Решение Системы Линейных Алгебраических Уравнений (СЛАУ) методом Крамера в EXCEL
history 10 ноября 2015 г.
- Группы статей
- Системы линейных уравнений
Решим Систему Линейных Алгебраических Уравнений (СЛАУ) методом Крамера в MS EXCEL. В этой статье нет теории, объяснено только как выполнить расчеты, используя MS EXCEL.
Метод Крамера применяется для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), в которых число неизвестных переменных равно числу уравнений и определитель основной матрицы отличен от нуля.
Решим систему из 3-х уравнений.
Запишем в ячейки основную матрицу системы и столбец свободных членов.
Определитель основной матрицы вычислим с помощью формулы =МОПРЕД(A11:C13)
Определитель =12, это означает, что матрица А – невырожденная, то есть, ее определитель отличен от нуля. В этом случае система линейных алгебраических уравнений имеет единственное решение, которое может быть найдено методом Крамера.
Теперь последовательно будем заменять столбцы матрицы А на столбец свободных членов и вычислять соответствующие определители полученных матриц. Отношение определителей позволяет вычислить переменные х.
В файле примера также приведено решение системы 4-х уравнений и прямая проверка решения.
Методы решения систем уравнений с использованием электронных таблиц MS Excel
Какие основные способы решения систем уравнений применяются учащимися на уроках? Способ подстановки, способ сложения, графический метод.
В данной работе показано, как с помощью электронных таблиц MS Excel можно упростить графический метод решения систем уравнений, а также решение систем линейных уравнений методом Крамера.
Графический метод решения систем уравнений.
Графический метод наглядно показывает решение систем уравнений, но недостатком этого метода считается:
— много времени уходит на построение графиков функций;
— погрешность при построении;
— погрешность нахождения корней системы уравнений.
Многие из этих минусов можно избежать с помощью электронных таблиц MS Excel.
Решить графически системы уравнений с помощью MS Excel.
Преобразуем данные системы и внесем данные в MS Excel. (см. Приложение1.xls)
Вид данных графиков функций хорошо известен нам по урокам математики, полученные решения означают, что для первой системы уравнений графики функций пересекаются в двух точках; для второй системы уравнений графики функций касаются в точке; для третьей системы уравнений графики функций не пересекаются. Проиллюстрируем эти решения средствами MS Excel.
| A | B | C | |
| 1 | х | у1 | у2 |
| 2 | -2 | =А2^2-3*A2-4 | =-1*A2-4 |
| 3 | -1,5 |
| A | B | C | |
| 1 | х | у1 | у2 |
| 2 | -2 | =А2^2-3*A2-4 | =-1*A2-8,5 |
| 3 | -1,5 |
Построив графики уравнений, выясните, сколько решений имеет система уравнений:
Решение систем линейных уравнений методом Крамера.
Рассмотрим четвертый способ решения систем уравнений, который называется методом Крамера и решается с помощью определителей.
Запишем метод Крамера для систем 2-го порядка.
решение записывается в виде: , где
, система имеет единственное решение — ,
система имеет бесконечное множество решений.
система не имеет решения.
Для упрощения вычислений можно использовать электронные таблицы MS Excel. В MS Excel есть формула позволяющая упростить процесс подсчета определителя – функция МОПРЕД(диапазон ячеек) (Функция МОПРЕД – возвращает определитель матрицы). Введя коэффициенты системы в ячейки и применив данную функцию можно найти значение определителя матрицы и вычислить корни системы по формуле Крамера.
Решите систему уравнений
| A | B | C | D | E | F | G |
| 1 | 4 | 3 | ||||
| 2 | 1 | -4 | =МОПРЕД(А1:В2) | |||
| 3 | ||||||
| 4 | 2 | 3 | ||||
| 5 | -9 | -4 | х | =МОПРЕД(А4:В5) | х= | =D5/D2 |
| 6 | ||||||
| 7 | 4 | 2 | ||||
| 8 | 1 | -9 | у | =МОПРЕД(А7:В8) | у= | =D8/D2 |
| A | B | C | D | E | F | G |
| 1 | 4 | 3 | ||||
| 2 | 1 | -4 | -19 | |||
| 3 | ||||||
| 4 | 2 | 3 | ||||
| 5 | -9 | -4 | х | 19 | х= | -1 |
| 6 | ||||||
| 7 | 4 | 2 | ||||
| 8 | 1 | -9 | у | -38 | у= | 2 |
Выясните, имеет ли решения система и сколько: а)
Ответ: система имеет бесконечное множество решений.
Ответ: система не имеет решение.
Усложним работу. Рассмотрим решение системы 3 линейных уравнений с 3 неизвестными.
Система трёх линейных уравнений с тремя неизвестными.