Как найти индукцию магнитного поля

Формула индукции магнитного поля

Векторной характеристикой магнитного поля является вектор магнитной индукции. Его обозначают как: $\overline{B}$ .

Направлением вектора магнитной индукции считают направление на север магнитной стрелки, которая может свободно вращаться в магнитном поле. Такое же направление имеет положительная нормаль к замкнутому контуру, по которому течет ток. Положительная нормаль имеет направление, совпадающее с направлением перемещения правого винта (буравчика), если его вращают по направлению тока в контуре.

Модуль вектора магнитной индукции можно установить, используя силу, которая действует на проводники с током, помещенные в магнитное поле (силу Ампера). Тогда модуль вектора $\overline{B}$ равен частному от деления максимальной силы ( $F_{max}$ ), с которой магнитное поле оказывает воздействие на отрезок проводника с током (I) к произведению силы тока на длину проводника ( $\Delta l$ ):

$B=\frac{F_{max}}{I\Delta l} \qquad(1)$

Рассматривая силу Лоренца, которая действует на заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле, получают формулу для магнитной индукции в виде:

$B=\frac{F_L}{qv\sin \alpha \ } } \qquad(2)$

где – модуль силы Лоренца; q – заряд частицы, движущейся со скоростью v в магнитном поле; $\alpha$ – это угол между векторами $\overline{v}$ и $\overline{B}$ . Направления ${\overline{F}}_L$ , векторов $\overline{v}$ и $\overline{B}$ связаны между собой правилом левой руки.

Формулой, которая определяет величину вектора магнитной индукции в данной точке магнитного поля, считают так же следующее выражение:

$B=\frac{M_{max}}{p_m} \qquad(3)$

где $M_{max}$ – максимальный вращающий момент, действующий на рамку, которая обладает магнитным моментом , равным единице, если нормаль к рамке перпендикулярна направлению поля. Вращающий момент (M), действующий на контур с током I в однородном магнитном поле можно вычислить как:

$M=BIS{\sin \alpha } \qquad(4)$

где S – площадь, которую обтекает ток I. Следует помнить, что максимальный вращающий момент получается тогда, когда плоскость контура параллельна линиям магнитной индукции поля ( ${\sin \alpha } =1$ ).

Принцип суперпозиции магнитных полей

Если магнитное поле получается в результат наложения нескольких магнитных полей то, магнитная индукция поля ( $\overline{B}$ ), может быть найдена как векторная сумма магнитных индукций отдельных полей ( ${\overline{B}}_i$ ):

$\overline{B}=\sum^N_{i=1}{{\overline{B}}_i}\ \qquad(5)$

Закон Био-Савара-Лапласа, как формула для вычисления величины индукции магнитного поля

Закон Био-Савара – Лапласа является одним из распространенных законов, который позволяет вычислить вектор магнитной индукции ( $d\overline{B}$ ) в любой точке магнитного поля, создаваемого в вакууме элементарным проводником с током:

$d\overline{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{I}{r^3}\left[d\overline{l}\overline{r}\right]\ \qquad(6)$

где I – сила тока; $d\overline{l}$ – вектор элементарный проводник по модулю он равен длине проводника, при этом его направление совпадает с направлением течения тока; $\overline{r}$ – радиус-вектор, который проводят от элементарного проводника к точке, в которой находят поле; ${\mu }_0=4\pi \cdot {10}^{-7}\frac{Гн}{м}$ – магнитная постоянная. Вектор $d\overline{B}$ является перпендикулярным к плоскости, в которой расположены $d\overline{l}$ и $\overline{r}$ , конкретное направление вектора магнитной индукции определяют при помощи правила буравчика (правого винта).

Для однородного и изотропного магнетика, заполняющего пространство, вектор магнитной индукции в вакууме( ${\overline{B}}_0)$ и в веществе ( $\overline{B}$ ), при одинаковых условиях, связывает формула:

$\overline{B}=\mu {\overline{B}}_0\ \qquad(7)$

где $\mu$ – относительная магнитная проницаемость вещества.

Частные случаи формул для вычисления модуля вектора магнитной индукции

Формула для вычисления модуля вектора индукции в центре кругового витка с током (I):

$B=\frac{{\mu }_0\mu }{2}\frac{I}{R} \qquad(8)$

где R – радиус витка.

Модуль вектора магнитной индукции поля, которое создает бесконечно длинный прямой проводник с током:

$B=\frac{{\mu }_0\mu }{2\pi }\frac{I}{r} \qquad(9)$

где r – расстояние от оси проводника до точки, в которой рассматривается поле.

В средней части соленоида магнитная индукция поля вычисляется при помощи формулы:

$B={\mu }_0\mu nI\ \left(10\right)$

где n – количество витков соленоида на единицу длины; I – сила тока в витке.

Примеры решения задач по теме «Индукция магнитного поля»

Задание

Какой максимальный вращающий момент может действовать на катушку с током в 2 А? Если магнитное поле в котором находится катушка является однородным

Тл. Катушка плоская и прямоугольная, имеет N=200 витков. Стороны витков

м и

м.

Решение

В качестве основы для решения задачи используем формулу, которая определяет, что максимальный вращающий момент ( $M_{max}$ ), действующий на контур с током I в однородном магнитном поле можно вычислить как:

$M_{max}=BIS \qquad(1.1)$

Так как у нас имеется катушка с N витками, формулу (1.1) преобразуем к виду:

${M'}_{max}=NBIS=NBIab \qquad(1.2)$

где $S=a\cdot b$ .

Вычислим ${M'}_{max}$ :

${M'}_{max}=200\cdot 0,05\cdot 2\cdot 0,1\cdot 0,05=0,1\ \left(H\cdot m\right)$

Задание

Какой должна быть величина индукции магнитного поля (B) для того, чтобы сила Ампера могла уравновесить силу тяжести проводника, находящегося в магнитном поле горизонтально? Масса проводника m, длина

сила тока, текущая по проводнику

Покажите на рисунке как должно быть направлен вектор магнитного поля ( $\overline{B}$ )?

Решение

Сделаем рисунок.

Определим для начала направление вектора индукции магнитного поля. Для этого следует использовать правило левой руки в определении направлений связывающих векторы силу Ампера, вектор магнитной индукции и направление течения тока. Оттолкнемся от того, что сила Ампера должна быть направлена по одной прямой с силой тяжести и быть противоположно ей направленной для того, чтобы стержень был в равновесии. Отогнутый на $90^\circ$ большой палец по силе Ампера (рис.1), четыре пальца по току, линии поля входят в ладонь. Получается, что вектор индукции будет перпендикулярен плоскости рисунка и направлен от нас.

Индукция магнитного поля. Магнитная индукция.

Магнитная индукция () — это векторная физическая величина, характеризующий магнитное поле. За направление вектора магнитной индукции Индукция магнитного поля Магнитная индукция принимается:

1. направление от южного полюса S к северному полюсу N магнитной стрелки, свободно устанавливающейся в магнитном поле, или

Индукция магнитного поля Магнитная индукция

2. направление положительной нормали к замкнутому контуру с током на гибком подвесе, свободно устанавливающемся в магнитном поле. Положительной считается нормаль, направленная в сторону перемещения острия буравчика (с правой нарезкой), рукоятку которого вращают по направлению тока в рамке.

Ясно, что направления 1) и 2) совпадают, что было установлено еще опытами Ампера.

Индукция магнитного поля Магнитная индукция

Что касается величины магнитной индукции (т. е. ее модуля) В, которая могла бы характеризовать силу действия поля, то экспериментами было установлено, что максимальная сила F, с которой ноле действует на проводник с током (помещенный перпендикулярно линиям индукции магнитного поля), зависит от силы тока I в проводнике и от его длины Δl (пропорциональна им). Однако сила, действующая на элемент тока (единичной длины и силы тока), зависит только от самого поля, т. е. отношение для данного поля является величиной постоянной (аналогично отношению силы к заряду для электрического поля). Эту величину и определяют как магнитную индукцию:

Индукция магнитного поля Магнитная индукция

Индукция магнитного поля в данной точке равна отношению максимальной силы, действующей на проводник с током, к длине проводника и силе тока в проводнике, помещенном в эту точку.

Чем больше магнитная индукция в данной точке поля, тем с большей силой будет действовать поле в этой точке на магнитную стрелку или движущийся электрический заряд.

Индукция магнитного поля Магнитная индукция

Единицей магнитной индукции в СИ является тесла (Тл), названная в честь хорватского электротехника Николы Теслы. Как видно из формулы, .

Индукция магнитного поля

Проводник с электрическим током всегда порождает магнитное поле. Для его описания используются различные величины, одной из которых является индукция. Рассмотрим это понятие подробнее.

Индукция магнитного поля

Обнаружить магнитное поле можно по действию на движущиеся заряды или на проводник с током. При этом можно видеть, что направление возникающей силы зависит от направления электрического тока.

Взаимодействие двух проводников с током

Рис. 1. Взаимодействие двух проводников с током.

Таким образом, можно ввести силовую характеристику магнитного поля – векторную величину индукции магнитного поля $\overrightarrow B$. Модуль этой величины будет характеризовать силу, с которой магнитное поле действует на ток (интенсивность), а векторный характер – направление.

Направление магнитной индукции

Магнитные силы, как и любые другие силы, имеют направление. Для его определения служат специальные правила.

Правило буравчика

Согласно этому правилу, если направление поступательного движения острия буравчика при ввинчивании совпадает с направлением тока в проводнике, то направление вращательного движения буравчика в каждой точке совпадает с направлением вектора индукции магнитного поля.

Правило буравчика

Рис. 2. Правило буравчика.

Правило обхвата правой рукой

Приведенное правило зачастую недостаточно понятно из-за того, что буравчик в современном мире используется нечасто. Поэтому гораздо удобнее применять правило охвата правой рукой: если большой палец правой руки указывает направление тока, то остальные пальцы будут показывать направление магнитных линий.

Данное правило удобнее еще и потому, что его можно применять и для определения направления магнитной индукции катушки с током, в этом случае четыре пальца направляются вдоль витков катушки, в направлении тока в них, а большой палец укажет направление вектора магнитной индукции. То есть, большой палец в обоих случаях указывает на прямую линию, а остальные пальцы – на охватывающую.

Правило обхвата правой рукой

Рис. 3. Правило обхвата правой рукой.

Модуль магнитной индукции

Закон, определяющий силу, с которой магнитное поле действует на проводник с током, был открыт А.Ампером. Согласно этому закону, сила, действующая на проводник, пропорциональна силе тока в проводнике, его длине и модулю магнитной индукции:

Максимальная сила соответствует перпендикулярному расположению линий магнитной индукции и тока. Зная эту силу, можно получить формулу индукции магнитного поля:

Из этой же формулы можно получить единицу измерения магнитной индукции – Тесла:

то есть, индукция силой 1 тесла – эта индукция, которая действует на проводник с силой тока 1 Ампер длинной 1 метр с силой 1 Ньютон.

1 Тл – это очень сильное магнитное поле. Обычное магнитное поле Земли имеет значение около 0,05 мТл. Индукция поля бытового магнита из защелок составляет около 5 мТл. Самое сильное магнитное поле, с которым может столкнуться обычный человек – это сила поля МРТ-томографа. Здесь значение индукции может доходить до 3 Тл !

Что мы узнали?

Индукция магнитного поля – это векторная величина, характеризующую интенсивность поля. Чем выше индукция, тем с большей силой поле действует на проводник с током. Направление магнитной индукции определяется правилом буравчика или правилом обхвата правой руки.

Закон Био-Савара. Теорема о циркуляции

Французские ученые Ж. Био и Ф. Савар в 1820 -м году проводили эксперименты над магнитным полем постоянных токов. Физики доказали, что индукция магнитного поля проходящих по проводнику токов зависит от совместного действия всех участков данного проводника. Работа магнитного поля основана на принципе суперпозиции.

Принцип суперпозиции: если магнитное поле работает за счет нескольких проводников с током, тогда индукция результативного поля – это совокупность индукций полей, которые создаются каждым проводником по отдельности.

Индукция B → проводника с током представлена, как векторная сумма элементарных индукций ∆ B → вырабатываемых отдельными участками проводника. На практике нельзя отделить один участок проводника с током, поскольку постоянные токи всегда замкнутые. Возможно лишь измерить совокупную индукцию магнитного поля, которое создают все элементы тока. Как найти индукцию магнитного поля?

Закон Био–Савара

Закон Био-Савара определил вклад ∆ B → в магнитную индукцию B → результативного магнитного поля, образуемый маленьким участком Δ l проводника с током I .

∆ B = μ 0 · I · ∆ l · sin α 4 π r 2 .

В формуле r – это расстояние от заданного участка Δ l до точки наблюдения, α – это угол между направлением на точку наблюдения и направлением тока на заданном участке, μ 0 – это магнитная постоянная.

Используя правило буравчика, определим направление вектора ∆ B → : оно указывает на ту сторону, в которую вращается рукоятка буравчика при его поступательном движении вдоль тока. Рисунок 1 . 17 . 1 наглядно показывает закон Био-Савара с применением магнитного поля прямолинейного проводника с током. Если сложить (интегрировать) вклады в магнитное поле всех участков проводника с током, тогда получим формулу для магнитной индукции поля прямого тока:

Рисунок 1 . 17 . 1 . Иллюстрация закона Био–Савара.

С помощью этого закона можно определять магнитные поля токов с различными конфигурациями. Запросто рассчитать магнитное поле в центре кругового витка с током. Вычисления приводят к соотношению:

где R – это радиус кругового проводника.

Чтобы определить направление вектора B → тоже используется правило буравчика, только в этом случае рукоятка вращается по направлению кругового тока, а поступательное движение буравчика указывает, куда направлен вектор магнитной индукции.

Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции

Вычисления магнитного поля зачастую упрощаются с учетом симметрии в конфигурации токов. В этом помогает теорема о циркуляции вектора магнитной индукции.

Объясним, что означает циркуляция вектора B → . Допустим, в пространстве с магнитным полем существует какой-то условный замкнутый контур, а также положительное направление его обхода. Тогда, на каждом отдельном маленьком участке Δ l данного контура определяется касательная составляющая B l вектора B → в этом месте, то есть определяется проекция вектора B → на направление касательной к заданному участку контура. Рисунок 1 . 17 . 2 наглядно демонстрирует это.

Рисунок 1 . 17 . 2 . Замкнутый контур ( L ) с заданным направлением обхода. Изображение токов I 1 , I 2 и
I 3 , создающих магнитное поле.

Циркуляция вектора B → – это сумма произведений B l ∆ l , взятая по целому контуру L : B → = ∑ ( L ) B l ∆ l.

Некоторые токи, при которых магнитное поле создается, пропускают выбранный контур L тем временем, как остальные токи находятся в стороне от контура.

Согласно теореме о циркуляции, циркуляция вектора B → магнитного поля постоянных токов по любому из контуров L все время определяется, как произведение магнитной постоянной μ 0 на сумму всех токов:

∑ ( L ) B l ∆ l = μ 0 ∑ l i.

На рисунке 1 . 17 . 2 продемонстрирован пример с несколькими проводниками с токами, образующими магнитное поле. Ток I 2 и ток I 3 пронзают контур L в противоположных направлениях, им приписываются различные знаки. Положительным является ток, который связан с заданным направлением обхода контура по правилу буравчика.

Значит, I 3 > 0 , а I 2 < 0 . Ток I 1 не пронзает контур L .

Теорема о циркуляции в этом примере математически выражается следующей формулой:

∑ ( L ) B l ∆ l = μ 0 ( I 3 — I 2 ) .

Общий вид теоремы о циркуляции можно вывести из принципа суперпозиции и закона Био-Савара.

Самый простой пример использования теоремы о циркуляции – это вывод формулы магнитного поля прямолинейного проводника с током. С учетом симметрии в этой задаче контуром L лучше выбрать окружность какого-то радиуса R , лежащую в перпендикулярной проводнику плоскости. Центр окружности задан в какой-то точке проводника. Из-за симметрии вектор B → направляется по касательной ( B l = B ) , а его модуль имеет одинаковое значение по всей окружности. Использование теоремы о циркуляции приводит к выражению:

∑ ( L ) B l ∆ l = 2 π R B = μ 0 I ,

отсюда можно вывести формулу для модуля магнитной индукции поля прямолинейного проводника с током, приведенную раньше.

Из данного примера видно, что теорема о циркуляции вектора магнитной индукции B → можно использовать для вычисления магнитных полей, которые создаются симметричным распределением токов, когда можно наугад определить общую структуру поля.

Существует много примеров определения магнитных полей при помощи теоремы о циркуляции.

Рассмотрим одну из них – это задачу расчета поля тороидальной катушки (рисунок 1 . 17 . 3 ).

Рисунок 1 . 17 . 3 . Использование теоремы о циркуляции к тороидальной катушке.

Предположим, что катушка намотана виток к витку на ненамагниченный тороидальный сердечник. В ней линии магнитной индукции сходятся внутри катушки и выступают концентрическими окружностями. Они имеет такое направление, что, смотря вдоль них, наблюдатель увидел бы ток в витках, циркулирующих по часовой стрелке.

Одна линия индукции какого-то радиуса r 1 ≤ r < r 2 представлена на рисунке 1 . 17 . 3 . Используем теорему о циркуляции для контура L в виде окружности, которая совпадает с линией индукции магнитного поля, изображенной на рисунке 1 . 17 . 3 . Опираясь на соображения о симметрии, делаем вывод, что модуль вектора B → имеет одинаковое значение по всей линии. Исходя из теоремы о циркуляции, запишем:

B · 2 π r = μ 0 I N ,

где N – это полное количество витков, а I – это ток, протекающий по виткам катушки. Значит, B = μ 0 I N 2 π r .

Так, модуль вектора магнитной индукции в тороидальной катушке находится в зависимости от радиуса r . При условии, что сердечник катушки тонкий, то есть r 2 – r 1 ≪ r , тогда магнитное поле внутри катушки почти однородное.

Величина n = N 2 π r – это количество витков на единицу длины катушки. Следовательно, B = μ 0 I n .

Сюда не относится радиус тора, потому оно действует и в предельном случае r → ∞ .

Однако в пределе каждая часть тороидальной катушки при необходимости рассматривается в качестве длинной прямолинейной катушки, которая называется соленоид. Вдали торцов такой катушки модуль магнитной индукции определяется, как соотношение в случае с тороидальной катушкой.

На рисунке 1 . 17 . 4 представлено магнитное поле катушки конечной длины. Обращаем внимание, что в центре катушки магнитное поле почти однородное и намного сильнее, чем снаружи. Это объясняется густотой линий магнитной индукции. В предельном случае бесконечно длинного соленоида однородное магнитное поле полностью находится внутри него.

Рисунок 1 . 17 . 4 . Магнитное поле катушки конечной длины. В центральной части соленоида магнитное поле почти однородное и существенно больше по модулю поля вне катушки.

В случае с бесконечно длинным соленоидом соотношение для модуля магнитной индукции получаем прямо из теоремы о циркуляции, применяя ее к прямоугольному контуру, изображенному на рисунке 1 . 17 . 5 .

Рисунок 1 . 17 . 5 . Теорема о циркуляции при расчете магнитного поля бесконечно длинного соленоида.

Проекция вектора магнитной индукции на направление обхода контура a b c d только на стороне a b отлична от 0 . Значит, циркуляция вектора B → по контуру равняется B l , где l – это длина стороны a b . Количество витков соленоида, пронзающих контур a b c d , равняется n · l , где n – это количество витков на единицу длины соленоида, а полный ток, пронзающий контур, равняется I n l . Из теоремы о циркуляции, B l = μ 0 I n l .

Отсюда B = μ 0 I n .

Данное вычисление совпадает с формулой для магнитного поля тонкой тороидальной катушки.

Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции

Рисунок 1 . 17 . 6 . Модель магнитного поля кругового витка с током.

Как найти индукцию магнитного поля

Формула индукции магнитного поля

Принцип суперпозиции магнитных полей

Закон Био-Савара-Лапласа, как формула для вычисления величины индукции магнитного поля

Частные случаи формул для вычисления модуля вектора магнитной индукции

Примеры решения задач по теме «Индукция магнитного поля»

Индукция магнитного поля. Магнитная индукция.

Индукция магнитного поля

Индукция магнитного поля

Направление магнитной индукции

Правило буравчика

Правило обхвата правой рукой

Модуль магнитной индукции

Что мы узнали?

Закон Био-Савара. Теорема о циркуляции

Закон Био–Савара

Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции

Добавить комментарий Отменить ответ