Что происходит с диполем в однородном электрическом поле

Kvant. Электрический диполь

В большинстве своем нас окружают электрически нейтральные тела. Однако утверждать, что они не принимают никакого участия в электрических взаимодействиях, было бы неправильно. Достаточно вспомнить, например, что два заряда, помещенные в какой-нибудь диэлектрик, взаимодействуют слабее, чем в вакууме. Причиной тому — молекулы диэлектрика. Хотя диэлектрик состоит из нейтральных молекул, они способны создать собственное электрическое поле, которое и ослабляет электрическое взаимодействие зарядов.

Рассмотрим простейший пример электрически нейтральной системы — электрический диполь. Так называют совокупность двух равных по модулю, но противоположных по знаку точечных электрических зарядов ±q, находящихся на некотором расстоянии l друг от друга (рис. 1).

Поле диполя

Электрическое поле диполя можно найти в любой интересующей нас точке, опираясь на принцип суперпозиции («Физика 9», § 42). Сделаем это, например, для точки А (рис. 2).

Напряженность поля в этой точке равна векторной сумме напряженностей, создаваемых точечными зарядами +q и —q:

\vec E = \vec E_+ + \vec E_-\) ,

где r — расстояние от середины диполя до точки А.

На больших расстояниях, когда r >> l получаем

где р = ql называется электрическим моментом диполя. Говоря точнее, ql — это модуль дипольного электрического момента \(

\vec p\), а направлен этот вектор от отрицательного заряда к положительному. Электрический момент — основная характеристика диполя. В данном случае он определяет электрическое поле диполя на больших расстояниях от него.

Как видно из последнего выражения, вдали от диполя напряженность поля убывает с расстоянием как \(

\frac\), то есть быстрее, чем поле точечного заряда (пропорциональное \(

\frac\)). Это справедливо не только для точек, которые лежат на линии, проходящей через заряды +q и —q, но и для любых других точек, достаточно удаленных от диполя.

Диполь в электрическом поле

Посмотрим, как ведет себя диполь, попав во внешнее электрическое поле. Сначала — в однородное поле с напряженностью \(

На заряды диполя действуют равные по модулю, но противоположные по направлению силы \(

-q \vec E\), которые стремятся развернуть диполь. Относительно оси, проходящей через центр диполя (точку О) и перпендикулярной плоскости чертежа, каждая сила создает вращающий момент, равный произведению модуля силы на соответствующее плечо (см. рис. 3)\[

qE \cdot \frac\sin \alpha\].

Суммарный вращающий момент будет равен

M = 2 qE \cdot \frac\sin \alpha = qlE \sin \alpha = p \cdot E \sin \alpha\) .

Таким образом, при заданных значениях Е и α вращающий момент М определяется величиной дипольного момента р.

Под действием вращающего момента диполь будет поворачиваться, пока не займет положение, изображенное на рисунке 3 штриховой линией. В этом положении равны нулю как сумма сил, так и сумма моментов сил, действующих на диполь. Это означает, что диполь находится в равновесии. При этом вектор электрического момента диполя сонаправлен с вектором напряженности поля.

Следовательно, в однородном внешнем электрическом поле диполь поворачивается и располагается так, чтобы его дипольный момент был ориентирован по полю. Заметим, что такое положение является положением его устойчивого равновесия.

Пусть теперь диполь находится в неоднородном внешнем поле. Разумеется, и здесь возникает вращающий момент, разворачивающий диполь вдоль поля (рис. 4). Но в этом случае на заряды действуют неодинаковые но модулю силы, равнодействующая которых отлична от нуля. Поэтому диполь будет еще и перемещаться поступательно, втягиваясь в область более сильного поля (убедитесь в этом самостоятельно).

Диполи в природе

Молекулы многих веществ похожи на электрические диполи — равные по модулю положительные и отрицательные заряды в них разделены в пространстве. Примерами таких дипольных молекул могут служить, скажем, молекулы соляной кислоты НСl, состоящие из положительных ионов водорода (Н + ) и отрицательных ионов хлора (Сl — ). Молекулы самого распространенного на земле вещества — воды Н₂О состоят из двух положительных ионов водорода и одного отрицательного иона кислорода (рис. 5). Хотя это системы не двух, а трех зарядов, но ведут себя они как электрические диполи — центр положительного заряда находится на некотором расстоянии от центра отрицательного заряда, а суммарный положительный заряд равен но модулю суммарному отрицательному заряду.

Есть также вещества, у которых молекулы в обычных условиях диполями не являются, поскольку центры положительных и отрицательных зарядов в них совпадают. Но во внешнем электрическом поле заряды противоположных знаков несколько смещаются относительно друг друга и молекулы становятся электрическими диполями.

Заметим, что именно благодаря существованию диполей происходит такое важное физическое явление, как поляризация диэлектриков («Физика 9», § 47). Интересно, что весь поляризованный диэлектрик ведет себя подобно диполю. Движение такого «диполя» в неоднородном электрическом поле было исторически первым замеченным людьми электрическим явлением (вспомните притяжение наэлектризованным телом легких предметов).

Диполь в поле и поле диполя

Основные вопросы электростатики: Какое поле создаёт данное распределение зарядов и какая сила действует на эти заряды во внешнем поле? Относительно точечного заряда эти вопросы решаются известными всем формулами школьного курса. Следующий важный и простой объект электростатики – это, конечно, диполь. Диполь – это два разноимённых, равных по величине точечных заряда, расположенных на фиксированном расстоянии l друг от друга. Диполь характеризуется дипольным моментом p = qL (1)
где l – вектор, направленный от отрицательного заряда к положительному.
Интерес к диполю связан, в частности, с тем, что молекулы многих веществ обладают дипольным моментом, а кроме того, молекулы всех веществ приобретают дипольный момент во внешнем электрическом поле. И макроскопические тела (как проводящие, так и не проводящие ток) во внешнем поле поляризуются, т.е. приобретают дипольный момент. Важнейшие приложения представленных здесь результатов – это поля в диэлектрике.
Поставим самые напрашивающиеся вопросы в заявленной теме и попытаемся их разрешить. Никакой особой математики, выходящей за рамки школьного курса, нам не понадобится.
Производную от функции Ф(х) будем обозначать dФ/dх. Для удобства записи некоторых результатов мы будем использовать скалярное произведение векторов.
Напомним, что a · b = a · b · cos α, где α – угол между векторами. Размерную константу в законе Кулона мы обозначаем

Диполь в поле (простые задачи)
1 . Какие силы действуют на диполь в однородном электрическом поле?
Пусть диполь p находится в поле напряжённостью E , пусть вектор дипольного момента составляет угол α с вектором напряжённости поля. Легко видеть, что на диполь в этом случае действует пара сил с моментом
М = qElsin α = pEsin α, которая стремится ориентировать диполь вдоль силовых линий поля. Так что если диполь может вращаться, то он сориентируется указанным образом. Заметим, что у диполя есть и другое положение равновесия, когда он сориентирован противоположным образом, но это положение неустойчиво.
2 . Какова энергия диполя в однородном поле?
Как всегда, в задачах, где речь идёт о потенциальной энергии, надо сначала условиться, откуда мы будем эту энергию отсчитывать. Пусть мы отсчитываем её от указанного выше равновесного положения. Тогда энергия – это работа, которую совершат силы поля при вращении диполя вокруг своего центра от исходного положения, характеризуемого углом α (см. рис. к п. 1), до равновесного. Напомним, что работа связана только с перемещением заряда вдоль направления E . Заряды диполя при таком вращении сместятся вдоль линий поля (в разные стороны) на l (1– cos α)/2. Поэтому искомая энергия W = qEl (1 – cos α) = pE (1 – cos α).
Но чаще в учебниках по электричеству предпочитают в этой задаче полагать, что W = 0 в том положении диполя, когда вектор p перпендикулярен E . В этом случае
W = –qEl cos α = –pE .
Высказанное в конце п. 1 утверждение можно теперь сформулировать и иначе: диполь стремится занять теперь положение с минимальной энергией. Так, дипольные молекулы диэлектрика во внешнем поле стремятся все сориентироваться указанным образом (а тепловое движение мешает им в этом).
3 . Теперь пусть диполь, сориентированный вдоль линий поля, находится в неоднородном поле. Тогда, как легко видеть, на него вдоль линий поля действует сила, направленная в сторону увеличения величины поля:
(индексы «+» и «–» помечают тот заряд диполя, к которому относится соответствующая физическая величина). Именно эта сила объясняет самый простой опыт, в котором заряженное тело (независимо от знака заряда) притягивает мелкие кусочки бумаги.

Поле диполя
4 . Прежде чем заняться расчётом поля диполя, остановимся на общих моментах. Пусть, например, нас интересует гравитационное поле какого-то астероида неправильной формы. Поле в непосредственной близости от астероида можно получить только путём компьютерного расчёта. Но, чем дальше мы отходим от астероида, тем с большей точностью мы можем рассматривать его как материальную точку (поле которой мы знаем). При стремлении к большей математической строгости надо было сказать, что мы знаем асимптотическое поведение поля при
С похожей ситуацией мы сталкиваемся и в электростатическом поле. Электростатическое поле по своим свойствам очень похоже на гравитационное (потому что аналогичны фундаментальные законы: закон Кулона и закон всемирного тяготения), но, если так можно сказать, «богаче» его. Ведь электрические заряды могут быть двух типов, между ними возможно и притяжение, и отталкивание, а между «гравитационными зарядами» (т.е. массами) возможно только притяжение.
Будем считать, что в какой-то ограниченной области распределены положительные и отрицательные точечные заряды q₁, q₂, … , q_n. Полный заряд системы
(2)
Мы уже понимаем, что при Q ≠ 0 поле при больших r переходит в поле точечного заряда Q. Но возникает очень важный для нас вопрос: каким будет поле на больших расстояниях, если полный заряд
Q = 0? Самое простое распределение точечных зарядов с Q = 0 – это и есть диполь. Вот почему изучение поля диполя несёт в себе важные принципиальные моменты.
Итак, нас будут в основном интересовать такие ситуации, когда все характерные размеры r весьма велики по сравнению с расстоянием l между зарядами диполя. Эту ситуацию можно описать двояко. Во-первых, мы можем всегда иметь в виду, что заряды расположены на конечном расстоянии l друг от друга, и интересоваться поведением полученных решений при Но можно и п росто говорить о точечном диполе с определённым дипольным моментом p , тогда все наши результаты справедливы при любом r > 0 (две эти точки зрения, конечно, эквивалентны).
Мы будем использовать известные всем формулы для полей точечных зарядов и в полученных выражениях учитывать, что l мало. Поэтому напомним формулы приближённых вычислений: если , то
Везде в выкладках знак «≈» будет указывать на то, что мы воспользовались этими формулами в случае малого параметра (малый параметр в рассматриваемых задачах – это l/r).
5 . Качественная картинка силовых линий поля диполя хорошо известна, приводится во многих учебниках, и мы не будем её здесь приводить. Хотя и расчёт поля в произвольной точке несложен, мы всё же ограничимся расчётом потенциала и напряжённости вдоль двух выделенных направлений. Совместим начало системы координат с центром диполя, ось х направим вдоль вектора p, а ось Y – перпендикулярно (при этом заряды диполя отстоят от начала координат на расстояние ). Будем считать, что в бесконечно удалённой точке
6. Рассчитаем напряжённость поля диполя на оси Y.
По принципу суперпозиции, E = E₊ + E_–, где E₊ и E_– – векторы напряжённости полей отдельных зарядов. Из подобия треугольников:
что можно записать как
Теперь скажем о ходе потенциала вдоль оси Y. По­скольку в любой точке оси Y вектор E перпендикулярен оси, то при перемещении какого-то заряда вдоль этой оси поле диполя никакой работы не совершает, и следовательно, в любой точке этой оси
7 . Вычислим потенциал j поля в произвольной точке оси х. По принципу суперпозиции, он равен сумме потенциалов и созданных положительным и отрицательным зарядами.
Пусть х > 0, тогда:
(3)
(выражение для (х) для х < 0 будет c другим знаком).
Из симметрии задачи ясно, что на оси х вектор напряжённости поля E имеет только составляющую Е_х. Её можно вычислить, исходя из известной формулы, связывающей напряжённость поля и потенциал:
(4)
но в школьном курсе формулу (4) обычно обходят стороной, поэтому вычислим Ех непосредственно: или

Итак, при удалении от диполя по оси х или по оси y поле спадает как r –3 . Можно доказать, что так же ведёт себя поле по любому направлению.
Выражение для потенциала в произвольной точке приведём без вывода: (т.е. при удалении

по любому направлению, кроме оси Y, потенциал спадает как r –2 ). Убедитесь, что в частных случаях эта формула приводит к уже известным нам результатам.
8. Отступление. Вспомним, что у бесконечной равномерно заряженной плоскости напряжённость поля не зависит от расстояния от плоскости (или, если угодно, спадает как r 0 ). У точечного заряда – убывает как r –2 . У диполя, как мы выяснили, убывает на бесконечности как r –3 . Попробуйте догадаться, у какого распределения зарядов напряжённость поля убывает как r –1 ; r –4 .

Взаимодействие диполя с другими зарядами
9. Теперь рассмотрим взаимодействие диполя и точечного заряда q′ (пусть q′ > 0). Рисунок в значительной степени повторяет рисунок в п. 5. Там мы рассчитали напряжённость поля диполя и, следовательно, уже знаем, какая сила действует на точечный заряд. Заметим, что это взаимодействие являет нам простейший пример нецентральных сил (вспомните, где в школьном курсе встречаются нецентральные силы между частицами).
Но ещё остались вопросы: какая сила действует на диполь? где она приложена? Можно ответить на эти вопросы сразу, без раздумий. Искомая сила F , по третьему закону Ньютона, должна быть равна – F ′ и должна быть приложена на одной прямой с F ′ . Быть может, кого-то удивит, что равнодействующая двух сил, действующих на заряды +q и –q диполя, оказалась приложена где-то в стороне от диполя. Что это значит? Ничего не значит. А что значит, что равнодействующая сил тяжести, действующих на бублик, приложена в центре дырки? Равнодействующая двух сил никакого особого смысла не имеет, она просто во всех отношениях заменяет несколько (или даже бесчисленное множество) сил в фундаментальных уравнениях механики. (Объективности ради отметим, что есть весьма известные авторы, для которых такая точка зрения неприемлема. Они предпочитают говорить, что на диполь со стороны точечного заряда действует сила, приложенная к самому диполю, и ещё момент сил).
10 . Найдите силу и энергию взаимодействия двух диполей, у которых векторы р₁ и р₂ лежат на одной прямой. Расстояние между диполями x.
Сосчитаем суммарную энергию зарядов второго диполя в поле первого (см. п. 7):

Ясно, что диполи, обращённые друг к другу разноимёнными полюсами (как на рисунке), притягиваются (этому соответствует знак «–» в выражении для W), при перевороте одного из диполей энергия сменит знак.
Не будем больше воспроизводить довольно однообразные выкладки и сразу выпишем выражение для величины силы взаимодействия этих диполей (проверьте!):
11. Найдите энергию взаимодействия двух диполей, у которых р 1 лежит на прямой, соединяющей диполи, а р 2 перпендикулярен к ней. Расстояние между диполями x. (Проверьте себя – ответ очевиден.)
12 . Найдите энергию взаимодействия двух диполей, у которых векторы р 1 и р 2 параллельны друг другу и оба перпендикулярны оси х, на которой расположены диполи.

Дополнительные замечания
13. Итак, диполь являет нам простейший пример системы зарядов с полным зарядом Q = 0. Как мы видели, потенциал поля диполя на больших расстояниях от него убывает как r –2 . Нельзя ли обобщить этот результат на более общий случай?
Можно обобщить понятие дипольного момента так, чтобы оно характеризовало любое распределение зарядов. В частности, для системы n точечных зарядов дипольный момент определяют так:
. (5)

Легко видеть, что эта величина аддитивна. Можно доказать, что Р при Q = 0 не зависит от выбора начала отсчёта. Убедитесь, что в частном случае эта формула переходит в (1).
Сосчитайте дипольный момент Р ряда простых распределений зарядов (во всех случаях расстояние между ближайшими зарядами l ).
Можно было бы вести речь и о непрерывных распределениях зарядов, но тогда вместо сумм в (2) и (5) пришлось бы писать интегралы по объёму.
Полученные выше результаты подсказывают нам, в чём значение дипольного момента. И действительно, можно в общем случае доказать, что чем дальше мы отойдём от произвольной системы зарядов с полным зарядом Q = 0 и дипольным моментом Р ≠ 0, тем её поле будет ближе к рассмотренному нами полю элементарного диполя с дипольным моментом Р .
Можно было бы пойти по этому пути дальше и рассмотреть поле системы зарядов с Q = 0 и P = 0. Один из самых простых примеров такой системы представлен на рис. а – это так называемый квадруполь. Потенциал поля квадруполя убывает на бесконечности как r –3 .
Ряд «точечный заряд – диполь – квадруполь. » можно продолжать и далее. Общее название таких объектов мультиполь. Но мы на этом остановимся.

14. При помещении атома в электрическое поле силы, приложенные к ядру и к электронной оболочке, направлены в разные стороны. Под действием этих сил атом приобретает дипольный момент Р , совпадающий по направлению с направлением напряжённости внешнего поля Е 0.
Конечно, молекулы тоже приобретают во внешнем поле дипольный момент (но для них, вообще говоря, несправедливо предыдущее утверждение о направлении вектора Р ).
Но многие молекулы имеют дипольные моменты и в отсутствие внешнего поля. Причём эти собственные дипольные моменты обычно намного превышают наведённые моменты (если говорить об обычных, достижимых в лаборатории полях). Для множества процессов в природе (в частности, для существования жизни) чрезвычайно важно, что у молекулы воды есть дипольный момент.
«Трудно вообразить, на что был бы похож мир, если бы атомы в молекуле Н₂О были расположены по прямой линии, как в молекуле СО₂; вероятно, наблюдать это было бы некому» ( Э.Парселл . Электричество и магнетизм. – М., 1975).

Ответы
К п. 8 . Система зарядов, у которой напряжённость поля убывает на бесконечности как r –1 , – это бесконечная равномерно заряженная нить.
К п. 11 . При перемещении первого диполя вдоль оси х на его заряды действуют со стороны второго диполя силы, перпендикулярные этой оси, т.е. никакая работа при этом не совершается, значит, W = 0.
К п. 12 . Для упрощения расчёта надо удачно выбрать способ перевода одного из диполей из бесконечности в интересующее нас состояние. Удобно сначала перемещать его вдоль оси х, ориентировав его вектор дипольного момента вдоль оси (при этом работа сил взаимодействия диполей равна нулю), а потом повернуть его на 90°. При повороте второго диполя внешние силы должны совершить работу (см. п. 2) . Это и есть энергия взаимодействия диполей.
К п. 13 . Дипольные моменты равны: а) 0 ; б) 2 qlj ;
в) 0; г) –3qli (здесь i и j – единичные векторы в направлениях осей X и Y соответственно).

Электрический диполь. Дипольный момент. Поведение диполя в электрическом и магнитном полях.

Электрический диполь — это система двух равных по величине и противоположных по знаку точечных электрических зарядов, расположенных на некотором расстоянии друг от друга (плечо диполя).

Дипольный момент (электрический момент) – основная характеристика электрического диполя, представляет собой вектор, равный произведению заряда (q) на плечо диполя (l), направленный от отрицательного заряда к положительному: p=ql, [кулон-метр].

Поместим диполь в однородное электрическое поле напряжённостью Е. На каждый из зарядов диполя действуют силы F₊=qE и F_—= -qE; эти силы противоположно направленны и создают момент пары сил. M=qEsin />= pEsin />или в векторном виде M=pE.

Таким образом, на диполь в однородном электрическом поле действует вращающий момент, зависящий от электрического момента, ориентации диполя в поле и напряжённости поля.

При помещении диполя в неоднородное электрическое поле (к примеру диполь расположен вдоль силовой линии), на него будет действовать сила, зависящая от его электрического момента и степени неоднородности поля dE/dz. Если диполь ориентирован в неоднородном электрическом поле не вдоль силовой линии, то на него дополнительно действует ещё и вращающий момент. Так что свободный диполь практически всегда втягивается в область больших значений напряжённости поля.

При попадании магнитного диполя в магнитное поле его поведение аналогично поведению электрического диполя с электрическим полем, только при расчётах вводят магнитный момент и вектор магнитной индукции .

=

Потенциальная энергия постоянного магнитного диполя U= .

12.Диэлектрики. Поляризация диэлектриков. Диэликтрическая проницаемость среды.

Диэлектрики – это тела, которые не проводят электрического тока. Этот термин введен Фарадеем для обозначения веществ, через которые проникают электрические поля, в отличие от металлов, внутри которых электростатического поля нет. К диэлектрикам относятся твердые тела (эбонит, фарфор), жидкости (дистиллированная вода), газы.

При изменении внешних условий (нагревание, воздействие ионизирующих излучений) диэлектрик может проводит электрический ток. Изменение состояния диэлектрика в электрическом поле можно объяснить его молекулярным строением.

Диэлектрики:

— полярные (вода, нитробензол). Молекулы этих диэлектриков не симметричны, «центры масс» их положительных и отрицательных зарядов не совпадают, поэтому такие молекулы обладают электрическим дипольным моментом даже в случаях, когда эл. поля нет. Если диэлектрик поместить в эл. поле, то дипольные моменты молекул стремятся ориентироваться вдоль поля, однако полной ориентации не будет из-за молекулярно-теплового хаотического движения (ориентационная поляризация).

— неполярные(водород, кислород), молекулы которых в отсутствие эл. поля не имеют дипольных моментов. В таких молекулах заряда электронов и ядер расположены так, что «центры масс» положительных и отрицательных совпадают. Если неполярную молекулу поместить в эл. поле, то разноименные заряды несколько сместятся в противоположные стороны и молекула будет иметь дипольный момент (электронная поляризация).

— кристаллические (NaCl), решетка которых состоит из «+» и «-» ионов. Такой диэлектрик можно рассматривать как совокупность двух «подрешеток», одна из которых заряжена «+», другая- отрицательно. Если диэлектрик поместить в эл. поле, то подрешетки немного сместятся в противоположные стороны и диэлектрик приобретет эл. момент (ионная поляризация).

Все процессы, происходящие в разных диэлектриках при наложении эл. поля, объединяют общим термином — поляризация, то есть, приобретение диэлектриком дипольного момента.

Изменение напряженности эл. поля, в котором находится диэлектрик, будет влиять на состояние его поляризации. Для оценки состояния поляризации диэлектрика вводят величину, называемую поляризованностью, среднее значение которой равно отношению суммарного электрического момента, элемента объема диэлектрика к этому объему. (измеряется в кулонах на квадратный метр)

При отсутствии электрического поля дипольные моменты молекул ориентированы хаотически, и векторная сумма моментов всех n молекул равна нуль.

Диэлектрическая проницаемость среды ( ) – величина показывающая, во сколько раз поле внутри диэлектрика меньше внешнего поля в вакууме. Равна отношению силы взаимодействия зарядов в вакууме к силе взаимодействия этих же зарядов на том же расстоянии в среде: F_o/F= , или F_o= F.

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ДИПОЛЬ. ДИПОЛЬ В ОДНОРОДНОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ

Электрический диполь — это система из двух одинаковых по величине и противоположных по знаку зарядов, находящихся на расстоянии / друг от друга.

Основной характеристикой диполя является дипольный момент, который по определению равен р = q, где р — дипольный момент; q — величина положительного заряда диполя; 1 — плечо диполя (вектор, соединяющий заряды и направленный от отрицательного заряда к положительному). В СИ дипольный момент измеряется в кулон-метрах (Кл м).

Как следует из определения, дипольный момент есть векторная величина, прямо пропорциональная величине зарядов диполя и расстоянию между ними. Дипольный момент направлен так же, как и плечо диполя — от отрицательного заряда к положительному.

Если поместить диполь в однородное электрическое поле напряжённостью Е, то на заряды диполя действуют одинаковые по величине и противоположные по направлению СИЛЫ I F₊ | = | F_ I = qE.

Векторная сумма этих сил равна нулю, поэтому диполь не будет двигаться поступательно. Эти силы создают момент пары сил, который стремится повернуть диполь так, чтобы дипольный момент был параллелен силовым линиям.