Как найти точку перегиба графика функции в excel

REDMOND

Интервалы выпуклости и вогнутости графика функции

Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба

Определение : Кривая y=f(x) называется выпуклой вверх в промежутке (a; b), если она лежит ниже касательной в любой точке этого промежутка.

Определение : Промежутки, в которых график функции обращен выпуклостью вверх или вниз, называются промежутками выпуклости графика функции.

Выпуклость вниз или вверх кривой, являющейся графиком функции y=f(x) , характеризуется знаком ее второй производной: если в некотором промежутке f’’(x) > 0, то кривая выпукла вниз на этом промежутке; если же f’’(x) Определение: Точка графика функции y=f(x) , разделяющая промежутки выпуклости противоположных направлений этого графика, называется точкой перегиба.

Точками перегиба могут служить только критические точки II рода, т.е. точки, принадлежащие области определения функции y = f(x) , в которых вторая производная f’’(x) обращается в нуль или терпит разрыв.

Правило нахождения точек перегиба графика функции y = f(x)

  1. Найти вторую производную f’’(x) .
  2. Найти критические точки II рода функции y=f(x) , т.е. точки, в которой f’’(x) обращается в нуль или терпит разрыв.
  3. Исследовать знак второй производной f’’(x) в промежутка, на которые найденные критические точки делят область определения функции f(x) . Если при этом критическая точка x0 разделяет промежутки выпуклости противоположных направлений, то x0 является абсциссой точки перегиба графика функции.
  4. Вычислить значения функции в точках перегиба.

Пример 1 . Найти промежутки выпуклости и точки перегиба следующей кривой: f(x) = 6x 2 –x 3 .
Решение: Находим f ‘(x) = 12x – 3x 2 , f ‘’(x) = 12 – 6x.
Найдем критические точки по второй производной, решив уравнение 12-6x=0 . x=2 .

f(2) = 6*2 2 – 2 3 = 16
Ответ: Функция выпукла вверх при x∈(2; +∞) ; функция выпукла вниз при x∈(-∞; 2) ; точка перегиба (2;16) .

Пример 2 . Имеет ли точки перегиба функция: f(x)=x 3 -6x 2 +2x-1

Пример 3 . Найти промежутки, на которых график функции является выпуклым и выгнутым: f(x)=x 3 -6x 2 +12x+4

Точки перегиба графика функции

В задачах на исследование функции в одном из пунктов предлагается найти точки перегиба графика функции. Как это решить? Необходимо понимать, что такое точка перегиба по определению и её признаки.

Точка перегиба функции — это точка, в которой график функции изменяет свою выпуклость или вогнутость

Как найти?

  1. Найти вторую производную функции $ y»(x) $
  2. Найти точки $ x_0 $, в которых вторая производная равна нулю, имеет разрыв, или не существует
  3. Исследовать каждую найденную точку $ x_0 $ на перегиб, с помощью третьей производной $ y»'(x) $

Как проверить является ли найденная точка $ x_0 $ перегибом? Необходимо найти третью производную $ y»'(x) %$$. Если $ y»'(x_0) $ ≠ $ 0 $, то исследуемая точка — это точка перегиба.

REDMOND

Примеры решений

Найдем первую производную, заданной функции:

$$ y’ = (2x^4 — 6x^2 + 1)’ = 8x^3 — 12x $$

Теперь получим вторую производную:

$$ y» = (y’)’ = (8x^3 — 12x)’ = 24x^2 — 12 $$

Приравниваем к нулю $ y» = 0 $ и решаем уравнение:

Найдем третью производную и вычислим её значения в точках $ x_1 $ и $ x_2 $:

Так как $ y»'(x_1) $ и $ y»'(x_2) $ не равны нулю, то точки $ x_1 $ и $ x_2 $ соответственно точки перегиба функции.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Найдем производные до третьего порядка фунции, указанной в условии к задаче:

$$ y'(x) = (\cos x)’ = — \sin x $$ $$ y»(x) = (-\sin x)’ = -cos x $$ $$ y»'(x) = (-cos x)’ = sin x $$

Вычислим значения $ y»(x_0) \text < и >y»'(x_0) $:

Так как $ y»(\frac<\pi><2>) = 0 $, а $ y»'(\frac<\pi><2>) \neq 0 $, то делаем вывод, что точка $ x_0 = \frac<\pi> <2>$ является точкой перегиба для функции $ y = \cos x $

REDMOND

Ссылка на основную публикацию