Как построить годограф михайлова в excel

Порядок

Порядок построения годографа

Частотные критерии устойчивости

Частотные критерии позволяют сравнительно легко исследовать устойчивость систем высокого порядка и дают представления о качестве процесса регулирования.

Частотные критерии используют понятие годографа, т.е. кривой в плоскости с координатами (действительная и мнимые части АФЧХ), которую описывает конец вектора при увеличении частоты от 0 до .

Значения и получают, заменив в характеристическом уравнении (2) постоянную p на переменную .

Характеристическое уравнение представляет собой полином знаменателя передаточной функции замкнутой САР, т.е.

Записать передаточные функции разомкнутой и замкнутой САР. Например: регулятор – П (пропорциональный), объект – А (апериодическое звено).

Записываем характеристическое уравнение

T 2T

Критерий Михайлова

Линейная система n-го порядка устойчива, если при изменении от 0 до годограф Михайлова — последовательно обходит n — квадрантов комплексной плоскости против часовой стрелки, начинаясь в точке на положительной вещественной полуоси и нигде не проходя через начало координат.

Чем дальше годограф от нуля, тем система более устойчива.

Порядок построения годографа

1. Откладывается точка при .

2. Увеличивается частота и находятся другие точки.

3. Определяются точки пересечения с осями координат, как корни уравнений: ,

Особенности годографа устойчивых систем

1. Начало в точке , .

2. При вектор поворачивается против часовой стрелки на угол , поочередно обходя n — квадрантов.

3. Модуль вектора должен быть отличен от нуля при любых .

Если годограф проходит через начало координат, то система находится на границе устойчивости.

Найдем точки пересечения с осями координат.

С мнимой осью из уравнения

Подставив значение в мнимую часть, получим точку пересечения с (0;0,26).

С действительной осью из уравнения

. Подставив значение в действительную часть, получим точку пересечения с (0,1;0).

GeekBrains

0,32 0,5 1,25
0,1 -0,15 -0,9 -1,46
0,26 0,4 0,8

Найдем точки пересечения с осями координат.

С мнимой осью из уравнения

Подставив значение в мнимую часть, получим точку пересечения с (0;-6,8).

С действительной осью из уравнения

Подставив значение в действительную часть, получим точки пересечения с (3,0) и (2,0)

0,5 1,73
2,75 -1
0,75 -6,8 -12
| следующая лекция ==>
Возможные виды корней и решения ДУ | Область применения частотных критериев

Дата добавления: 2019-10-16 ; просмотров: 5015 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Практическое построение годографа Михайлова

Для примера рассмотрим систему 4 ой степени:

Чтобы найти точки пересечения годографа с осями координат, необходимо приравнять нулю вещественную и мнимую части и найти частоты, при которых они равны нулю.

Построение годографа ведется в следующем порядке:

1. В характеристическом уравнении замкнутой системы производим замену на :

2. Из уравнения выделяем вещественную и мнимую части:

— уравнение вещественной части — ;

— уравнение мнимой части — .

3. Приравняем нулю мнимую часть и находим частоты, при которых годограф пересекается с вещественной осью (точки 1 и 3):

4. Полученные значения частоты подставим в уравнение вещественной части, получаем точки 1 и 3:

5. Приравняем нулю уравнение вещественной части, получаем частоты, при которых годограф пересекается с мнимой осью:

Введем новую переменную и получим квадратное уравнение:

Решим квадратное уравнение:

Найдем и (только положительные значения):

6. Полученные значения частоты подставим в уравнение мнимой части и находим точки 2 и 4:

7. Задаются промежуточными частотами и частотой , для которых находят значения вещественной и мнимой части:

8. Все расчеты сводятся в таблицу:

0.23 0.46 0.68 0.89 1.2 1.51 1.6
0.74 -0.88 -1.71 -2.1 1,31
0.86 1.35 1.15 -3.84 -11.17 -14,08

9. По данным таблицы строится годограф (рисунок 1).

10. Вывод: Система устойчива, т.к. вектор годографа Михайлова начинает свое движение с положительной вещественной полуоси, вращается против часовой стрелки, нигде не обращается в ноль и обходит последовательно 4 квадранта комплексной плоскости.

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Корпорация "Центр"

Ссылка на основную публикацию