Как найти результат интерференции

Формулы интерференции

В переводе с французского interferer означает вмешиваться. Интерференцией света называют явление, устойчивого во времени усиления интенсивности света в одних точках поля и ослабления в других, возникающее в результате наложения когерентных волн света, которые имеют колебания вектора напряженности электромагнитного поля, происходящие в одном направлении. Необходимым условием существования явления интерференции является когерентность источников волн.

Если происходит наложение одного потока бегущих волн, на когерентный поток подобных волн, создающий колебания волны с такой же амплитудой, то интерференция колебаний ведет к неизменному во времени расслоению поля волны на:

1. Области усиления колебаний.
2. Области ослабления колебаний.

Геометрическое расположение места интерференционного усиления колебаний определяет разность хода волн (). Наибольшее усиление колебаний располагается там, где:

где n – целое число; – длина волны.

Максимальное ослабление колебаний происходит, где:

Если происходит наложение некогерентных волн, то явления интерференции не наблюдают. Для интерференции света условия максимумов записывают как:

длина волны света в вакууме; — оптическая разность хода лучей. Оптической разностью хода () называют разность оптических длин, которые проходят волны:

L — это оптической длины пути (геометрическая длина пути (s), умноженная на показатель преломления среды (n)):

Если выполняется равенство:

то в рассматриваемой точке наблюдается минимум. Выражение (6) называют условием интерференционного минимума.

Картина интерференции в тонких пленках определена толщиной пленки ( у нас b), длиной волны падающего света, показателем преломления вещества пленки и углом падения ( alt=»\Psi» width=»13″ height=»15″ />). Для перечисленных параметров каждому наклону лучей ( alt=»\Psi» width=»13″ height=»15″ />) соответствует своя интерференционная полоса. Полосы, возникающие в результате интерференции лучей, падающих на пленку под одинаковыми углами, носят названия полос равного наклона. Явление интерференции может наблюдаться только, если удвоенная толщина пленки меньше, чем длины когерентности падающей волны.

При интерференции в тонких пленках условие наблюдения максимума записывают как (при котором ):

По условию для максимумов интерференции, в некоторой точке мы получим максимум интенсивности, если:

где

Минимум интенсивности будет наблюдаться в рассматриваемой точке, если:

где

В проходящем свете отражение волны света происходит от среды оптически менее плотной и дополнительной разности хода лучей света не возникает.

Радиусы светлых колец Ньютона в отраженном свете (темных в проходящем) () вычисляют как:

где k=1,2,3,… – номер кольца; R – радиус кривизны поверхности линзы, которая соприкасается с плоскопараллельной пластиной.

Радиусы темных колец Ньютона в отраженном свете ( светлых в проходящем) находят как:

Примеры решения задач по теме «Интерференция»

При этом изменение разности хода от неоднородности пластинки по условию составляет :

Подставим вместо и соответствующие выражения из формул (1.1) и (1.2), имеем:

Задание	Какова длина волны падающего монохроматического света, который попадает на плосковыпуклую линзу с радиусом кривизна? Если линза лежит выпуклой стороной на плоской стеклянной платине. При этом радиус светлого кольца номер n равен .
Решение	В задаче, которая описана в условии, мы в качестве интерференционной картины получим кольца Ньютона.

Радиусы светлых колец Ньютона в отраженном свете при этом найдем как:

где . Выразим длину волны света, имеем:

Интерференция световых волн

Интерференция – это одно из наиболее ярких проявлений волновой природы света. Мы можем наблюдать такое интересное и красивое явление, если наложить друг на друга 2 или более световых пучков. В месте перекрывания пучков интенсивность волны света обладает характером чередующихся светлых и темных полос, при этом в точках максимумов интенсивность больше, а в точках минимумов меньше суммы интенсивностей пучков.

При белом свете интерференционные полосы окрашиваются в разные цвета светового спектра. На практике интерференционные явления окружают нас повсюду. Это и цвета масляных пятен на асфальте, и окрашивание замерзающих оконных стекол, и чудесные цветные рисунки на крыльях отдельных бабочек и жуков.

Первый научный эксперимент проявления интерференции света

Первый научный эксперимент по наблюдению интерференции света провел в лабораторных условиях И. Ньютон. Ученый рассматривал интерференционную картину, которая возникала при отражении света в тонкой воздушной прослойке между плоской стеклянной пластиной и плосковыпуклой линзой большого радиуса кривизны. Наблюдение Ньютона графически изображено на рис. 3 . 7 . 1 .

Интерференционная картина выглядела в виде концентрических колец, которые впоследствие получили название колец Ньютона (рис. 3 . 7 . 2 ).

Рисунок 3 . 7 . 1 . Наблюдение колец Ньютона. Интерференционная картина возникает при сложении волн, отразившихся от 2 -х сторон воздушной прослойки. «Лучи» 1 и 2 – направления распространения волн;
h – толщина воздушного зазора.

Рисунок 3 . 7 . 2 . Кольца Ньютона в зеленом и красном свете.

У И. Ньютона не получилось с позиции корпускулярной теории дать объяснение тому, почему возникают кольца. Но ученый понимал, что это имеет отношение к какой-то периодичности световых процессов .

Интерференционный опыт Юнга

В 1802 году ученый Юнга провел первый интерференционный опыт, которому есть подтверждение в волновой теории света. В данном эксперименте свет от источника – узкой щели S попадал на экран с
2 -мя близко расположенными друг к другу щелями S 1 и S 2 , как показано на рис. 3 . 7 . 3 . Минуя каждую из щелей, световой пучок уширялся из-за дифракции, а потому на белом экране Э световые пучки, которые прошли через щели S 1 и S 2 , перекрывались. В месте перекрытия световых пучков находится интерференционная картина, выступающая в виде чередующихся светлых и темных полос.

Рисунок 3 . 7 . 3 . Схема интерференционного опыта Юнга.

Ученый Юнг — первый, кто догадался, что невозможно увидеть интерференцию, если сложить волны от 2 -х независимых источников. Потому в его эксперименте щели S 1 и S 2 , которые по принципу Гюйгенса можно рассматривать в качестве источников вторичных волн, освещались светом одного источника S . Если симметрично расположить щели, то вторичные волны от источников S 1 и S 2 находятся в фазе, однако волны проходят до точки наблюдения P различные расстояния r 1 и r 2 . Можно сделать вывод, что фазы колебаний, которые создаются волнами от источников S 1 и S 2 в точке P , различные. Следует, что задача об интерференции волн — это задача о сложении колебаний одинаковой частоты, но с различными фазами.

Высказывание о том, что волны от источников S 1 и S 2 распространяются независимым образом, а в точке наблюдения они складываются друг с другом, — это опытный факт, который называется принципом суперпозиции.

Монохроматическую (или синусоидальную) волну, распространяющуюся в направлении радиус-вектора r → , записывают в виде

E = a cos ( ω t – k r ) ,

где a – это амплитуда волны, k = 2 π λ – это волновое число, λ – это длина волны, ω = 2 π ν – это круговая частота. При решении оптических задач под E предполагают модуль вектора напряженности электрического поля волны. При вкладывании 2 -х волн в точке P итоговое колебание также случается на частоте ω и обладает некоторой амплитудой A и фазой φ :

E = a 1 · cos ( ω t – k r 1 ) + a 2 · cos ( ω t – k r 2 ) = A · cos ( ω t — φ ) .

Приборы, которые могли бы следить за быстрыми изменениями поля световой волны в оптическом диапазоне, не существуют. Наблюдаемая величина — это поток энергии, прямо пропорциональный квадрату амплитуды электрического поля волны.

Физическая величина, равная квадрату амплитуды электрического поля волны, называется интенсивностью: I = A 2 .

Путем простых тригонометрических вычислений можно прийти к следующему выражению для интенсивности результирующего колебания в точке P :

I = A 2 = a 1 2 + a 2 2 + 2 a 1 a 2 cos k ∆ = I 1 + I 2 + 2 I 1 I 2 cos k ∆ ( * ) ,

где Δ = r 2 – r 1 – это разность хода.

Из данного выражения можно сделать вывод, что интерференционный максимум (то есть светлая полоса) достигается в таких точках пространства, в которых Δ = m λ ( m = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . ) . Причем I m a x = ( a 1 + a 2 ) 2 = I 1 + I 2 . Интерференционный минимум (то есть темная полоса) достигается при Δ = m λ + λ 2 . Минимальное значение интенсивности I m i n = ( a 1 – a 2 ) 2 < I 1 + I 2 . Рис. 3 . 7 . 4 наглядно показывает, как распределяется интенсивность света в интерференционной картине, смотря от того, каким будет ход Δ .

Рисунок 3 . 7 . 4 . Распределение интенсивности в интерференционной картине. Целое число m – это порядок интерференционного максимума.

Предположим, что если I 1 = I 2 = I 0 , то есть длина 1 и 2 световой волны одинакова, то выражение ( * ) выглядит следующим образом:

I = 2 I 0 ( 1 + cos k Δ ) ( * * ) .

В данном случае I m a x = 4 I 0 , I m i n = 0 .

Формулы ( * ) и ( * * ) — универсальные. Они подходят для любой интерференционной схемы, в которой складываются 2 монохроматические волны одинаковой частоты.

Обозначим в схеме Юнга смещение точки наблюдения от плоскости симметрии y , тогда в случае, когда d ≪ L и y ≪ L (как правило, в оптических экспериментах данные условия соблюдаются), можно приблизительно получить:

Разность хода Δ меняется на одну длину волны λ при смещении от одного интерференционного максимума к другому, то есть на расстояние, эквивалентное ширине интерференционной полосы Δ l . Получается,

d · ∆ l L = λ или ∆ l = L · λ d ≈ λ ψ ,

где ψ – это угол схождения «лучей» в точке наблюдения P .

Сделаем количественную оценку. Предположим, что расстояние d между 2 -мя щелями S 1 и S 2 равняется 1 м м , а расстояние от щелей до экрана Э равно L = 1 м , в таком случае ψ = d L = 0 , 001 р а д . Для света зеленого цвета ( λ = 500 н м ) получаем Δ l = λ ψ = 5 · 105 н м = 0 , 5 м м . Для света красного цвета ( λ = 600 н м ) Δ l = 0 , 6 м м . Именно так Юнг в первый раз измерил длины световых волн, хоть и точность данных измерений была невысока.

Подчеркнем, что в волновой оптике понятие “луч света” теряет физический смысл в отличие от геометрической оптики. Определение «луч» в волновой оптике употребляется для краткости обозначения направления распространения волны.

Далее данный термин будет упоминаться без кавычек.

При рассмотрении эксперимента И. Ньютона (рис. 3 . 7 . 1 ) при нормальном падении волны на плоскую поверхность линзы разность хода примерно равняется удвоенной толщине 2 h воздушного промежутка между линзой и плоскостью. Если радиус кривизны R линзы огромен в сравнении с h , можно приблизительно получить формулу:

где r – это смещение от оси симметрии. Вычисляя разность хода, следует учитывать, что волны 1 и 2 отражаются при различных условиях. 1 -я волна отражается от границы стекло–воздух, а 2 -я – от границы воздух–стекло. В последнем варианте фаза колебаний отраженной волны изменяется на π , что равно увеличению разности хода на λ 2 . А потому

∆ = 2 h + λ 2 ≈ r 2 R + λ 2 .

При условии r = 0 , то есть в центре (точка соприкосновения) Δ = λ 2 ; потому в центре колец И. Ньютона всегда находится интерференционный минимум (зрительно это выглядит, как темное пятно). Радиусы r m следующих темных колец вычисляются по формуле

По данной формуле рассчитывается длина световой волны λ при известном радиусе кривизны R линзы.

Проблема когерентности волн

С помощью теории Юнга объясняются интерференционные явления, которые возникают при сложении 2 -х монохроматических волн одинаковой частоты. Но сегодняшний опыт показывает, что интерференцию света на самом деле наблюдать не так-то просто. Если комнату осветить 2 одинаковыми лампочками, то в любой точке сложатся интенсивности света и здесь не будет никакой интерференции. Тогда появляется вопрос, когда нужно сложить напряженности (учитывая фазовые соотношения), а когда – интенсивности волн, то есть квадраты напряженностей полей? К сожалению, теория интерференции монохроматических волн не дает ответ на данный вопрос.

Реальные световые волны — не строго монохроматические. По фундаментальным физическим причинам излучение всегда происходит статистически (или случайно). Атомы источника света излучают независимо друг от друга в какие-то моменты времени, и каждый атом излучает свет очень короткий промежуток времени ( τ ≤ 10 – 8 с ) . Итоговое излучение источника света в определенный момент времени складывается из вкладов огромного количества атомов. Спустя время порядка τ совокупность излучающих атомов полностью обновляется. Потому суммарное излучение будет с другой амплитудой и, что очень важно, с другой фазой. Фаза волны, которая излучается реальным источником света, примерно постоянна только лишь на интервалах времени порядка τ .

Отдельные «обрывки» излучения длительности τ называют цуги. Они обладают пространственной длиной, равной c τ , где c – это скорость света.

Колебания в различных цугах не согласованы друг с другом. Выходит, что реальная световая волна — это последовательность волновых цугов с беспорядочно меняющейся фазой. В физике принято считать, что колебания в различных цугах некогерентны. Временной интервал τ , в течение которого фаза колебаний примерно постоянна, называется временем когерентности.

Интерференция возникает только лишь при сложении когерентных колебаний, то есть колебаний, которые относятся к одному цугу. Хоть и фазы каждого колебания также подвергаются случайным временным изменениям, но данные изменения одинаковы, потому разность фаз когерентных колебаний постоянна. В данном случае наблюдается устойчивая интерференционная картина и, значит, выполняется принцип суперпозиции полей. При сложении некогерентных колебаний разность фаз — это случайная функция времени. В этом случае интерференционные полосы подвергаются беспорядочным перемещениям из одной стороны в другую, и за время Δ t их регистрации, которая в оптических экспериментах существенно превышает время когерентности ( Δ t ≫ τ ) , наблюдается полное усреднение. Глаз, фотопластинка или фотоэлемент фиксирует в точке наблюдения усредненную величину интенсивности, равную сумме интенсивностей I 1 + I 2 этих колебаний. Здесь соблюдается закон сложения интенсивностей.

Итак, интерференция возникает только лишь при сложении когерентных колебаний. Волны, которые создают в точке наблюдения когерентные колебания, тоже называют когерентными. Волны от 2 -х независимых источников некогерентны и не дают интерференцию. Ученый Юнг интуитивно догадался для того, чтобы получить интерференцию света нужно волну от источника разделить на 2 когерентные волны и потом смотреть на экране результат их сложения. Так устроены все интерференционные схемы. Но даже в данном случае интерференционная картина пропадает, если разность хода Δ превышает длину когерентности c τ .

Интерференция волн: что это такое, свойства, примеры, формула

Интерференция волн – это явление наложения (суперпозиции) волн от разных источников. Другими словами, интерференция это явление сложения в пространстве двух (или нескольких) волн, при котором образуется постоянное во времени распределение амплитуды результирующих колебаний в различных точках пространства, называется интерференцией. Название “интерференция” происходит от латинского языка (Inter – между, ferens – дополнение от ferentis – несущий, переносящий).

Интерференция волн: объяснение явления кратко и простыми словами

Если на тушение пожара приезжают две пожарные машины и начинают лить воду на горящее здание двумя струями, мы можем быть уверены, что они выльют на него больше воды, чем если бы это делала одна бригада. Поэтому кажется почти очевидным, что если одни и те же пожарные машины включат две одинаковые сирены, то наблюдатель, находящийся поблизости от них, услышит звук громче, чем если бы сирену включила только одна из них. Обычно это действительно так, однако может произойти и обратное. Звуковые потоки из двух громкоговорителей могут совсем не усиливать друг друга, а наоборот, заглушать друг друга. Как вы думаете, это невозможно? Мы ответим на этот вопрос, проведя следующий эксперимент и далее проанализировав его результаты.

Эксперимент.

Для этого эксперимента вам понадобится ноутбук, стоящий на столе, к которому подключены две компьютерные колонки. Чтобы превратить их в источники гармонических волн, наберите в поисковой системе вашего браузера “акустический генератор онлайн” и произведите синусоидальную волну 1500 Гц с помощью найденной программы. В качестве альтернативы наберите в поисковой системе “звук 1500 Гц” и воспроизведите один из найденных видеороликов. Одна просьба: заботясь об ушах своих соседей, не воспроизводите эти звуки слишком громко, в этом нет необходимости.

Эксперимент будет проводиться двумя участниками: один будет перемещать один из громкоговорителей, другой – быть детектором (приёмником) звука, т.е. просто слушать (рис. 1) одним ухом (блокируя другое). Наблюдатель должен находиться на расстоянии около 3 м от первого говорящего. Если записать результат эксперимента с помощью смартфона и воспроизвести его, он будет еще более четким.

1. Сначала мы разместим колонки рядом друг с другом.
2. Теперь первый участник начинает медленно перемещать вторую колонку в сторону наблюдателя. Перемещая её на несколько сантиметров, наблюдатель слышит, что звук становится все тише и тише, хотя оба динамика работают без изменений. В конце концов, достигается минимум интенсивности звука.
3. При перемещении колонки дальше громкость звука снова начинает увеличиваться, затем снова уменьшается и так далее.

Результаты наших наблюдений могут показаться удивительными. Если мы соответствующим образом переместим вторую колонку, наблюдатель услышит звук, исходящий из двух колонок, как более тихий, чем если бы он исходил только из одной колонки. Можно сказать об этом в шутку: “звук + звук = тишина”! Как это возможно?

Чтобы понять результат нашего эксперимента, мы должны рассмотреть явление интерференции, или суперпозиции (наложения) гармонических волн. Далее мы будем рассматривать волны, распространяющиеся только в одном направлении (от динамиков к наблюдателю) и пренебрегать тем фактом, что в действительности амплитуда звуковых волн уменьшается по мере удаления от динамика.

Объяснение наблюдения: принцип суперпозиции гласит, что результирующее смещение элемента среды, в которой распространяются две волны, равно сумме смещения, которое вызвала бы только первая волна, и смещения, которое вызвала бы только вторая волна.

Мы будем представлять волны, идущие к наблюдателю от двух колонок, как синусоидальные волны одинаковой длины λ. В случае звуковой волны значение синусоиды в данной точке соответствует мгновенному давлению в звуковой волне, которое попеременно то выше, то ниже. На рисунке (рис. 2.):

• Верхний красный график представляет первую волну.
• Средний зеленый график представляет вторую волну.
• Нижний черный график представляет собой суперпозицию двух предыдущих волн.

Расстояние первого источника волны от наблюдателя мы обозначили символом r₁ (на рис. 1 это было расстояние L). Мы обозначили расстояние от наблюдателя до второго источника волны через r₂.

1. На (рис. 2.) оба источника волн находятся на одинаковом расстоянии от наблюдателя, r₁ = r₂. Волны усиливаются. Амплитуда результирующей волны в два раза больше амплитуд двух составляющих волн. Наблюдатель слышит сильный звук.
2. На (рис. 3.) источник 2 переместился на 1/2 длины волны справа, r₁ – r₂ = λ * 1/2 . Теперь максимумы второй волны совпадают с минимумами первой волны. Волны угасают. Амплитуда результирующей волны равна нулю. Наблюдатель не слышит звука. Это тот случай, когда “звук + звук = тишина”.
3. Если мы переместим второй источник на полную длину волны вправо, так что r₁ – r₂ =λ максимумы двух волн снова наложатся друг на друга, и в результате звук снова станет сильным.
4. Если расстояние между колонками было полторы длины волны, так что r₁ – r₂ = 1.5 * λ, то волны снова бы затухли. И так далее.

В общем случае можно сказать, что максимальное усиление волн от двух источников происходит, когда разница в расстоянии от наблюдателя равна целому кратному длины волны, т.е. r₁ – r₂ = n * λ , где n = 0, 1, 2, 3, … .

Волны от двух источников гаснут, когда разница в расстоянии от наблюдателя равна нечетному кратному половине длины волны, т.е. :

r₁ – r₂ = ( n + 1/2) * λ = (2n + 1) * λ /2, где n = 0, 1, 2, 3, … .

Интерференция описывает суперпозицию двух или более волн, которые проникают друг в друга. Волна имеет амплитуду, т.е. отклонение, с положительным или отрицательным знаком. Если две такие волны накладываются друг на друга, их амплитуды складываются с соответствующим знаком, согласно принципу суперпозиции. Это означает, что они усиливают, ослабляют или полностью отменяют друг друга. Этот эффект происходит со всеми типами волн, то есть электромагнитными, звуковыми и волнами материи (волнами де Бройля).

Важно! В местах, где волны усиливают друг друга, возникает так называемая конструктивная интерференция. В местах, где волны ослабляют друг друга, с другой стороны, возникает деструктивная интерференция.

Интерференцию можно распознать по изменению амплитуд отдельных волн. Там, где раньше волновые поля имели равномерную интенсивность, при интерференции можно наблюдать чередование максимумов и минимумов. Это называется интерференционной картиной. Интерференционные картины служат доказательством волновой природы исследуемого излучения.

Свойства

Вы можете классифицировать интерференцию на основе её свойств, и использовать это для различных экспериментов.

Когерентность

Важным свойством для описания интерференции является когерентность. Для того чтобы создать стабильное волновое поле в результате интерференции волн, они должны быть когерентны друг другу. Это означает, что волны имеют фиксированное фазовое соотношение друг с другом. Фаза – это степень, на которую волны смещены относительно друг друга. Из этого можно определить время когерентности, которое является важным показателем для физических источников света.

Когерентными называют источники, частота колебаний которых одинакова, а разность фаз не изменяется. Волны, созданные такими источниками, называют когерентными.

Рис. 1. Когерентность

Поляризация

Еще одно характерное свойство – поляризация. Поляризация описывает направление колебания волны. Если это изменение направления происходит быстро и беспорядочно, то волна является неполяризованной. Если волны поляризованы перпендикулярно друг другу, они не интерферируют друг с другом.

Рис. 2. Поляризация волн

Конструктивная интерференция

Конструктивная интерференция возникает всегда, когда разность путей двух волн соответствует целому числу, кратному длине волны. При этом условии гребень волны всегда встречает гребень волны, а впадина волны встречает впадину волны. Если амплитуды равны, конструктивная интерференция приводит к амплитуде, которая в два раза больше.

Математически это можно выразить следующим образом:

Гребень волны встречает гребень волны на разнице путей Δs = 0, 1λ, 2λ, …. Это дает вам формулу Δs = k * λ , где

Где k = 0, ±1, ±2, …и т.д. При k=0 вы имеете максимум 0-го порядка, а при k=1 – максимум 1-го порядка.

Рис. 3. Конструктивная интерференция

Деструктивная интерференция

Деструктивная интерференция всегда возникает при длине волны, кратной половине длины волны. При этом условии волновые впадины всегда встречаются с волновыми гребнями и наоборот. В результате амплитуда результирующей волны меньше амплитуды исходной волны. Если амплитуды равны, волны гасят друг друга.

Математически это можно выразить следующим образом:

Гребень волны встречается с гребнем волны на разнице путей Δs = 0.5λ, 1.5λ, 2.5λ, , …. Это дает вам формулу Δs = ( k +0.5) * λ , где

k = 0, ±1, ±2, … и т.д. При k=1 вы имеете минимум 1-го порядка.

Рис. 4. Деструктивная интерференция

Пример расчета интерференции волн

Для лучшего понимания здесь приводится упрощенный вариант расчета. Предположим, что излучаются две волны (S₁ и S₂). Оба сигнала имеют одинаковую амплитуду, частоту и поляризацию. На большом расстоянии находится приемник E.

Рис. 5. Расчет интерференции волн

Из рисунка видно, что на разность путей Δs влияет, помимо прочего, угол α‎. Тригонометрически можно определить следующее соотношение: sin (α) = Δs / b = ↔ Δs = b * sin (α)

Для угла α вы получите tan (α) = x / d

Для очень малых α используйте приближение малого угла. Это означает, что tan( α ) ≈ sin( α ). Если вы подставите это в свою формулу для разницы путей Δs, то получите: Δs = b * tan (α) = b * ( x / d ).

Интерференция волн.

В предыдущем листке, посвящённом принципу Гюйгенса, мы говорили о том, что общая картина волнового процесса создаётся наложением вторичных волн. Но что это значит — «наложением»? В чём состоит конкретный физический смысл наложения волн? Что вообще происходит, когда в пространстве одновременно распространяются несколько волн? Этим вопросам и посвящён данный листок.

Сложение колебаний.

Сейчас мы будем рассматривать взаимодействие двух волн. Природа волновых процессов роли не играет — это могут быть механические волны в упругой среде или электромагнитные волны (в частности, свет) в прозрачной среде или в вакууме.

Опыт показывает, что волны складываются друг с другом в следующем смысле.

Принцип суперпозиции. Если две волны накладываются друг на друга в определённой области пространства, то они порождают новый волновой процесс. При этом значение колеблющейся величины в любой точке данной области равно сумме соответствующих колеблющихся величин в каждой из волн по отдельности.

Например, при наложении двух механических волн перемещение частицы упругой среды равно сумме перемещений, создаваемых в отдельности каждой волной. При наложении двух электромагнитных волн напряжённость электрического поля в данной точке равна сумме напряжённостей в каждой волне (и то же самое для индукции магнитного поля).

Разумеется, принцип суперпозиции справедлив не только для двух, но и вообще для любого количества накладывающихся волн. Результирующее колебание в данной точке всегда равно сумме колебаний, создаваемых каждой волной по отдельности.

Мы ограничимся рассмотрением наложения двух волн одинаковой амплитуды и частоты. Этот случай наиболее часто встречается в физике и, в частности, в оптике.

Оказывается, на амплитуду результирующего колебания сильно влияет разность фаз складывающихся колебаний. В зависимости от разности фаз в данной точке пространства две волны могут как усиливать друг друга, так и полностью гасить!

Предположим, например, что в некоторой точке фазы колебаний в накладывающихся волнах совпадают (рис. 1 ).

Рис. 1. Волны в фазе: усиление колебаний

Мы видим, что максимумы красной волны приходятся в точности на максимумы синей волны, минимумы красной волны — на минимумы синей (левая часть рис. 1 ). Складываясь в фазе, красная и синяя волны усиливают друг друга, порождая колебания удвоенной амплитуды (справа на рис. 1 ).

Теперь сдвинем синюю синусоиду относительно красной на половину длины волны. Тогда максимумы синей волны будут совпадать с минимумами красной и наоборот — минимумы синей волны совпадут с максимумами красной (рис. 2 , слева).

Рис. 2. Волны в противофазе: гашение колебаний

Колебания, создаваемые этими волнами, будут происходить, как говорят, в противофазе — разность фаз колебаний станет равна . Результирующее колебание окажется равным нулю, т. е. красная и синяя волны попросту уничтожат друг друга (рис. 2 , справа).

Когерентные источники.

Пусть имеются два точечных источника, создающие волны в окружающем пространстве. Мы полагаем, что эти источники согласованы друг с другом в следующем смысле.

Когерентность. Два источника называются когерентными, если они имеют одинаковую частоту и постоянную, не зависящую от времени разность фаз. Волны, возбуждаемые такими источниками, также называются когерентными.

Итак, рассматриваем два когерентных источника и . Для простоты считаем, что источники излучают волны одинаковой амплитуды, а разность фаз между источниками равна нулю. В общем, эти источники являются «точными копиями» друг друга (в оптике, например, источник служит изображением источника в какой-либо оптической системе).

Наложение волн, излучённых данными источниками, наблюдается в некоторой точке . Вообще говоря, амплитуды этих волн в точке не будут равны друг другу — ведь, как мы помним, амплитуда сферической волны обратно пропорциональна расстоянию до источника, и при разных расстояниях и амплитуды пришедших волн окажутся различными. Но во многих случаях точка расположена достаточно далеко от источников — на расстоянии гораздо большем, чем расстояние между самими источниками. В такой ситуации различие в расстояниях и не приводит к существенному отличию в амплитудах приходящих волн. Следовательно, мы можем считать, что амплитуды волн в точке также совпадают.

Условие максимума и минимума.

Однако величина , называемая разностью хода, имеет важнейшее значение. От неё самым решительным образом зависит то, какой результат сложения приходящих волн мы увидим в точке .

Рис. 3. Усиление колебаний в точке P

В ситуации на рис. 3 разность хода равна длине волны . Действительно, на отрезке укладываются три полных волны, а на отрезке — четыре (это, конечно, лишь иллюстрация; в оптике, например, длина таких отрезков составляет порядка миллиона длин волн). Легко видеть, что волны в точке складываются в фазе и создают колебания удвоенной амплитуды — наблюдается, как говорят, интерференционный максимум.

Ясно, что аналогичная ситуация возникнет при разности хода, равной не только длине волны, но и любому целому числу длин волн.

Условие максимума. При наложении когерентных волн колебания в данной точке будут иметь максимальную амплитуду, если разность хода равна целому числу длин волн:

Теперь посмотрим на рис. 4 . На отрезке укладываются две с половиной волны, а на отрезке -три волны. Разность хода составляет половину длины волны ( d=\lambda /2[/math] ).

Рис. 4. Гашение колебаний в точке P

Теперь нетрудно видеть, что волны в точке складываются в противофазе и гасят друг друга — наблюдается интерференционный минимум. То же самое будет, если разность хода окажется равна половине длины волны плюс любое целое число длин волн.

Условие минимума.
Когерентные волны, складываясь, гасят друг друга, если разность хода равна полуцелому числу длин волн:

Равенство (2) можно переписать следующим образом:

Поэтому условие минимума формулируют ещё так: разность хода должна быть равна нечётному числу длин полуволн.

Интерференционная картина.

А что, если разность хода принимает какое-то иное значение, не равное целому или полуцелому числу длин волн? Тогда волны, приходящие в данную точку, создают в ней колебания с некоторой промежуточной амплитудой, расположенной между нулём и удвоенным значением 2A амплитуды одной волны. Эта промежуточная амплитуда может принимать все значения от 0 до 2A по мере того, как разность хода меняется от полуцелого до целого числа длин волн.

Таким образом, в той области пространства, где происходит наложение волн когерентных источников и , наблюдается устойчивая интерференционная картина — фиксированное не зависящее от времени распределение амплитуд колебаний. А именно, в каждой точке данной области амплитуда колебаний принимает своё значение, определяемое разностью хода приходящих сюда волн, и это значение амплитуды не меняется со временем.

Такая стационарность интерференционной картины обеспечивается когерентностью источников. Если, например, разность фаз источников будет постоянно меняться, то никакой устойчивой интерференционной картины уже не возникнет.

Теперь, наконец, мы можем сказать, что такое интерференция.

Интерференция — это взаимодействие волн, в результате которого возникает устойчивая интерференционная картина, то есть не зависящее от времени распределение амплитуд результирующих колебаний в точках области, где волны накладываются друг на друга.

Если волны, перекрываясь, образуют устойчивую интерференционную картину, то говорят попросту, что волны интерферируют. Как мы выяснили выше, интерферировать могут только когерентные волны. Когда, например, разговаривают два человека, то мы не замечаем вокруг них чередований максимумов и минимумов громкости; интерференции нет, поскольку в данном случае источники некогерентны.

На первый взгляд может показаться, явление интерференции противоречит закону сохранения энергии — например, куда девается энергия, когда волны полностью гасят друг друга? Но никакого нарушения закона сохранения энергии, конечно же, нет: энергия просто перераспределяется между различными участками интерференционной картины. Наибольшее количество энергии концентрируется в интерференционных максимумах, а в точки интерференционных минимумов энергия не поступает совсем.

На рис. 5 показана интерференционная картина, созданная наложением волн двух точечных источников и . Картина построена в предположении, что область наблюдения интерференции находится достаточно далеко от источников. Пунктиром отмечена ось симметрии интерференционной картины.

Рис. 5. Интерференция волн двух точечных источников

Цвета точек интерференционной картины на этом рисунке меняются от чёрного до белого через промежуточные оттенки серого. Чёрный цвет — интерференционные минимумы, белый цвет — интерференционные максимумы; серый цвет — промежуточное значение амплитуды, и чем больше амплитуда в данной точке, тем светлее сама точка.

Обратите внимание на прямую белую полосу, которая идёт вдоль оси симметрии картины. Здесь расположены так называемые центральные максимумы. Действительно, любая точка данной оси равноудалена от источников (разность хода равна нулю), так что в этой точке будет наблюдаться является интерференционный максимум.

Остальные белые полосы и все чёрные полосы слегка искривлены; можно показать, что они являются ветвями гипербол. Однако в области, расположенной на большом расстоянии от источников, кривизна белых и чёрных полос мало заметна, и выглядят эти полосы почти прямыми.

Интерференционный опыт, изображённый на рис. 5 , вместе с соответствующим методом расчёта интерференционной картины называется схемой Юнга. Эта схема лежит в основе знаменитного
опыта Юнга (речь о котором пойдёт в теме Дифракция света). Многие эксперименты по интерференции света так или иначе сводятся к схеме Юнга.

В оптике интерференционную картину обычно наблюдают на экране. Давайте ещё раз посмотрим на рис. 5 и представим себе экран, поставленный перпендикулярно пунктирной оси.
На этом экране мы увидим чередование светлых и тёмных интерференционных полос.

На рис. 6 синусоида показывает распределение освещённости вдоль экрана. В точке O, расположенной на оси симметрии, находится центральный максимум. Первый максимум в верхней части экрана, соседний с центральным, находится в точке A. Выше идут второй, третий (и такдалее) максимумы.

Рис. 6. Интерференционная картина на экране

Расстояние , равное расстоянию между любыми двумя соседними максимумами или минимумами, называется шириной интерференционной полосы. Сейчас мы займёмся нахождением этой величины.

Пусть источники находятся на расстоянии друг от друга, а экран расположен на расстоянии от источников (рис. 7 ). Экран заменён осью ; начало отсчёта , как и выше, отвечает центральному максимуму.

Рис. 7. Вычисление координат максимумов

Точки и служат проекциями точек и на ось и расположены симметрично относительно точки . Имеем: .

Точка наблюдения может находиться на оси (на экране) где угодно. Координату точки
мы обозначим . Нас интересует, при каких значениях в точке будет наблюдаться интерференционный максимум.

Волна, излучённая источником , проходит расстояние:

Теперь вспомним, что расстояние между источниками много меньше расстояния от источников до экрана: . Кроме того, в подобных интерференционных опытах координата точки наблюдения также гораздо меньше . Это означает, что второе слагаемое под корнем в выражении (3) много меньше единицы:

Раз так, можно использовать приближённую формулу:

Применяя её к выражению (4) , получим:

Точно так же вычисляем расстояние, которое проходит волна от источника до точки наблюдения:

Применяя к выражению (6) приближённую формулу (4) , получаем:

Вычитая выражения (7) и (5) , находим разность хода:

Пусть — длина волны, излучаемой источниками. Согласно условию (1) , в точке будет наблюдаться интерференционный максимум, если разность хода равна целому числу длин волн:

Отсюда получаем координаты максимумов в верхней части экрана (в нижней части максимумы идут симметрично):

При получаем, разумеется, (центральный максимум). Первый максимум рядом с центральным соответствует значению и имеет координату .Такой же будет и ширина интерференционной полосы: