по условиям данной задачи происходит при постоянном объеме, значит перед нами изохорный процесс.
При изохорном процессе:
p 1 T 1 = p 2 T 2
T 2 = p 2 T 1 p 1
p 2 p 1 = 1 . 5 T 2 = 1 . 5 * T 1 = 1 . 5 * 400 = 600 K
При 27°C объем газа равен 600 мл. Какой объем займет газ при 57°C, если давление будет оставаться постоянным?
Так как давление по условию остается постоянным, то можем использовать закон Гей-Люссака.
V 1 V 2 = T 1 T 2
V_2 – искомый объем
Для правильного расчета необходимо перевести температуры из Цельсий в Кельвины:
T 1 = 273 + 27 = 300 K
T 2 = 273 + 57 = 330 K
T 2 V 1 T 1 = V 2
V 2 = ( 600 * 330 ) / 300 = 660 м л
Газ в трубе плавильной печи охлаждается от температуры t 1 = 1150 ° С д о t 2 = 200 ° С . Во сколько раз увеличивается плотность газа при этом? Давление газа не меняется.
Так как по условию задания давления газа не изменяется, значит перед нами изобарный процесс. Для решения воспользуемся законом Гей-Люссака: