Порядок построения годографа
Частотные критерии устойчивости
Частотные критерии позволяют сравнительно легко исследовать устойчивость систем высокого порядка и дают представления о качестве процесса регулирования.
Частотные критерии используют понятие годографа, т.е. кривой в плоскости с координатами (действительная и мнимые части АФЧХ), которую описывает конец вектора при увеличении частоты от 0 до .
Значения и получают, заменив в характеристическом уравнении (2) постоянную p на переменную .
Характеристическое уравнение представляет собой полином знаменателя передаточной функции замкнутой САР, т.е.
Записать передаточные функции разомкнутой и замкнутой САР. Например: регулятор – П (пропорциональный), объект – А (апериодическое звено).
Записываем характеристическое уравнение
T | 2T |
Критерий Михайлова
Линейная система n-го порядка устойчива, если при изменении от 0 до годограф Михайлова — последовательно обходит n — квадрантов комплексной плоскости против часовой стрелки, начинаясь в точке на положительной вещественной полуоси и нигде не проходя через начало координат.
Чем дальше годограф от нуля, тем система более устойчива.
Порядок построения годографа
1. Откладывается точка при .
2. Увеличивается частота и находятся другие точки.
3. Определяются точки пересечения с осями координат, как корни уравнений: ,
Особенности годографа устойчивых систем
1. Начало в точке , .
2. При вектор поворачивается против часовой стрелки на угол , поочередно обходя n — квадрантов.
3. Модуль вектора должен быть отличен от нуля при любых .
Если годограф проходит через начало координат, то система находится на границе устойчивости.
Найдем точки пересечения с осями координат.
С мнимой осью из уравнения
Подставив значение в мнимую часть, получим точку пересечения с (0;0,26).
С действительной осью из уравнения
. Подставив значение в действительную часть, получим точку пересечения с (0,1;0).
0,32 | 0,5 | 1,25 | ||
0,1 | -0,15 | -0,9 | -1,46 | |
0,26 | 0,4 | 0,8 |
Найдем точки пересечения с осями координат.
С мнимой осью из уравнения
Подставив значение в мнимую часть, получим точку пересечения с (0;-6,8).
С действительной осью из уравнения
Подставив значение в действительную часть, получим точки пересечения с (3,0) и (2,0)
0,5 | 1,73 | ||
2,75 | -1 | ||
0,75 | -6,8 | -12 |
| | следующая лекция ==> | |
Возможные виды корней и решения ДУ | | | Область применения частотных критериев |
Дата добавления: 2019-10-16 ; просмотров: 5015 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ
Практическое построение годографа Михайлова
Для примера рассмотрим систему 4 ой степени:
Чтобы найти точки пересечения годографа с осями координат, необходимо приравнять нулю вещественную и мнимую части и найти частоты, при которых они равны нулю.
Построение годографа ведется в следующем порядке:
1. В характеристическом уравнении замкнутой системы производим замену на :
2. Из уравнения выделяем вещественную и мнимую части:
— уравнение вещественной части — ;
— уравнение мнимой части — .
3. Приравняем нулю мнимую часть и находим частоты, при которых годограф пересекается с вещественной осью (точки 1 и 3):
4. Полученные значения частоты подставим в уравнение вещественной части, получаем точки 1 и 3:
5. Приравняем нулю уравнение вещественной части, получаем частоты, при которых годограф пересекается с мнимой осью:
Введем новую переменную и получим квадратное уравнение:
Решим квадратное уравнение:
Найдем и (только положительные значения):
6. Полученные значения частоты подставим в уравнение мнимой части и находим точки 2 и 4:
7. Задаются промежуточными частотами и частотой , для которых находят значения вещественной и мнимой части:
8. Все расчеты сводятся в таблицу:
0.23 | 0.46 | 0.68 | 0.89 | 1.2 | 1.51 | 1.6 | |
0.74 | -0.88 | -1.71 | -2.1 | 1,31 | |||
0.86 | 1.35 | 1.15 | -3.84 | -11.17 | -14,08 |
9. По данным таблицы строится годограф (рисунок 1).
10. Вывод: Система устойчива, т.к. вектор годографа Михайлова начинает свое движение с положительной вещественной полуоси, вращается против часовой стрелки, нигде не обращается в ноль и обходит последовательно 4 квадранта комплексной плоскости.
Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет