Устойчивость системы автоматического регулирования
Под устойчивостью системы понимается способность ее возвращаться к состоянию установившегося равновесия после снятия возмущения, нарушившего это равновесие. Неустойчивая система непрерывно удаляется от равновесного состояния или совершает вокруг него колебания с возрастающей амплитудой.
Устойчивость линейной системы определяется не характером возмущения, а структурой самой системы (рис.4). Говорят, что система устойчива «в малом», если определен факт наличия устойчивости, но не определены ее границы. Система устойчива «в большом», когда определены границы устойчивости и то, что реальные отклонения не выходят за эти границы.
В соответствии с классическим методом решение дифференциального уравнения ищется в виде:
Здесь yсв(t) — общее решение однородного дифференциального уравнения, то есть уравнения с нулевой правой частью:
Физически это означает, что все внешние воздействия сняты и система абсолютно свободна, ее движения определяются лишь собственной структурой. Поэтому решение данного уравнения называется свободной составляющей общего решения. yвын(t) — частное решение неоднородного дифференциального уравнения, под которым понимается уравнение с ненулевой правой частью. Физически это означает, что к системе приложено внешнее воздействие u(t). Поэтому вторая составляющая общего решения называется вынужденный. Она определяет вынужденный установившийся режим работы системы после окончания переходного процесса.
Можно провести аналогию между САУ и пружиной, колебания которой описываются аналогичным дифференциальным уравнением (рис.5). Оттянем пружину, а затем отпустим, предоставив ее самой себе. Пружина будет колебаться в соответствии со свободной составляющей решения уравнения, то есть характер колебаний будет определяться только структурой самой пружины. Если в момент времени t=0 подвесить к пружине груз, то на свободные колебания наложится внешняя сила Р. После затухания колебаний, описываемых только свободной составляющей общего решения, система перейдет в новый установившийся режим, характеризуемый вынужденной составляющей
Если внешнее воздействие само будет изменяться по синусоидальному закону P = Posin(t +), то после затухания переходного процесса система будет совершать вынужденные колебания с той же частотой, что и вынуждающая сила, то есть yвын = ymaxsin(t + y).
Каждая составляющая общего решения уравнения динамики ищется отдельно. Вынужденная составляющая ищется на основе решения уравнения статики для данной системы для времени t . Свободная составляющая представляет собой сумму из n отдельных составляющих:
где pi корни характеристического уравнения D(p) = a0pn + a1pn-1 + a2pn-2 +. + an = 0. Корни могут быть либо вещественными pi = ai, либо попарно комплексно сопряженными pi = ai ± j. Постоянные интегрирования Аi определяются исходя из начальных и конечных условий, подставляя в общее решение значения u, y и их производные в моменты времени t=0 и t .
Каждому отрицательному вещественному корню соответствует экспоненциально затухающая во времени составляющая yсв(t)i, каждому положительному — экспоненциально расходящаяся, каждому нулевому корню соответствует yсв(t)i = const (рис.6). Пара комплексно сопряженных корней с отрицательной вещественной частью определяет затухающие колебания с частотой i, при положительной вещественной части — расходящиеся колебания, при нулевой — незатухающие (рис.7).
Так как после снятия возмущения yвын(t)=0, то устойчивость системы определяется только характером свободной составляющей yсв(t). Поэтому условие устойчивости систем по Ляпунову формулируется так: в устойчивой системе свободная составляющая решения уравнения динамики, записанному в отклонениях, должна стремиться к нулю, то есть затухать.
Исходя из расположения на комплексной плоскости корни с отрицательными вещественными частями называются левыми, с положительными — правыми (рис.8).
Поэтому условие устойчивости линейной САУ можно сформулировать следующим образом: для того, чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения были левыми. Если хотя бы один корень правый, то система неустойчива. Если один из корней равен нулю (в системах, где an = 0), а остальные левые, то система находится на границе апериодической устойчивости. Если равны нулю вещественные части одной или нескольких пар комплексно сопряженных корней, то система находится на границе колебательной устойчивости.
Правила, позволяющие судить о знаках корней характеристического уравнения без его решения, называются критериями устойчивости. Их можно разделить на алгебраические (основаны на составлении по данному характеристическому уравнению по определенным правилам алгебраических выражений, по которым можно судить об устойчивости САУ) и частотные (основаны на исследовании частотных характеристик).
Устойчивость автоматических систем
Подобно тому, как употребляется термин «устойчивость» в общераспространенном понимании, в автоматике под этим термином тоже в некоторой степени подразумевается способность какой-либо системы противостоять факторам, выводящим систему из равновесия. Строгая формулировка такова.
Устойчивость – это способность системы приходить к состоянию равновесия после прекращения действия факторов, которые вывели её из равновесия. Состояние равновесия характеризуется неизменностью во времени регулируемых величин. Если система не приходит к состоянию равновесия, а бесконечно от него удаляется, она не устойчива. Неустойчивые системы не могут эксплуатироваться, поскольку в них происходит неконтролируемое изменение регулируемых величин. Как правило, потеря системой устойчивости приводит к авариям объекта регулирования, причем часто катастрофического характера. Как примеры можно указать на опрокидывание потерявших остойчивость судов, разрушение двигателей («разнос»), взрывы на предприятиях химического производства и т. д. Таким образом, требование устойчивости является обязательным для любой работоспособной системы. Следует отметить, что потеря устойчивости САР может произойти вследствие изменения её свойств, вызванного как износом или отказом элементов, так и (весьма нередко) неквалифицированными действиями человека при попытке изменить настройку системы либо в процессе выполнения профилактических мероприятий. Заметим также, что понятие устойчивости имеет качественный характер, но не количественный. Так, о системе можно сказать, что она устойчива либо неустойчива, но нельзя говорить, что система «более» либо «менее» устойчива.
Характер переходных процессов в устойчивых и неустойчивых системах при действии внешних факторов можно видеть на рис. 6.1. Устойчивые системы по окончании переходного процесса приходят к некоторому установившемуся значению регулируемой величины (рис. 6.1, а), в неустойчивых системах (рис. 6.1, б) регулируемая величина неограниченно изменяется. Если же процесс в системе носит характер установившихся колебаний (как граничный между затухающими и расходящимися колебаниями), то говорят, что система находится на границе устойчивости (рис. 6.1, в). Понятно, что только вариант (6.1, а) приемлем для практического применения. Таким образом, внешним признаком устойчивой системы является ограниченность регулируемой величины: у = огр.
Рис. 6.1 Переходные процессы в системах:
а – устойчивых; б – неустойчивых;
в – САР на границе устойчивости.
Исходными данными для решения задачи об устойчивости системы является её математическое описание. Первое решение такой задачи, не лишенное недостатков, дал английский физик Джеймс Максвелл (1868).
Оценка устойчивости САР по корням её
характеристического уравнения (теорема Максвелла)
Пусть система описывается дифференциальным уравнением
| (anp n + an-1p n-1 + …+ a1p + a0) y = bx. | (6.1) |
Решение его, как любого линейного уравнения, ищется в виде
где — общее решение однородного уравнения
| (anp n + an-1p n-1 + …+ a1p + a0) y=0, | (6.2) |
— частное решение уравнения (6.1). Условием ограниченности у является ограниченность этих обоих слагаемых.
Как всегда, частное решение – это значение регулируемой величины на новом установившемся режиме, вызванном воздействием х=х0:
Подстановка в (6.1) даёт условие установившегося режима:
В реальных условиях воздействие всегда ограничено по величине, и поэтому частное решение ограничено. Отсюда следует важный вывод: правая часть дифференциального уравнения не влияет на устойчивость линейной системы, следовательно, от внешних воздействий не зависит, обладает система свойством устойчивости или нет. Таким образом, устойчивость САР определяется только видом левой части её уравнения. Общее решение:
| = C1exp(p1t)+ C2exp(p2t)+…+ Cnexp(pnt), | (6.3) |
где С1, С2 , … Сn – постоянные интегрирования, p1, p2 , … pn – корни характеристического уравнения
Поскольку постоянные интегрирования есть ограниченные величины, очевидно, что ограниченность общего решения зависит от вида функций
то есть от корней характеристического уравнения. В общем случае среди корней могут быть вещественные, комплексные и мнимые. Каждому виду корней в выражении (6.3) соответствует определенный вид слагаемого и, естественно, требуется ограниченность каждого из них (табл. 6.1).
Третий случай даёт незатухающую составляющую в общем решении, и если остальные составляющие являются сходящимися, то система находится на границе устойчивости. Это свойство часто используется при анализе устойчивости САР. Выражение в квадратных скобках есть ограниченная величина. Таким образом, ограниченность общего решения зависит от того, ограничены или нет функции exp(akt) для всех k Î[1,n]. При очевидном t > 0 для этого требуется, чтобы
 | (6.4) |
| Вид корня | Вид слагаемого |
| вещественный pk = ak | Ckexp(akt) |
| комплексные pk,k+1=ak±wki | exp(akt)[Ckcos(wkt)+Ck+1sin(wkt)] |
| Mнимые pk,k+1=±wki | Ckcos(wkt)+Ck+1sin(wkt) |
Теорема Максвелла: для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы вещественные части всех корней характеристического уравнения этой системы были отрицательны.
Частные случаи: достаточные условия устойчивости систем первого и второго порядков.
Характеристическое уравнение САР 1 порядка
имеет единственный вещественный корень р = -а0/а1.Он отрицателен, если оба коэффициента имеют одинаковые знаки. Имея в виду возможность изменения знаков обоих коэффициентов на обратные, достаточное условие устойчивости можно сформулировать как требование положительности коэффициентов характеристического уравнения.
Характеристическое уравнение САР 2 порядка
Анализ этого выражения приводит к заключению, что и здесь достаточным условием устойчивости является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения, а если коэффициенты отличаются по знаку, то система неустойчива.
Устойчивость САР высоких порядков.
Для устойчивости систем 3 и более высоких порядков требование положительности всех коэффициентов характеристического уравнения является необходимым, но не достаточным. Другими словами, если все корни имеют отрицательные вещественные части, то все коэффициенты будут положительны, но обратное утверждение не справедливо.
Вычисление корней уравнений третьей и четвертой степеней связано со значительными трудностями, а корни уравнений пятой и более высоких степеней согласно теореме Абеля не могут быть выражены через коэффициенты с использованием знаков алгебраических действий и операции извлечения квадратного корня. Это значит, что при несомненной справедливости теоремы Максвелла её использование ограничено. Поэтому разработаны такие способы анализа устойчивости систем, когда не требуется нахождение корней. Все эти способы получили название критериев устойчивости. Здесь мы считаем возможным рассмотреть наиболее употребительные из них.
Критерий Гурвица (1895).
Уравнение системы порядка n
будет иметь корни с только отрицательными вещественными частями при выполнении следующих требований:
все коэффициенты характеристического уравнения и все диагональные миноры определителя Гурвица должны быть положительны:
Правило составления определителя Гурвица.
По главной диагонали располагаются последовательно коэффициенты уравнения, начиная со второго слева. Расположение коэффициентов в колонках в направлении сверху вниз соответствует их расположению в уравнении в направлении справа налево. Места отсутствующих коэффициентов заполняются нулями. Диагональные миноры – это определители, получающиеся из определителя Гурвица последовательным вычеркиванием правых колонок и нижних строк. Например, минор с индексом (n-3) выглядит так:
Заметим, что в принятом нами порядке индексации индекс минора совпадает с индексом коэффициента, стоящего в его нижнем правом углу.
Модификация критерия Гурвица – критерий Льенара-Шипара. Авторы этого критерия установили, что можно обойтись меньшим количеством неравенств, чем это требуется по критерию Гурвица. Согласно этому критерию, требование положительности всех диагональных миноров заменяется требованием положительности диагональных миноров с нечетными индексами.
Критерий Михайлова (1938).
Пусть собственный оператор системы имеет вид
| D(p) = anp n + an-1p n-1 + … + a1p + a0. | (6.5) |
Если р1, р2 ,…, рn – его корни (пусть неизвестные нам), то он, согласно теореме Безу, может быть представлен в виде произведения
| D(p) = an(p – p1)(p – p2)…(p – pn). | (6.6) |
Произведём замену p = iw:
| D(iw) = an(iw — p1)(iw — p2)…(iw — pn) = U(w) + iV(w). | (6.7) |
Исследуем на комплексной плоскости в координатах (a, iw) поведение вектора (iw — pk) при изменении w от -¥ до +¥, причём a и w — вещественная и мнимая части корня pk. Поскольку для устойчивой системы a < 0, построения располагаются слева от мнимой оси (рис. 6.2).
Рис. 6.2 Поведение вектора-разности
При изменении w от -¥ до +¥ вектор-разность поворачивается в положительном направлении на угол p:
Вектор D(iw) = U(w) + iV(w) есть произведение векторов, и при изменении w от -¥ до +¥ его поворот составит np, как сумму поворотов отдельных векторов:
Давая w значения в диапазоне (-¥,+¥) и вычисляя компоненты вектора U(w) и V(w), на комплексной плоскости можно построить кривую в координатах U и iV. Эта кривая симметрична относительно вещественной оси. Обычно рассматривают её половину, соответствующую изменению w в диапазоне (0,+¥), и эта кривая называется кривой Михайлова. Очевидно, что для этого диапазона изменения w поворот вектора U(w) + iV(w) составит
Отсюда следует формулировка критерия Михайлова.
САР устойчива, если кривая Михайлова начинается на положительной части вещественной оси и проходит последовательно столько четвертей комплексной плоскости, каков порядок уравнения системы.
Примеры кривых Михайлова для устойчивых систем различных порядков приведены на рис. 6.3.
Рис. 6.3 Кривые Михайлова устойчивых САР 3, 4, и 6 порядков
Для неустойчивых САР кривые Михайлова не проходят последовательно должное количество четвертей (рис. 6.4).
Рис. 6.4 Неустойчивая САР 4 порядка
Применение критерия Михайлова.
1. Записывается собственный оператор системы
2. Производится подстановка р = iw:
3. Выделяются вещественная и мнимая части:
4. Приняв для w ряд значений в диапазоне (0, ¥), рассчитываются соответствующие значения координат вектора кривой Михайлова и строится эта кривая.
5. По виду кривой делается заключение об устойчивости.
Примечание. Для любой системы кривая Михайлова уходит в бесконечность в той четверти, каков порядок системы, и это свойство следует использовать при выборе диапазона изменения w.
Критерий Найквиста (1932).
Этот критерий позволяет судить об устойчивости замкнутой САР по виду амплитудно-фазовой характеристики этой системы в разомкнутом состоянии. Между АФХ разомкнутой системы Wp и замкнутой W3 соотношения таковы:
Рассмотрим схему САР на рис. 6.5. Система, имеющая передаточную функцию в разомкнутом состоянии Wp, замкнута единичной отрицательной главной обратной связью.
Рис. 6.5 Замыкание разомкнутой САР
Мысленно разорвём замкнутую цепь в месте, указанном пунктиром. Возбудим на входе гармонические колебания х. На выходе разомкнутой системы возникнут колебания
а на выходе звена обратной связи колебания будут иметь обратный знак, что можно трактовать как смещение по фазе на угол p:
Примем некоторую частоту, при которой фазовый сдвиг, получающийся в разомкнутой системе,
Если при этой частоте амплитуда Ау окажется меньше, чем Ах, то это означает, что при прохождении через разомкнутую САР колебания затухают, и САР в замкнутом состоянии будет устойчива. Если наоборот – замкнутая САР неустойчива. Поскольку отношение амплитуды выходных колебаний к амплитуде входных есть модуль АФХ, он при частоте, соответствующей фазовому сдвигу p , для устойчивой системы меньше единицы. Отсюда следует формулировка критерия Найквиста.
Замкнутая система будет устойчивой, если соответствующая разомкнутая система устойчива, и АФХ последней не охватывает точку с координатами (-1,0i) (рис. 6.6).
Рис. 6.6 АФХ разомкнутых систем:
а — замкнутая система устойчива ;
б – замкнутая система неустойчива.
D- разбиение пространства параметров.
Этот способ анализа САР на устойчивость отличается от других тем, что даёт ответ не только на вопрос, устойчива САР или нет, но и позволяет определить для некоторых интересующих нас параметров системы области этих параметров, в которых САР сохраняет свойство устойчивости. Наиболее распространено D- разбиение по двум параметрам.
Пусть характеристическое уравнение САР имеет вид
| anp n +an-1p n-1 +…+Ap k +…+ Bp s +…+a1p+a0=0, | (6.8) |
где A и B- коэффициенты уравнения, для которых мы хотим найти те области, где САР устойчива. Выведем систему на границу устойчивости, для чего потребуем наличия чисто мнимых корней уравнения (3.76) p = iw:
| an(iw) n +an-1(iw) n-1 +…+A(iw) k +…+B(iw) s +…+a1(iw)+a0=0. | (6.9) |
Записанное слева комплексное число равно нулю по определению тогда, когда равны нулю его вещественная и мнимая части. Выделив их, получим:
| F1(A,w) = 0; F2(B,w) = 0. | (6.10) |
Иногда удаётся из этих уравнений исключить w, и тогда получают зависимость
| B = f(A). | (6.11) |
Функция B = f(A) является границей устойчивости и отображает мнимую ось комплексной плоскости корней. Она делит область возможных по необходимому условию устойчивости значений А и В на области устойчивости и неустойчивости. Для выделения области устойчивости проще всего поступить так. Задаться в какой-нибудь области точкой с координатами (А=А1, В=В1) и с помощью какого-либо из рассмотренных ранее критериев проанализировать эту конкретную систему на устойчивость. Если результат окажется положительным, это означает, что вся область, к которой принадлежит выбранная точка, является областью устойчивости, и её штрихуют по границе с направлением штриховки внутрь. Если линия границы устойчивости имеет самопересечения, то по выходу из заштрихованной области штриховку продолжают с той же стороны по ходу по кривой. Типичным примером D- разбиения является рассматриваемый ниже критерий Вышнеградского.
Он распространяется на системы третьего порядка и в своё время был разработан в связи с необходимостью анализа САР частоты вращения вала паровой машины с центробежным регулятором прямого действия. Характеристическое уравнение системы
Выполнив замену переменной
приходим к выражению
| U 3 + AU 2 + BU + 1 = 0, | (6.12) |
называемому уравнением Вышнеградского, где коэффициенты
называются параметрами Вышнеградского.
Отметим прежде всего, что необходимые условия устойчивости выражаются в таком виде:
| А > 0, В > 0. | (6.13) |
Выведем систему на границу устойчивости, для чего в уравнение (6.12) подставим р = iw:
(iw) 3 + A (iw) 2 + B iw + 1 = 0,
что после разделения вещественной и мнимой частей даёт
 | (6.14) |
Из второго уравнения системы (6.14) подставим в первое w 2 = В, тем самым совместно с (6.13) получим условия границы устойчивости:
| А > 0, В > 0, АВ = 1. | (6.15) |
На диаграмме Вышнеградского рис. 6.7 кривая, называемая гиперболой Вышнеградского, является границей устойчивости, и она делит область возможных значений коэффициентов А и В на две части, одна из которых является областью устойчивости. Для обнаружения этой области рассмотрим заведомо устойчивую систему, корни характеристического уравнения которой
Тогда характеристический полином можно представить в виде
откуда А = 3, В = 3. Этими координатами определяется точка М на диаграмме, следовательно, область выше гиперболы Вышнеградского есть область устойчивости. Тогда условия устойчивости записываются так:
Устойчивость систем автоматического регулирования
Для того, чтобы замкнутая САР была работоспособной, она должна быть устойчивой.
Устойчивой является САР, реакция которой на ограниченное воздействие является также ограниченной величиной. Математически это означает, что реакция САР (рис.7.1) на воздействие 
(при 
для всех 
, где M – конечное число) описывается выражением
,
где 
– конечное число.
Учитывая связь весовой и передаточных функций, можно утверждать, что для того, чтобы САР была устойчивой, импульсная переходная характеристика должна быть абсолютно интегрируемой. Другими словами, если абсолютная площадь, ограниченная импульсной характеристикой w(t), является ограниченной величиной, то САР будет устойчивой.
Например (рис.7.2), САР с импульсной переходной характеристикой w1(t) является устойчивой, поскольку при 
w1(t)
, и площадь, ограниченная импульсной характеристикой w1(t), является ограниченной величиной (интеграл конечный). САР с импульсной характеристикой w2(t) является неустойчивой, поскольку при w2(t)
, и интеграл является бесконечным.
В этом плане интегратор как элемент устойчивым назвать нельзя: его импульсная характеристика w3(t) ограничивает бесконечно большую площадь (рис.7.2). Поэтому часто интегратор называют нейтральным звеном.
Площадь, ограниченная импульсной характеристикой, будет конечной, если 
. В этом случае система будет приходить в состояние равновесия (
).
На основании изложенного можно считать, что устойчивой является та система, которая, будучи выведенной из состояния равновесия, возвращается в исходное состояние после исчезновения воздействия, выведшего систему из состояния равновесия.
Для определения условия, при котором найдем выражение для w(t), учитывая связь между весовой функцией и ПФ, используя теорему разложения и считая, что все полюсы ПФ простые, причем нулевые полюсы отсутствуют. Тогда
,
где 
– порядковые номера полюсов ПФ 
.
В общем случае полюсы – комплексные числа:
.
,
где 
– ограниченная величина.
Теперь из последнего выражения видно, что , т.е. САР будет устойчивой, если вещественные части 
всех полюсов будут отрицательными (
).
Если же хотя бы один корень (пусть i-й) имеет положительную вещественную часть (
), то САР будет неустойчивой, поскольку 
– в системе будет иметь место расходящийся процесс.
Если хотя бы один корень расположен на мнимой оси (
), то САР будет неустойчивой, поскольку 
, и в системе будут иметь место незатухающие автоколебания.
Геометрическая трактовка. Полюсы ПФ замкнутой системы можно изобразить на комплексной плоскости.
Для того, чтобы САР была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы все полюсы ПФ замкнутой системы находились в левой полуплоскости комплексного переменного 
(рис.7.3).
Наличие хотя бы одного полюса в правой полуплоскости – система неустойчива.
Если хотя бы один полюс находится на мнимой оси, то система находится на границе устойчивости. Граница устойчивости обозначается штриховкой в сторону области устойчивости.
Для сложных САР вычисление полюсов для установления их устойчивости или неустойчивости может представлять весьма сложную задачу. Поэтому известно большое количество так называемых критериев устойчивости, основанных на использовании определенных математических закономерностей при исследовании САР на устойчивость. Различают алгебраические и частотные критерии устойчивости.
Алгебраические критерии устойчивости
Основаны на выявлении требуемых алгебраических соотношений между коэффициентами характеристического полинома, гарантирующих отсутствие его правых корней. К алгебраическим относятся критерии Гурвица, Льенара-Шипара, Рауса. Наиболее распространенным является критерий Гурвица, который и рассматривается ниже.
Критерий устойчивости Гурвица (Hurwitz, 1895)
Пусть имеется характеристический полином замкнутой САР
,
где n – порядок САР.
Матрица Гурвица (квадратная порядка n) имеет вид:
и составляется по следующему правилу:
На главной диагонали выписываются элементы 
, 
, …, 
. Затем при движении от этих элементов вверх записываются коэффициенты в порядке возрастания индексов, при движении вниз – в порядке убывания. Если индекс очередного записываемого коэффициента превышает n или становится отрицательным, соответствующий элемент матрицы Гурвица принимают равным нулю.
Критерий: Для того, чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы при 
все определители Гурвица
, 
, 
и т.д.
были положительны, т.е. , 
, 
, …, 
.
Примечания. 1. Количество определителей равно порядку САР.
2. Последний определитель 
.
3. Если 
, то предварительно необходимо 
умножить на –1.
Случай 1. n=1
Определитель Гурвица 
.
По критерию Гурвица: , 
– система устойчива.
Тогда полюс ПФ 
будет отрицательным.
Пример 1. Определить условия устойчивости САР (рис.7.4) по критерию Гурвица.
ПФ замкнутой САР
.
Характеристический полином: 
.
Условие устойчивости 
.
Т.е. данная САР будет устойчива при любом положительном 
, даже при 
.
Случай 2. n=2
Определители Гурвица: , 
.
По критерию Гурвица: , , 
(или 
) – система устойчива.
Таким образом, для САР 1-го и 2-го порядков необходимым и достаточным условием устойчивости является положительность всех коэффициентов .
Пример 2. Определить условия устойчивости САР (рис.7.5) по критерию Гурвица
ПФ замкнутой САР
.
Характеристический полином: 
.
Условие устойчивости 
, 
, 
.
Случай 3. n=3
Определители Гурвица: , , 
.
По критерию Гурвица: , , 
, 
.
Рассматривая эти условия в совокупности, можно получить:
, , , 
, 
.
Таким образом, для устойчивой САР 3-го порядка необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического полинома были положительны и произведение средних коэффициентов было больше произведения крайних.
Примечание (Следствия из критерия Гурвица). Можно показать, что для системы любого порядка положительность коэффициентов характеристического полинома является необходимым, но не достаточным условием устойчивости. Пропуск хотя бы одного члена полинома (равенство соответствующего коэффициента нулю) говорит о том, что САР неустойчива.
Пример 3. Определить условия устойчивости САР (рис.7.6) по критерию Гурвица.
ПФ замкнутой САР
.
Характеристический полином: 
.
Уже сейчас можно утверждать, что САР будет неустойчивой, поскольку отсутствует член с 
.
Действительно, определители Гурвица в этом случае равны нулю и критерий не выполняется.
Раздел 7 Устойчивость систем автоматического регулирования
Система автоматического регулирования, как любая динамическая система, характеризуется переходным процессом, возникающим в ней при нарушении ее равновесия каким-либо воздействием – это могут быть сигналы управления, настройки, помехи и т.д.
ПП зависит как от свойств системы, так и от вида возмущающего воздействия.
Одной из основных динамических характеристик является ее устойчивость.
Устойчивость системы — это ее способность переходить из исходного равновесного состояния в другое равновесное состояние после приложения внешнего воздействия и возвращаться к исходному состоянию равновесия после снятия этого воздействия.
Неустойчивая система не возвращается к состоянию равновесия, из которого она по тем или иным причинам вышла, а непрерывно удаляется от него или совершает вокруг него недопустимо большие колебания.
Если САР является линейной или линеаризованной, то под влиянием воздействия x(t) изменение переменной y(t) во времени является решением дифференциального уравнения:
Если в некоторый момент времени t1 воздействие x(t) с системы снять и предоставить систему самой себе, то изменение переменной y(t) во времени будет решение уравнения:
— однородное диф. уравнение.
.
Решения уравнения могут иметь следующие виды:
ai – корни полинома = 1) ai – вещественные, y(t)=Aie-ait, где Ai –постоянные интегрирования, определяемые параметрами системы и начальными условиями.
2) ai±jbi- комплексно-сопряженные, y(t)= Aie-aitsin(bit+ji), где
Ai – начальная амплитуда,
ji – начальная фаза.
При рассмотрении однородного диф. уравнения достаточно, чтобы свободное движение (при нулевых начальных условиях) асимптотически стремились к нулю.
Условие устойчивости: корни характеристического полинома должны находиться в левой полуплоскости.
Непосредственное вычисление корней уравнения выше 4-го порядка затруднительно. Поэтому, для определения: устойчива ли система, пользуются критериями устойчивости, которые определяют условия необходимые и достаточные, для того чтобы корни характеристического уравнения системы имели отрицательную вещественную часть.
Критерии устойчивости
Критерии устойчивости можно разделить на две группы:
1. алгебраические (Рауса, Вышнеградского, Гурвица) – исследование полинома и его коэффициентов,
2. частотные (Найквиста, Михайлова) – работа с частотными характеристиками.
Критерий Гурвица.
Критерий Гурвица основам на построении специальных определителей характеристического уравнения, называемых определителями Гурвица. При составлении определителя Гурвица m-го порядка руководствуются следующими правилами:
выписывают по главной диагонали все коэффициенты от аm-1 до а0 в порядке убывания индексов;
дополняют все столбцы определителя вверх от диагонали коэффициентами с последовательно убывающими индексами, вниз – с последовательно возрастающими индексами;
на место коэффициентов, индексы которых больше m и меньше нуля ставят 0.
Критерий Гурвица формулируется следующим образом: для того, чтобы САР была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все определители, составленные по коэффициентам характеристического уравнения были положительными, при этом аm должно быть больше 0.
Критерий Михайлова.
— функция Михайлова.
Графическое отображение этой функции называется годографом Михайлова.
По критерию Михайлова, чтобы система была устойчивой, необходимо чтобы годограф Михайлова пи изменении частоты от 0 до +¥ последовательно описывал m квадрантов в положительном направлении на комплексной плоскости и начинался с положительной полуоси.
Критерий Найквиста.
Об устойчивости системы судят по характеристике разомкнутой системы. Для того, чтобы система была устойчива, АФЧХ разомкнутой системы не должна охватывать точку с координатами (-1, jw).
Если при какой-то частоте АФЧХ пересекает отрицательную полуось – это значит, что сдвиг фаз между входным и выходным сигналами составляет -p.
Если мы замкнем ООС, тогда на этой частоте ООС станет положительной и, поведение системы будет зависеть от коэффициента передачи на этой частоте. Если к>1, то колебания будут затухать, если <1, то процесс будет расходящимся.
Если АФЧХ разомкнутой системы охватывает точку (-1, jw), то система неустойчива.
Устойчивость замкнутой системы определяется следующим образом:
m – положительных корней.
Пересечение сверху вниз – положительный переход, снизу вверх – отрицательный переход.
Для того, чтобы замкнутая система была устойчива сумма положительных и отрицательных переходов (с учетом знака) = m/2.
Запас устойчивости
Параметры системы необходимо выбирать так, чтобы система была устойчивой не только при принятых дифференциальных уравнениях элементов системы и величинах входящих в них параметров, но и при действительных зависимостях выходных величин элементов от входных. А это можно достигнуть тогда, когда система имеет достаточный запас устойчивости.
По критерию Гурвица Δi>Δзапаса(заданное положительное число).
По критерию Михайлова – годограф не должен пересекать окружность заданного радиуса R.
По критерию Найквиста
| Rзапаса – запас устойчивости по амплитуде, Rзапаса=0.5¸0.9 gзапаса – запас устойчивости по фазе, gзапаса =30°¸60°. | üЗапас устойчивости ýобеспечивает оптимальный þпроцесс регулирования |
Следствием из критерия Найквиста является логарифмический критерий устойчивости.
wпер>wсреза – система устойчива, wпер<wсреза – система неустойчива
Запас устойчивости: qз – по фазе 30°¸60°, Lз – по амплитуде 6¸20 дБ.
Области устойчивости
На практике важно знать: при изменении в каком диапазоне параметров АСР (коэффициент усиления, коэффициент обратной связи, постоянные времени) система остается устойчивой.
Этот диапазон изменений называется областью устойчивости системы.
Например: 
4 корня – эти корни должны лежать в левой полуплоскости, чтобы система была устойчивой.
Для определения области устойчивости по какому-либо параметру этот параметр обозначают в характеристическом уравнении в общем виде, затем разрешают это уравнение относительно этого параметра, получают:
Строят кривые при изменении w (-¥;+¥) – эта кривая называется границей D-разбиения по параметру.
Пример:
A[0,6]®k[-1,5]®k[0,5] – k нужно выбирать максимальным, чтобы была меньше статическая ошибка и не забывать о запасе устойчивости.