Какое поле называется центральным

Движение частицы в центральном поле. Сохранение момента импульса в центральном поле сил. Секториальная скорость

Центральное силовое поле – область пространства, в которой действуют центральные силы, являющиеся потенциальным полем, а центральные силы – консервативными частицами.

Момент импульса частицы, движущейся в ЦСП не изменяется с течением времени. Из следует, что и , т.е. плоскости в которой лежат два вектора и и ; и в любой момент времени находятся в одной и той же плоскости что и в начальный момент времени, т.е. движение частицы происходит в плоскости и называется плоским движением.

Секториальная скорость частицы в ЦСП — векторная величина, модуль которой равен площади «занимаемой» радиус-вектором частицы за еденицу времени, а направление совпадает с направление момента импульса. Т.к. в ЦСП , то , т.е. секториальная скорость частицы движущейся в ЦСП сохраняется.
Движение частицы в центральном поле. Потенциальная энергия частицы центральном поле сил. Законы Кеплера.

Центральное силовое поле – область пространства, в которой действуют центральные силы, являющиеся потенциальным полем, а центральные силы – консервативными частицами.

Потенциальная энергия в ЦСП:

Потенциальная энергия частицы, находящейся в поле центральных сил зависит только от расстояния до центра .

I Закон: Планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце.

II Закон: Радиус-вектор планеты за равные интервалы времени описывает одинаковые площади.

III Закон: Квадраты периодов обращения любых двух планет относятся как кубы больших полуосей их орбит: . .

Какое поле называется центральным

Векторное поле называется центральным, если его вектор определяется формулой вида

где радиус-вектор, соединяющий фиксированную точку О (центр поля) с текущей точкой (рис. 176).

Подсчитаем ротацию центрального поля:

Поместив начало координат в центр поля О, получим

Итак, центральное поле всегда потенциально. Найдем его потенциал:

Дифференцирование тождества даст

Поэтому получается следующая простая формула для вычисления потенциала центрального поля:

Центральные силы и их поля

Центральная сила — сила, линия действия которой при любом положении тела, к которому она приложена, проходит через точку, называемую центром силы (точка на Рис.1). Тело при этом, как правило, рассматривается как материальная точка, а центр также считается точечным, обычно [1] совпадая с физическим источником силы; в простейшем случае он фиксирован в пространстве.

Примерами центральных сил являются силы тяготения и Кулона, направленные вдоль линии, соединяющей точечные массы или точечные заряды.

Проще всего центральные силы вводятся для физических систем, состоящих из конечного числа объектов, размерами которых можно пренебречь (материальных точек), или, иногда, некоторых эквивалентных им, состоящих из протяжённых объектов с фиксированной внутренней структурой [2] . Распределенные системы, в которых действуют центральные силы, в общем случае [3] не могут быть представлены конечным количеством материальных точек. В случае распоеделенных систем общим подходом является разбиение их на очень большое (впределе бесконечное) количество элементов малого (в пределе стремящегося к нулю) размера каждый, которые и рассматриваются как материальные точки — между которыми действуют центральные силы в соответствии с определением, данным выше. Таким образом, в этом случае центральной, собственно, является каждая элементарная сила, а реальная сила является суммой (суперпозицией)) таких элементарных сил.

Kлассическая физика вводит также понятие поля центральной силы для области трёхмерного пространства, в котором действуют центральные силы. [4]

Рис.1 К определению центральной силы: частица в поле атомного ядра.(опыт Резерфорда)

• Для любой центральной силы выполняется соотношение

(где — радиус-вектор с началом в центре силы), свидетельствующее о равенстве нулю момента силы относительно центра силы:

Содержание

Силовые поля

Этим полям соответствуют кулоновские силы (силы электростатического взаимодействия) и силы гравитационные (силы Всемирного тяготения. Сходство между ними заключается в том, что они могут быть обнаружены во время взаимодействия материальных объектов, причем в случае гравитации свойством, обуславливающим это взаимодействие, является масса, а в случае кулоновского взаимодействия — заряд, этой массой переносимый. Заряды, не связанные с массой, классической физике неизвестны.

При сохранении подобия в геометрических размерах тел и их взаимного расстояния, силы взаимного тяготения, равно как и силы электростатические (кулоновские) растут пропорционально 4-й степени абсолютных размеров рассматриваемой модели. В то же самое время в случае электрического взаимодействия, где между величиной заряда и размерами тел, несущих эти заряды, нет определённой связи, силы взаимодействия ослабляются пропорционально 2-й степени абсолютных размеров . Поэтому при сравнении этих сил в микромире доминируют Кулоновские силы, а в масштабах Вселенной — силы Всемирного тяготения.

Интенсивность силового поля

В ряде случаев в рассматриваемом силовом поле оказывается возможным определить пространственно локализованный его источник (нем. Quelle).

Одним из основных свойств рассматриваемых здесь полей является их экспериментально подтверждаемая аддитивность, иначе называемая принципом суперпозиции, заключающегося в том, что действие поля, создаваемого несколькими источниками на объект своего воздействия независимы друг от друга при любом значении их интенсивности. Это позволяет ввести в рассмотрение понятие о «точечном источнике» с чётко определённым его пространственным расположении и сформулировать понятие об суммарной интенсивности поля нескольких источников как сумму этих воздействий с учётом геометрии конкретной задачи.

Интенсивность определяется в заданной точке пространства силой, которая могла бы подействовать на единичный «пробный объект» с заданным свойством, который мог бы находиться в этой точке или же в действительности находящийся в ней. Выбор «пробного объекта» есть предмет договорённости. При необходимости источник поля и объект его воздействия могут поменяться местами.

Величина, характеризующая интенсивность центрального силового поля представляет собой вектор направленный по линии соединяющей точечный источник и заданную точку поля.

Потенциальные центральные поля

Работа центральной силы

Элементарная работа силы, в том числе и центральной силы, есть скалярная величина, исчисляемая изменением энергии при перемещении точки приложения силы (в общем случае изменяющей свою величину и направление), при перемещении на столь малый отрезок своей траектории, что на нём вектор силы может считаться неизменным, то есть на расстояние  :

(5)

где есть угол между этими векторами. Поскольку , то направление отсчёта угла значения не имеет.

При перемещении на расстояние от до , весь пройденный путь можно разбить на элементарных участков. И тогда полная работа будет суммой этих элементарных работ с тем большей точностью, чем на большее количество участков будет разбита траектории, что выражается знаком интеграла, как предела этой суммы :

где , , суть единичные векторы (орты) для своих осей.

Потенциал поля

Не для всякого поля силы совершаемая ею работа зависит лишь от положения начальной и конечной точек движения . Иными словами, не зависит от формы пути.

Упомянутый интеграл не будет зависеть от формы пути лишь в том случае, если будет существовать некая первообразная функция , в выражении полного дифференциала которой:

В этом случае функция будет называться потенциальной функцией, а поле силы -потенциальным полем. [5]

Но это станет возможным лишь при одновременном выполнении равенств:

Представляется естественным считать, что вектор напряжённости поля направлен ОТ источника поля, (что привычно принимается при описании электростатического поля при взаимодействии одноимённых зарядов [7] )Тогда, зафиксировав точку, находящуюся на расстоянии от центрального заряда и предоставив ему свободу, получим, что он под действием силы будет удаляться в бесконечность. При этом совершённая полем работа будет равна:

То же можно сказать и в случае, если поле продвинуло тело дальше и, следовательно, проделало больше работы и потому разница работ на пути между точками больше нуля.

И эти работы может быть названа с точностью до постоянной потенциалом точки : » width=»» height=»» />, подразумевая под потенциалом возможность совершить работу, которая для более близкой точки выше, чем у более далёкой.

Тогда совершённая полем работа будет равна разности потенциалов , взятой со знаком «минус»

Таким образом работа силы на пути из начальной точки в конечную равна изменению потенциальной функции, являющейся скалярной функцией расстояния. В таком случае для каждой точки пути можно с точностью до постоянной величины приписать свой потенциал:

Поле как градиент потенциала

В поле центральной силы её составляющая по данной оси представляет собой скорость изменения потенциальной функции по этой же оси или же градиент функции по заданному направлению.

Для описания изменения потенциальной функции по произвольному направлению в теории поля введён векторный дифференциальный оператор, имеющий вид:

U (14). » width=»» height=»» />

Знак минус, по обычному соглащению присутстсвующий в этой формуле, связан с тем, чтобы функция U могла быть отождествлена с потенциальной энергией (хотя чиcто формально потенциальная функция могла бы быть выбрана и с другим знаком, если такого отождествления не предполагается).

Кулоновское поле

Напряженность кулоновского поля определяется вектором , равным:

(16) » width=»» height=»» />

Здесь ;  — заряд тела -источника силы; ,есть расстояние до точки, где определяется интенсивность, а константа зависит от диэлектрической постоянной среды , (для пустого пространства равная 1), в которой существует поле:

есть диэлектрическая постоянная вакуума. В таком случае для вакуума

» width=»» height=»» /> Vm/As в Международной системе единиц [8] ,

Кулоновские силы

Объектом действия кулоновского поля является материальное тело, несущее заряд

В таком случае на него действует механическая (ньютонова) сила электрического происхождения, равная произведению величины заряда на напряжённость поля:

(18) » width=»» height=»» />

Специфической особенностью кулоновского поля является то, что вектор его напряжённости направлен либо ОТ источника поля в случае совпадение знака заряда источника и объекта взаимодействия, либо направлен К источнику в случае разноимённости зарядов. Это значит, что заряжённые материальные тела в первом случае будут испытывать отталкивающую силу, а в противоположном — силу сближающую их.

Ещё одним свойством кулоновского поля является техническая возможность выделить область пространства, в котором оно будет в требуемой степени отсутствовать (клетка Фарадея)

Поле гравитации

В русскоязычной литературе интенсивность поля тяготения называют «ускорением свободного падения» за рубежом иногда её называют напряжённостью гравитационного поля.

(20) » width=»» height=»» />

Здесь ;  — масса тела -источника гравитации; есть расстояние до точки, где определяется интенсивность, а константа есть гравитационная постоянная, равная по современным данным

Объектом действия поля гравитации является материальное тело,имеющее массу

В таком случае на него действует механическая сила, равная произведению массы тела на напряжённость поля. Существенно, что между массой, входящей во Второй закон Ньютона и массой того же тела, подверженного действию гравитации нет никакой разницы в величине. Тогда, с учётом ():

или, в скалярном представлении:

Специфической особенностью сил гравитации является то, что они всегда являются силами притяжения. Кроме того, силы гравитации всепроникающи и от них невозможно защититься никаким экраном. Это свойство объединяет силы гравитации с фиктивными силами инерции, существующими в любой неинерциальной системе отсчёта. Подобная аналогия имеет своей основой фундаментальные свойства пространства, изучения которых выходит за рамки классической физики. [10]

Потенциал поля гравитации

Подставляя в (6) значение силы Всемирного тяготения из (20), получаем с учётом того, что работа была совершена против поля:

)» width=»» height=»» /> [11] (24)

Движение под действием центральной силы

В общем случае любую траекторию тела, рассматриваемого как материальная точка, можно представить в виде пространственной кривой, состоящей из сопряжённых поворотов в различных плоскостях вокруг мгновенных центров поворота C с различными значениями радиуса поворота на том же Рис 1.Применение представления о траектории реального трёхмерного тела смысла не имеет.

Но кривизна траектории отнюдь не значит, что на тело действует некая сила, для каждого момента являющейся силой центростремительной.

Последняя оговорка весьма существенна. Так, например, для земного наблюдателя бомба, сброшенная с летящего равномерно и прямолинейно летательного аппарата движется по параболе. Но для пилота она падает вертикально под действием единственной в данном случае силы тяжести (Если не принимать во внимание снос из-за сопротивления воздуха).Никаких сил, вызывающих искривление траектории здесь нет. Центростремительные силы возникают не потому, что траектория крива,но потому, что они являются выражением реально имеющего место силового взаимодействия движущегося объекта со своим окружением.

Считается, что в центре силы находится источник силы которым может быть тяготеющая масса, либо электрический заряд в случае, если рассматриваемая сила есть характеристика соответствующего силового поля. Центр силы в общем случае не совпадает с мгновенным центром поворота — точка на Рис. Это совпадение имеет место лишь при повороте тела по дуге окружности. [4]

Как видно на Рис.1 единственная действующая между телами и сила может быть разложена на две составляющие: (2)

При этом есть тангенциальная сила, в зависимости от направления движения тела по своей траектории на рисунке либо тормозящая его движение, либо ускоряющая его.

есть сила, направленная по нормали к касательной к траектории в сторону мгновенного центра и потому являющаяся центростремительной силой. [12]

Непосредственно из определения понятий о моментах силы и момента количества движения (момента импульса)следует экспериментально подтверждаемый факт, что скорость изменения момента импульса вращающегося тела прямо пропорциональна величине приложенного к телу момента силы :

. Но, поскольку постоянство вектора есть одновременно и сохранение его направления в пространстве, то заметаемая при движении тела площадка всегда лежит в одной и той же плоскости. Из этого следует, что любая траектория, движения тела под действием центральной силы есть плоская кривая.

Наиболее часто движение тел в гравитационном поле изучают в области небесной механики, где гравитационное воздействия преоблаают и потому изучаемая система взаимодействующих сил может рассматриваться, как консервативная система , т.е. такая, в которой сохраняется полная энергия тела в виде суммы потенциальной и кинетической энергии. [4]

(25),где:

и соответствуют скоростям, создаваемым нормальной и тангенциальной составляющей действующей на тело силы на Рис.1

Воспользовавшись определением кинетического момента: получаем для кинетической энергии тангенциального движения соотношение:

<2>(28)» width=»» height=»» />

<2>+ \frac <2mr^2>— \frac (30)» width=»» height=»» />

Введя в рассмотрение эффективный потенциал  :

тело движется по круговой орбите с радиусом

Если энергия движения тела больше, скажем ,траектория тела будет представлять эллипс с малой полуосью и большой .

Наконец, при энергии тела разойдутся, сблизившись на минимальное расстояние

Центральные скалярные и векторные поля

Рассмотрим некоторые поля, наиболее часто встречающиеся в физике. Продемонстрируем также простейшие методы вычислений на примерах этих полей.

Определение 1. Скалярное поле называется центральным, если оно зависит только от радиуса

Пример 1. Найти градиент центрального поля .

Пример 2. Вычислить оператор Лапласа для центрального скалярного поля.

Пример 3. Электрический заряд создает поле, потенциал которого определяется формулой

Показать, что это поле является гармоническим.

Решение. Используя формулу

Предлагается тот же результат получить непосредственным вычислением, как в примере 2.

Замечание 1. Потенциал поля тяготения (гравитационный потенциал) определяется формулой

Следовательно, это поле также является гармоническим.

Определение 2. Векторное поле называется центральным, если оно имеет вид

т.е. зависит только от расстояния и направлено по радиусу.

Пример 4. Найти дивергенцию и ротор центрального векторного поля.

Вывод: Центральное векторное поле всегда является потенциальным.

Пример 5. Найти такую функцию , при которой центральное поле

Решение. Напомним, что векторное поле называется гармоническим, если выполняются условия

Для центрального векторного поля ротор всегда равен нулю. Запишем уравнение для дивергенции

Решением этого уравнения будет функция

где — произвольная постоянная.

Ответ: Центральное векторное поле вида

Задачи Дирихле и Неймана

Рассмотрим задачу нахождения решения уравнения Лапласа

в области Т с заданным значением функции на границе области S:

Эта задача называется задачей Дирихле. Она часто встречается в математической физике.

Теорема 1 (теорема единственности). Уравнение Лапласа имеет единственное решение в области Т, на границе S которой функция принимает заданное значение.

Доказательство. Требуется найти решение уравнения Лапласа

с граничным условием

Предположим, что существуют две функции и , удовлетворяющие условию задачи. Их разность

также удовлетворяет уравнению Лапласа и нулевому граничному условию

На основании Следствия 2 имеем

т.е. функции и совпадают.

Аналогично можно сформулировать задачу Неймана: Найти решение уравнения Лапласа

скалярный векторный поле гармонический

для функции , имеющей на границе заданное значение нормальной производной

Теорема 2. Все решения задачи Неймана могут отличаться только на постоянную величину.

Доказательство. Требуется найти решение уравнения Лапласа

с граничным условием

Предположим, что существуют две функции и , удовлетворяющие условию задачи. Их разность

также удовлетворяет уравнению Лапласа и нулевому граничному условию

Запишем первую формулу Грина

в которой положим

Отметим, что теоремы единственности мы доказали для ограниченной области (внутренняя краевая задача). Для внешней краевой задачи также можно сформулировать аналогичные теоремы существования и единственности, но они имеют более сложный характер.